1.3 不等式及其性质（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第三节　不等式及其性质 课标要求： 1.掌握等式性质. 2.会比较两个数的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用. [系统主干知识] 1．两个实数比较大小的方法 作差法(a，b∈R) 2．不等式的性质 性质1 对称性：a>b⇔b<a 性质2 传递性：a>b，b>c⇒a>c 性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c 性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc 性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) [细作教材小题] 1．(苏教版必修一P76·T9)设a，b，m均为正数，且a<b，那么(　 ) A.< B.＝ C.> D.与的大小随m变化而变化 解析：选C　由－＝＝，因为a<b，且m为正数，可得(b＋m)b>0，b－a>0，所以>0，即－>0，所以>. 2．(人教A版必修一P43·T8)下列命题为真命题的是(　 ) A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则< 答案：B 3．(北师大版必修一P30·T2改编)设m＝x2＋y2－2x＋2y，n＝－3，则m，n的大小关系为________． 解析：因为m－n＝x2＋y2－2x＋2y＋3＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1>0，所以m>n. 答案：m>n 4．(人教A版必修一P43·T5改编)已知2<a<3，－2<b<－1，则2a＋b的取值范围为________． 解析：∵2<a<3，∴4<2a<6，又－2<b<－1，∴2<2a＋b<5，即2a＋b的取值范围为(2,5)． 答案：(2,5) 逐点清(一)　比较数(式)的大小 [例1]　[多选]下列不等式正确的是(　 ) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D.＋≤a＋b(a<0，b<0) 解析：选AD　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正确；a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不定，∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不定，故B错误；∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝＝，∵a<0，b<0，∴a＋b<0，ab>0，∴＋≤a＋b，故D正确． [例2]　设a，b都是正数，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是________． 解析：∵＝aa－b·bb－a＝a－b，若a>b，则>1，a－b>0，∴a－b>1，∴aabb>abba；若a<b，则0<<1，a－b<0，∴a－b>1，∴aabb>abba. 答案：aabb>abba 点拨·建模　比较大小的常用方法 作差法 ①作差；②变形；③定号；④得出结论 作商法 ①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论 逐点清(二)　利用不等式的基本性质比较大小 [例3]　[多选]若b<c<0<a，a＋b>0，则(　 ) A．a＋c>0 B.＋<0 C.＋>0 D.－b<a－ 解析：选ACD　因为b<c<0<a且a＋b>0，所以a＋c>a＋b>0，A正确；＋＝>0，B错误；＋＝＝>0，C正确；－a－b＋＝－(a＋b)＝(a＋b)，因为b<0<a，所以ab<0，又因为a＋b>0，所以－a－b＋<0，即－b<a－，D正确． [例4]　(2024·泰州调研)[多选]若a＞b＞0＞c，则(　 ) A.＞ B.＞ C．ac＞bc D．a－c＞2 解析：选ABD　因为a＞b＞0，所以＜，因为c＜0，所以＞，A正确；－＝＝＝，因为a＞b＞0＞c，所以b－a＜0，a－c＞0，所以＞，B正确；因为c＜0，所以y＝xc单调递减，又a＞b，所以ac＜bc，C错误；a－c＝a＋(－c)≥2＞2，D正确． 点拨·建模　判断命题真假的两种方法 直接法 直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 特殊值法 注意取值要遵守三个原则：①满足题设条件；②取值要简单，便于验证计算；③所取的值要有代表性 逐点清(三)　不等式性质的综合应用 [例5]　已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是__________． 解析：∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18. 答案：(－4,2)　(1,18) [例6]　设x，y为实数，满足2≤xy2≤3,3≤≤4，则的最大值是________． 解析：＝3，∵3≤≤4， ∴27≤3≤64，∵2≤xy2≤3， ∴≤≤，根据不等式的性质得9≤3≤32，即的最大值为32， 当且仅当即时取到． 答案：32 点拨·建模 (1)利用不等式性质求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． (2)解题时应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围． 逐点验收(一)　比较大小 1．若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　 ) A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B 解析：选B　由题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B. 2．若a，b为实数，且0<ab<1，则以下结论正确的是(　 ) A．a< B．a>0，b>0 C．0<a3b2<1 D．－<－1 解析：选D　根据题意，不妨令a＝－1，b＝－，则＝－2，此时a>，∴A错误；若0<ab<1，可知a，b同号，即a>0，b>0或a<0，b<0， ∴B错误；不妨令a＝3，b＝，此时满足0<ab<1，但a3b2＝33×2＝>1，∴C错误；由0<ab<1可得>＝1，两边同时乘以－1可得－<－1，∴D正确． 3．若a>0，b>0，则p＝(ab)与q＝abba的大小关系是(　 ) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．p<q 解析：选A　∵＝＝ab＝，若a>b>0，则>1，a－b>0，∴>1；若0<a<b，则0<<1，a－b<0，∴>1；若a＝b，则＝1，∴p≥q. 4．[多选]若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是(　 ) A．ad>bc B.＋<0 C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c) 解析：选BCD　因为a>0>b，c<d<0，则ad<0，bc>0，所以ad<bc，A错误；因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以－ac>－b·(－d)＝bd，则ac＋bd<0，cd>0，所以＋＝<0，B正确；因为c<d，则－c>－d，因为a>b，则a－c>b－d，C正确；因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，D正确． 逐点验收(二)　不等式性质的综合应用 5．[多选]已知3<a<6,1<b<5，则(　 ) A.∈ B.∈ C．a－2b∈(－4,1) D．a－2b∈(－7,4) 解析：选BD　∵1<b<5，∴－10<－2b<－2，<<1，又3<a<6，∴－7<a－2b<4，<<6，即∈，a－2b∈(－7,4)，∴B、D正确． 6．已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是(　 ) A．(－3，－1) B. C．(－2，－1) D. 解析：选A　因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－2a－c，因为a>b>c，所以－2a－c<a，即3a>－c，解得>－3，将b＝－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c，即a<－c，得<－1，所以－3<<－1. 7．已知－1≤x＋2y≤5，－1≤x－2y≤3，则x的取值范围是________． 解析：因为－1≤x＋2y≤5，－1≤x－2y≤3，所以－1＋(－1)≤x＋2y＋x－2y≤5＋3，即－2≤2x≤8，得－1≤x≤4. 答案：[－1,4] [课时跟踪检测] 1．若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是(　 ) A．a>b B．a<b C．a≥b D．a，b大小不确定 解析：选B　因为b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a<b. 2．已知－3＜a＜－2,3＜b＜4，则的取值范围为(　 ) A．(1,3) B. C. D. 解析：选A　因为－3＜a＜－2，所以a2∈(4,9)，而3＜b＜4，即＜＜，故的取值范围为(1,3)． 3．已知a<b<c，a＋b＋c＝0，则(　 ) A．ab<b2 B．ac>bc C.< D.<1 解析：选C　因为a<b<c，a＋b＋c＝0，所以a<0<c，b的符号不能确定，当b＝0时，ab＝b2，故A错误；因为a<b，c>0，所以ac<bc，故B错误；因为a<0<c，所以<，故C正确；因为a<b，所以－a>－b，所以c－a>c－b>0，所以>1，故D错误．故选C. 4．[多选]下列四个选项能推出<的是(　 ) A．b>0>a B．a>0>b C．0>a>b D．a>b>0 解析：选ACD　<⇔<0⇔ab(a－b)>0，当b>0>a时，ab<0，a－b<0，所以ab(a－b)>0，A正确；当a>0>b时，ab<0，a－b>0，所以ab(a－b)<0，B错误；当0>a>b时，ab>0，a－b>0，所以ab(a－b)>0，C正确；当a>b>0时，ab>0，a－b>0，所以ab(a－b)>0，D正确． 5．已知a，b，x均为实数，下列不等式恒成立的是(　 ) A．若a<b，则a2 024<b2 024 B．若a<b，则< C．若ax2 024<bx2 024，则a<b D．若a<b，则ax2 024<bx2 024 解析：选C　当a＝－2，b＝1时，(－2)2 024>12 024，故A错误；当a＝0时，没意义，故B错误；由ax2 024<bx2 024，知x2 024>0，所以a<b，故C正确；当x＝0时，ax2 024<bx2 024不成立，故D错误．故选C. 6．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为(　 ) A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱 解析：选C　依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，购买小竹子(78－x)根，每根单价为(m－1)钱，所以576＝mx＋(78－x)(m－1)，即78m＋x＝654，即x＝6(109－13m)．因为0≤x≤78，所以即即≤m≤.根据选项知m＝8，x＝30，所以买大竹子30根，每根8钱． 7．已知a，b，c∈R，则“a>b”的一个充要条件是(　 ) A．a2>b2 B.> C．ac2>bc2 D.> 解析：选B　例如a＝－2，b＝－1，满足a2>b2，不满足a>b，即a2>b2不能推出a>b，故A错误；因为y＝在R上单调递增，则>等价于a>b，所以“>”是“a>b”的充要条件，故B正确；例如c＝0，则ac2＝bc2＝0，即a>b不能推出ac2>bc2，故C错误；例如a＝－2，b＝－1，c＝－1，满足>，不满足a>b，即>不能推出a>b，故D错误． 8．[多选]有外表一样，重量不同的六个球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已知a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e＞c＋d＋f，a＋b＋f＜c＋d＋e，a＋e＜b.则下列判断正确的是(　 ) A．b＞c＞f B．b＞e＞f C．c＞e＞f D．b＞e＞c 解析：选ABD　因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e＞c＋d＋f，所以e－c＞c－e，所以e＞c，又因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋f＜c＋d＋e，所以c－f＞f－c，所以c＞f，所以e＞c＞f，所以C错误；又因为a＋e＜b，所以a＜b，e＜b，所以b＞e＞c，b＞e＞f，b＞c＞f均成立，所以A、B、D正确． 9．已知甲的年龄大于乙的年龄，则“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的(　 ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　设甲、乙、丙的年龄分别为x，y，z，根据已知条件得x>y.若丙的年龄大于乙的年龄，则z>y，则y＋z>2y，因为2x>2y，所以y＋z>2x未必成立．若乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍，则y＋z>2x>2y，则y＋z>2y，即z>y，所以丙的年龄大于乙的年龄．故“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的必要不充分条件． 10．[多选]已知非零实数a，b满足|a|>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是(　 ) A．a>b＋1 B．ln a2>ln(b2＋1) C．a2>4b D.>1 解析：选BCD　|－5|>|2|＋1，而－5<2＋1，故A错误；∵|a|>|b|＋1，∴|a|2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，∴a2>b2＋1>0，又函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，ln a2>ln(b2＋1)，故B正确；由B中分析得，a2>b2＋2|b|＋1，∴a2－4b>b2＋2|b|＋1－4b，∵|b|≥b，∴a2－4b>b2＋2|b|＋1－4b≥b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴a2>4b，故C正确；由a2>b2＋2|b|＋1，∴|a|2>|b|2，即>1，∴>1，故D正确． 11．王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该群人数的最小值为(　 ) A．18 B．20 C．22 D．28 解析：选C　依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为x，y，z，t，且x，y，z，t∈N*，于是y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6，又2x>t≥x＋3，解得x>3，因此xmin＝4，此时x＋y＋z＋t≥22，所以当x＝4，y＝5，z＝6，t＝7时，(x＋y＋z＋t)min＝22，即该群人数的最小值为22. 12．[多选]已知a，b为正实数，则下列命题正确的是(　 ) A．若a2－b2＝1，则a－b＜1 B．若－＝1，则a－b＜1 C．若ea－eb＝1，则a－b＜1 D．若ln a－ln b＝1，则a－b＜1 解析：选AC　对于A，当a2－b2＝1，即(a－b)(a＋b)＝1时，∵a＞0，b＞0，∴0＜a－b＜a＋b，∴a－b＜1，故A正确；对于B，当－＝1时，不妨取a＝3，b＝，则a－b＝＞1，故B错误；对于C，由ea－eb＝1，可得ea－b＋b－eb＝eb(ea－b－1)＝1，∵b＞0，∴eb＞1，∴ea－b－1＜1，即ea－b＜2，∴a－b＜ln 2＜ln e＝1，故C正确；对于D，不妨取a＝e2，b＝e，则a－b＝e2－e＞1，故D错误．故选AC. 13．已知0<β<α<，则α－β的取值范围是______． 解析：∵0<β<，∴－<－β<0，又0<α<，∴－<α－β<，又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<. 答案： 14．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是________． 解析：若ab>0，bc－ad>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得－>0，即ab>0，bc－ad>0⇒－>0；若ab>0，－>0成立，不等式－>0两边同乘ab，可得bc－ad>0，即ab>0，－>0⇒bc－ad>0；若－>0，bc－ad>0成立，则－＝>0，又bc－ad>0，则ab>0，即－>0，bc－ad>0⇒ab>0.综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个． 答案：3 15．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c，②a＋b＝c＋d，③a＋d<b＋c，则a，b，c，d按照从小到大的次序排列为____________． 解析：因为a＋b＝c＋d，所以a＝c＋d－b，因为a＋d<b＋c，所以c＋d－b＋d<b＋c，即2d<2b，于是有d<b，所以c<d<b，因为a＋b＝c＋d，b>d，所以a<c，所以a<c<d<b. 答案：a<c<d<b 16．设a>0，b>0，记A＝，G＝，H＝分别为a，b的算术平均数、几何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过a≠b时A，G，H的大小关系，则A，G，H中最大的为________，最小的为________． 解析：因为a>0，b>0，a≠b，所以A－G＝－＝＝>0，G－H＝－＝＝>0，所以A>G，G>H，所以A>G>H，所以A，G，H中最大的为A，最小的为H. 答案：A　H 学科网（北京）股份有限公司 $$