5.1.2 弧度制 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册 ㅤ

5.1.2 弧度制 思 考 有人问：上海到南京有多远时，有人回答约300公里，但也有人回答约188英里，请问哪一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里） 　 1．掌握弧度制的定义. 　 2．学会弧度与角度的互化.(重点） 3．会推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积 公式.（重点、难点） 4.熟记特殊角的弧度数． 3 1.通过扇形的弧长公式和面积公式的运用，培养数 学运算的核心素养(数学运算) 体会课堂探究的乐趣， 汲取新知识的营养， 让我们一起 吧！ 进 走 课 堂 思考：每个小组发一个硬纸做成的圆形图片，一段细铁丝，让学生测量在不同的圆中, 等于半径长的圆弧所对圆心角，并观察所得到的结果有什么规律？ 提示：大小相等 微课1 弧度制 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作弧度. 弧度的概念 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0； r l=r O A B 如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是 将分针拨快15分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) A. B. C. D. C 【即时训练】 微课2 角度与弧度的换算 思考1、一个圆周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此, 可得角度与弧度有怎样的换算关系？ 360º l=2πr O r 提示： 思考2、根据上述关系，1°等于多少弧度，1 rad等于多少度？ 提示： 总结：根据度与弧度的换算关系，填写下表中特殊角的度数或弧度数. 注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2 rad的角. 角度           弧度             弧度制下角的集合与实数集的一一对应： 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 任意角的集合 实数集R 15 30 -157 390 【即时训练】 思考1、已知一个扇形所在圆的半径为r，弧长为l，圆心角为α，那么扇形的面积如何计算？ 提示： 微课3 弧度制的应用 思考2、在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？终边在坐标轴上的角如何表示？ 终边在x轴上： 终边在y轴上： 提示： D 【即时训练】 例1.按照下列要求，把 67°30′化成弧度： （1）精确值； （2）精确到0.001的近似值. （2）利用计算器有 MODE MODE 2 67 。, ,, 30 。, ,, SHIFT DRG 1 = 1.178 097 245.因此，67°30′≈1.178 rad. 【变式练习】 例2.将3.14 rad换算成角度(用度数表示，精确到0.001). 解：利用计算器 MODE MODE 1 3.14 SHIFT DRG 2 = 179.908 747 7. 因此，3.14 rad≈179.909°. 航海罗盘的圆周被分成32等份，把每一等份所对的圆心角的大小分别用度与弧度表示出来. 11.25°, 【变式练习】 证明:由公式 可得， 由于半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式 分别是： 将n°转换为弧度，得 于是， 将 代入上式，即得 例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式： 其中R是半径，l是弧长， 为圆心角, S是扇形的面积. 一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这扇形的面积为( ) A.2 B.2 C. D. D 【变式练习】 解：由计算器 2 MODE MODE sin = 1.5 0.997 494 986 MODE MODE 1 sin 。, , , 85 0.996 194 698. = 所以 sin 1.5>sin 85°. 例4.利用计算器比较sin 1.5和sin 85°的大小. 5 弧度的角所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 【变式练习】 1．1弧度角的定义； 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别； 3．弧长公式与扇形面积公式． 一、回顾本节课的收获 弧度制 角度制 度量单位 弧度 角度 单位规定 等于半径的长的圆弧所对应的圆心角叫1 rad 的角 周角的 为1度的角 换算关系 πrad=180° 1rad= 57°18′ 1°= rad=0.01745 rad 二、弧度制与角度制的比较 弧度制 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 弧度制的概念 弧度制的计算及与角度制的互化 扇形的弧长和面积公式 弧度制表示角时，先将分、秒化成度，再化为弧度 根据已知图形写出区域角的集合时，先写始边和终边对应的角 数学运算：通过扇形的弧长公式和面积公式的运用，培养数学运算的核心素养 同一个式子中角度制与弧度制不能混用 写出区域角时注意始边和终边的虚实 C 不相等 相等 把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十次中有十九次都会失望. ——大仲马 【方法规律】 弧度制是以“弧度”为单位度量角，角度制是以“度”为单位度量角；弧度制和角度制是度量角的两种方法，在同一个式子中不可混合使用． 将下列弧度转化为角度： （1） = °； （2）－ = ° ′； （3） = °； 半径为 cm，圆心角为120o的弧长为（ ） A. B. C. D. 将下列角度转化为弧度： （1）22°30′= （rad）； （2）－210°=_____（rad）； （3）1 200°= （rad）. 1.设集合M={α|α= ，k∈Z}，N={α|－π＜α＜π ， 则M∩N=（ ） A．{－ } B．{－ } C．{－ } D．{ } 2.在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角所对的弧长________．(填“相等”或“不相等”) 【互动探究】 若题改为在半径较大的圆内，1弧度的圆心角与半径较小圆内的1弧度的圆心角________(填“相等”或“不相等”)． 3.已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数. 【解析】设扇形圆心角的弧度数为 ，弧长为lcm，半径为 cm，依题意有 解得 当 时， ，此时 ,(舍去) 当 时， ，此时 即扇形圆心角为 rad $$