精品解析：浙江省仙居县白塔中学2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题

2022-2023学年浙江省台州市仙居县白塔中学九年级第一学期开学数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题有且只有一个答案正确，请在答题卷上填涂正确答案的代号，选错、多选和不选都不得分．） 1. 使二次根式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 设n为正整数，且，则n的值为（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（ ） A. 测量得出对角线相等 B. 测量得出对角线互相平分 C. 测量得出两组对边分别相等 D. 测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于函数的图象与性质，下列说法错误的是（ ） A. 图象不经过第三象限 B. 当时，函数值y有最小值3 C. y随x的增大而减小 D. 图象是与平行的一条直线 6. 一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（　　） A. B. C. D. 7. 一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x，则x满足方程（　　） A B. C. D. 8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A. 2017 B. 2 C. D. 10. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME.7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，若的值是整数，且，则符合条件的n有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分．在答题卷的相应空格上填上正确的答案） 11. 方程的判别式Δ＝______． 12. 方程的解是____________． 13. 菱形对角线长分别为2，4，则其边长为______． 14. 某招聘考试分笔试和面试两种，小明笔试成绩90分，面试成绩85分，如果笔试成绩、面试成绩按3：2计算，那么小明的平均成绩是__________分 15. 图形的变换就是点的变换，例如将直线y=3x+1向右平移2个单位，求平移后直线的解析式，我们不妨先在直线y=3x+1上任意取两点（0，1）和（1，4），平移后这两点分别为（2，1）和（3，4），则平移后直线的解析式为y=3x-5，现将直线y=-3x+2关于x轴对称，则对称后直线的解析式为______． 16. 如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，cm，cm．将两纸片按如图所示叠放，使点D与点G重合，且重叠部分为平行四边形．当两张纸片交叉所成角记为，当时，______；当最小时，重叠部分的面积为______． 三、解答题（本题有8小题，共80分．第17～20题每题8分，第21题10分，第22～23题每题12分，第24题14分） 17 计算：（1） （2）(+3)(-5) 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． 20. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 21. 小明同学从一张面积为5的正方形Ⅰ中剪出一个面积为2的小正方形Ⅱ，并按如图所示摆放，其中A，B，C三点共线，求线段AD的长． 22. 用水问题一直是台州人民关注的热点问题，为此，小明随机抽取自己家中一年5个月的月用水量（单位：吨），并对每个月的月平均气温（单位：进行了统计，得到下列统计图 （1）小明家这5个月的月平均用水量为 　　吨； （2）下列推断：①当地当年月平均气温的众数是； ②当地当年月平均气温的中位数为； ③小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水最越大．所有合理推断的序号是 　　； （3）如果用小明家5月、7月、9月这三个月的月平均用水量估计当年的用水总量，你认为是否合理？并说明理由． 23. 某经销商销售一种成本价为元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元．在销售过程中发现销量与售价（元）之间满足一次函数关系，对应关系如表所示． （1）求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； （2）若该经销商想要使这种商品获得平均每天元的利润，则售价应定为多少元？ 24. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点（不与端点B，C重合），连接DE．过点A作DE的垂线，分别交DE，DC于点F，H．延长AF到点G，使得FG=AF，连接DG，CG． （1）求证：△ADH≌△DCE； （2）①若∠ADE=60°，则∠AGC=______； ②改变∠ADE的度数，∠AGC的度数是否会发生改变？若发生改变，请写出∠AGC与∠ADE之间的关系，若不改变，请说明理由； （3）如图2，若BE=EC=，求DF与CG的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年浙江省台州市仙居县白塔中学九年级第一学期开学数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题有且只有一个答案正确，请在答题卷上填涂正确答案的代号，选错、多选和不选都不得分．） 1. 使二次根式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握使得二次根式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：D 2. 设n为正整数，且，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了无理数的估算，用逐步逼近法得，即可求解；掌握估算方法是解题的关键. 【分析】解：， ， ． 故选：C． 3. 下列测量方案能判定四边形台面为矩形是（ ） A. 测量得出对角线相等 B. 测量得出对角线互相平分 C. 测量得出两组对边分别相等 D. 测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形， ∴对角线相等的四边形不是矩形，故选项A不符合题意； B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故选项B不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等， ∴对角线互相平分且相等， ∵对角线互相平分且相等四边形是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、熟记矩形的判定定理是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式概念，合并同类二次根式的法则，二次根式的乘方，乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B. ，选项错误，不符合题意； C. ，选项正确，符合题意； D. ，选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则． 5. 关于函数的图象与性质，下列说法错误的是（ ） A 图象不经过第三象限 B. 当时，函数值y有最小值3 C. y随x的增大而减小 D. 图象是与平行的一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：在函数中，， 则函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；且y随x的增大而减小， 故选项A、C说法正确； 函数与函数的k值相等， 则两函数的图象平行，故选项D说法正确； 当时，函数值y有最大值3，有最小值0，故选项B说法错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 6. 一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 故选C 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． 7. 一种药品原价为25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都同为x，则x满足方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等量关系为：，把相关数值代入即可． 【详解】解：第一次降价后的价格为， 第二次降价后的价格为， ∴列的方程为， 故选：B． 【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为， 则种植部分的长为，宽为 由题意得：． 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 9. 若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A. 2017 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据“若一元二次方程的两个实数根分别为，那么， ”，即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 故选：D 10. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME.7）会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，若的值是整数，且，则符合条件的n有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理计算出，，，，…，，然后根据的值是整数，且，写出符合条件n的值，即可得到答案． 【详解】依据题意可得： ∴， ， 则， ， … ， ∵的值是整数，且， ∴， ∴n=5或20或45， 符合条件的n有3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，图形的变化规律，最简二次根式等相关内容，解题关键是发现数字的变化特点，利用勾股定理的知识进行解答． 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分．在答题卷的相应空格上填上正确的答案） 11. 方程的判别式Δ＝______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式△计算即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．注意判别式△中的字母所表示的意义． 12. 方程的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】把方程两边开方得到即可求解． 【详解】解：， 开方得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根：形如或的方程可采用开平方的方法求解． 13. 菱形的对角线长分别为2，4，则其边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的对角线平分且垂直的性质，即可计算边长． 【详解】∵菱形的两条对角线长分别为2和4， ∴菱形的对角线平分且垂直 ∴由勾股定理得，菱形的边长， 故答案为：． 【点睛】本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决． 14. 某招聘考试分笔试和面试两种，小明笔试成绩90分，面试成绩85分，如果笔试成绩、面试成绩按3：2计算，那么小明的平均成绩是__________分 【答案】88 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义计算可得． 【详解】解：根据题意，小明的平均成绩是（分）， 故答案为88． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义和计算公式． 15. 图形的变换就是点的变换，例如将直线y=3x+1向右平移2个单位，求平移后直线的解析式，我们不妨先在直线y=3x+1上任意取两点（0，1）和（1，4），平移后这两点分别为（2，1）和（3，4），则平移后直线的解析式为y=3x-5，现将直线y=-3x+2关于x轴对称，则对称后直线的解析式为______． 【答案】y=3x-2 【解析】 【分析】在直线y=-3x+2上任意取两点（0，2）和（1，-1），对称后这两点分别为（0，-2）和（1，1），然后利用待定系数法即可求得． 【详解】解：在直线y=-3x+2上任意取两点（0，2）和（1，-1）， ∵直线y=-3x+2关于x轴对称， ∴点（0，2）关于x轴的对称点为（0，-2）， 点（1，-1）关于x轴的对称点为（1，1）， 设对称后直线的解析式为y=kx+b， ∴解得， ∴对称后直线的解析式为y=3x-2． 故答案为：y=3x-2． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用待定系数法求解是解题的关键． 16. 如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，cm，cm．将两纸片按如图所示叠放，使点D与点G重合，且重叠部分为平行四边形．当两张纸片交叉所成的角记为，当时，______；当最小时，重叠部分的面积为______． 【答案】 ①. cm ②. cm2 【解析】 【分析】由“ASA”可证△CDN≌△LDN，可证ND=DL，即可证四边形DLMN是菱形，当时，过点M作MK⊥FD于点K，可求出MK，KC,从而可求出DM，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，可求DN，即可解决问题． 【详解】如图， ∵ABCD和EFGH是矩形， ∴∠ADC=∠HDF=∠H=∠C=90° ∵ ∴∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90° ∴△CDN≌△HDL（ASA） ∴ND=LD，且四边形DLMN是平行四边形 ∴四边形DLMN是菱形 ∴ 过点M作MK⊥FD于点K，则cm 当时，cm 又 ∴cm ∴cm ∴cm 当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，如图， 设DN=a=BN，则CN=8-a， ∵ND2=CD2+NC2， ∴a2=4+（8-a）2， ∴a=, ∴重叠部分的面积=cm2， 故答案为：cm；cm2 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求CN的长是本题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共80分．第17～20题每题8分，第21题10分，第22～23题每题12分，第24题14分） 17. 计算：（1） （2）(+3)(-5) 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的减法即可得； （2）根据二次根式的乘法法则即可得． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的减法与乘法，熟记二次根式的运算法则是解题关键． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），； 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）本题考查直接开平方法解一元二次方程，直接开平方即可得到答案； （2）本题考查配方法解一元二次方程，移项，配方，开平方即可得到答案； 【小问1详解】 解：直接开平方得， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：移项得， ， 配方得， ， 即：， 开平方得， ， 解得：，． 19. 将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】5x2﹣4x﹣1＝0,二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0， 它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的二次项系数，一次项系数，常数项，注意带有符号 20. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 【答案】（1） （2），（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴　　＞0． 　　　　即　，解得，．　　　　　　　　　　 （2）若k是负整数，k只能为－1或－2．　　　　　　　　　　　　　 　　如果k＝－1，原方程为　． 　　解得，，．　　　　　　　　　　　　　 　　（如果k＝－2，原方程为 ，解得，，．） 21. 小明同学从一张面积为5的正方形Ⅰ中剪出一个面积为2的小正方形Ⅱ，并按如图所示摆放，其中A，B，C三点共线，求线段AD的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形的性质分别求出AC 和CD的长，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意和正方形的性质可知： ∴，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为 【点睛】本题主要考查了拼图以及勾股定理，表示出AC的长是解答本题的关键． 22. 用水问题一直是台州人民关注的热点问题，为此，小明随机抽取自己家中一年5个月的月用水量（单位：吨），并对每个月的月平均气温（单位：进行了统计，得到下列统计图 （1）小明家这5个月的月平均用水量为 　　吨； （2）下列推断：①当地当年月平均气温众数是； ②当地当年月平均气温的中位数为； ③小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水最越大．所有合理推断的序号是 　　； （3）如果用小明家5月、7月、9月这三个月的月平均用水量估计当年的用水总量，你认为是否合理？并说明理由． 【答案】（1）21；（2）①②；（3）不合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据众数、中位数的意义进行判断即可； （3）根据气温和用水量的变化关系进行判断即可． 【详解】解：（1）（吨， 故答案为：21； （2）月平均气温中，出现的次数最多，所以当地当年月平均气温的众数是，因此①合理，符合题意； 将12个月的平均气温从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，所以②合理，符合题意； 从两个统计图中数量的变化情况可知，小明家这5个月的月用水量不是随着月平均气温的变化而变化，8月份温度最高，9月用水量越大，因此③不合理，不符合题意； 故答案为：①②； （3）不合理，选取的5、7、9这三个月的当地月平均气温都比较高，这三个月的月平均用水量都比较多，这样选取的样本缺乏代表性． 【点睛】本题考查了众数、中位数，条形统计图，折线统计图，掌握两个统计图之间的关系以及众数，中位数的计算方法是解决问题的关键． 23. 某经销商销售一种成本价为元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元．在销售过程中发现销量与售价（元）之间满足一次函数关系，对应关系如表所示． （1）求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； （2）若该经销商想要使这种商品获得平均每天元的利润，则售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查一次函数、实际问题与一元二次方程，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键， （1）根据一次函数过可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式； （2）根据总利润为元列方程解答即可． 【小问1详解】 解：（1）设关系式为，把，代入得： ， 解得． 故与的之间的函数关系式为， 通过验证，满足上述关系式， 因此与的之间的函数关系式就是． 的取值范围为：． 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 答：售价应定为元． 24. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点（不与端点B，C重合），连接DE．过点A作DE的垂线，分别交DE，DC于点F，H．延长AF到点G，使得FG=AF，连接DG，CG． （1）求证：△ADH≌△DCE； （2）①若∠ADE=60°，则∠AGC=______； ②改变∠ADE的度数，∠AGC的度数是否会发生改变？若发生改变，请写出∠AGC与∠ADE之间的关系，若不改变，请说明理由； （3）如图2，若BE=EC=，求DF与CG的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）①45；②改变∠ADE的度数，∠AGC的度数不会发生改变，理由见解答； （3）DF=2，CG=2． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和ASA证明△ADH≌△DCE即可； （2）①先根据DF是AG的垂直平分线可得AD=DG=CD，由等腰三角形的性质和正方形的性质可得∠DGA=30°，∠DGC=75°，最后由角的和与差可得结论； ②将∠ADE=60°换成∠ADE=α，同理可得∠AGC=45°； （3）如图2，过点C作CM⊥AG于M，先证明△CMG是等腰直角三角形，根据三角形全等和勾股定理可得：AH=5，由面积法可得DF=2，证明△DFH≌△CMH（AAS），可得CM=DF=2，最后由勾股定理可得CG的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠ADF+∠CDE=90°， ∵DE⊥AH， ∴∠AFD=∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠CDE=∠DAF， 在△ADH和△DCE中， ， ∴△ADH≌△DCE（ASA）； 【小问2详解】 解：①∵∠ADE=60°，∠AFD=90°， ∴∠DAF=30°， ∵AF=FG，DF⊥AG， ∴AD=DG=CD， ∴∠DGH=∠DAF=30°， ∴∠ADG=120°， ∴∠CDG=120°-90°=30°， ∵CD=DG， ∴∠DCG=∠DGC==75°， ∴∠AGC=∠DGC-∠DGA=75°-30°=45°； 故答案为：45； ②改变∠ADE的度数，∠AGC的度数不会发生改变，理由如下： 设∠ADE=α，则∠DAF=∠DGF=90°-α， 由①知：AD=DG=CD， ∴∠FDG=∠ADF=α，∠CDG=2α-90°， ∴∠DCG=∠DGC==135°-α， ∴∠AGC=∠DGC-∠DGA=135°-α-（90°-α）=45°； 【小问3详解】 解：如图2，过点C作CM⊥AG于M， ∵∠AGC=45°，∠CMG=90°， ∴△CMG是等腰直角三角形， ∴MG=CM， ∵BE=EC=，∴CD=BC=AD=2， 由（1）知：△ADH≌△DCE， ∴DH=CE=CH=， ∴AH==5， ∵S△ADH=•AD•DH=•AH•DF， ∴×2=5DF， ∴DF=2， ∵∠DFH=∠CMH=90°，∠DHF=∠CHM，DH=CH， ∴△DFH≌△CMH（AAS）， ∴CM=DF=2， ∴CM=MG=2， ∴CG=2． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握正方形的性质，证明三角形全等解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$