1.1 集合（Word教师用书）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第一节　集　合 课标要求 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合. 2.理解集合间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义. 3.理解集合间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集. 4.能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. [系统主干知识] 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 相等 若A⊆B，且B⊆A，则A＝B 空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3．集合的基本运算 　　表示 运算　　 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 4.集合的运算性质 交集的运算性质 A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅∩A＝∅；A∩B＝A⇔A⊆B 并集的运算性质 A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝∅∪A＝A；A∪B＝⇔B⊆A 补集的运算性质 A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝；∁U(∁UA)＝；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB) [细作教材小题] 1．(人教A版必修一P9·T1(2)改编)[多选]若集合A＝{x|x2－1＝0}，则(　 ) A．1∈A B．{－1}A C．∅∈A D．{－1,1}A 答案：AB 2．(人教A版必修一P13·例5改编)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，则(∁UA)∩(∁UB)＝(　 ) A．{1,2} B．{3,4} C．{5,6} D．{7,8} 答案：D 3．(北师大版必修一P7·例4改编)已知集合A＝{0,1,2}，则集合A真子集的个数为(　 ) A．3 B．4 C．8 D．7 答案：D 4．(人教B版必修一P14·T4改编)已知[－1，＋∞)[a，＋∞)，则实数a的取值范围为_______． 答案：(－1，＋∞) 5．(北师大版必修一P12·T10改编)已知集合A＝{1,3，n}，B＝{n2,1}，且A∪B＝A，则实数n的值为______． 解析：由题意，n2＝3或n2＝n，当n2＝3时，n＝±，当n2＝n时，n＝0或n＝1，当n＝1时，不满足集合元素的互异性，故n＝0或n＝±. 答案：0，，－ 逐点清(一)　集合的概念与表示 [例1]　(2024·合肥质检)定义：当x∈Z，y∈Z时，P(x，y)成为“格点”，则集合{(x，y)|x2＋y2≤2}对应的图形的格点有(　 ) A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 解析：选C　由x∈Z，y∈Z，x2＋y2≤2，得y2≤2－x2，所以2－x2≥0，得－≤x≤ ，所以x的值为－1,0,1.当x＝－1时，y的值为－1,0,1；当x＝0时，y的值为－1,0,1；当x＝1时，y的值为－1,0,1，所以满足条件的格点有9个． [例2]　已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 025＋b2 025＝________. 解析：由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又由集合中元素的互异性知a＝1应舍去，故a＝－1，所以a2 025＋b2 025＝(－1)2 025＋02 025＝－1. 答案：－1 点拨·建模　解决集合含义问题的关键 (1)确定构成集合的元素； (2)确定元素的限制条件； (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 逐点清(二)　集合间的基本关系 [例3]　(集合间关系的判断)[多选]已知I为全集，若A∪B＝A，则(　 ) A．A⊆B B．B⊆A C．(∁IA)⊆(∁IB) D．(∁IB)⊆(∁IA) 解析：选BC　因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以(∁IA)⊆(∁IB)．故选BC. [例4]　(子集、真子集)满足条件{2,3}⊆A⊆{1,2,3,4}的集合A有(　 ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 解析：选C　∵{2,3}⊆A⊆{1,2,3,4}，∴A＝{1,2,3,4}或{1,2,3}或{2,3,4}或{2,3}，共4个． [例5]　(由集合间的关系求参数的值或范围)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(　 ) A．2 B．1 C. D．－1 解析：选B　依题意有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，满足A⊆B.所以a＝1. 点拨·建模　与集合间关系有关问题的解题策略 (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数进行分类讨论． (2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数．特别提醒：不能忽略任何非空集合是它自身的子集，空集是非空集合的真子集，即若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． (3)根据集合的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系． 逐点清(三)　集合的运算 题点1　集合的交、并、补运算 [例6]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　 ) A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} 解析：选C　法一：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≤－2或x≥3}，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}．故选C. 法二：因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1,0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．故选C. [例7]　(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝(　 ) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 解析：选A　因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. 个性点拨　解决集合运算问题的3个技巧 看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键 对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决 应用 数形 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解 题点2　利用集合的运算求参数 [例8]　[多选]已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝∅，则a的可能取值为(　 ) A．3 B．2 C．－1 D．1 解析：选BD　由题意，集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，且A∩B＝∅，当A＝∅时，可得2a>a＋3，解得a>3，此时满足A∩B＝∅；当A≠∅时，则满足解得－≤a≤2.综上可得，实数a的取值范围是∪(3，＋∞)．故选BD. 个性点拨 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 逐点验收(一)　集合的概念与集合间的基本关系 1．已知集合A＝{x|x＝4k，k∈Z}，B＝{x|x＝4m＋1，m∈Z}，C＝{x|x＝4n＋2，n∈Z}，D＝{x|x＝4t＋3，t∈Z}，若a∈B，b∈C，则下列说法正确的是(　 ) A．a＋b∈A B．a＋b∈B C．a＋b∈C D．a＋b∈D 解析：选D　因为a∈B，b∈C，则由题意可设a＝4m＋1，b＝4n＋2，其中m∈Z，n∈Z，所以a＋b＝4(m＋n)＋3，且m＋n∈Z，故a＋b∈D. 2．已知集合M＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，N＝，则(　 ) A．M∩N＝∅ B．M⊆N C．N⊆M D．M与N的关系不确定 解析：选B　由M＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，N＝可知，集合M是由所有的奇数构成的集合，而集合N中的元素是的倍数，故M⊆N，故选B. 3．[多选]已知集合A＝，B＝{x|ax＝3}，若B⊆A，则a的取值可能为(　 ) A．1 B．0 C．6 D. 解析：选ABC　当a≠0时，B＝，因为B⊆A，所以＝或＝3，解得a＝1或a＝6.当a＝0时，B＝∅⊆A.故选ABC. 4．(2024·南昌模拟)设集合M＝{2，－2，－1}，N＝{x||x－a|＜1}，若M∩N的真子集的个数是1，则正实数a的取值范围为________． 解析：由|x－a|＜1可得－1＜x－a＜1，解得a－1＜x＜a＋1，因为a＞0，则a－1＞－1且a＋1＞1，因为M∩N的真子集的个数为1，设M∩N的元素个数为n，则2n－1＝1，解得n＝1，因为M＝{2，－2，－1}，则M∩N＝{2}，所以a－1＜2＜a＋1，解得1＜a＜3，因此正实数a的取值范围为{a|1＜a＜3}． 答案：{a|1＜a＜3} 逐点验收(二)　集合的运算 5．设全集U＝{x∈N|x(x－5)≤0}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则B∪(∁UA)＝(　 ) A．{1,3} B．{2,4,5} C．{1,3,5} D．{0,2,4,5} 解析：选D　因为全集U＝{x∈N|x(x－5)≤0}＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，所以∁A＝{0,4,5}，又因为B＝{2,4}，所以B∪(∁UA)＝{0,2,4,5}． 6．(2024·湖州模拟)若集合M＝{x|(x－3)≥0}，N＝{x|(x－3)(x－1)≥0}，则M∩N＝(　 ) A．{x|x≥3} B．{x|x≤1或x≥3} C．{x|x＝1或x≥3} D．{x|x＝1或x＝3} 解析：选C　因为M＝{x|(x－3)≥0}＝{x|x＝1或x≥3}，N＝{x|(x－3)(x－1)≥0}＝{x|x≥3或x≤1}，所以M∩N＝{x|x＝1或x≥3}． 7.(2024·湛江质检)已知R为实数集，集合A＝，B＝，则图中阴影部分表示的集合为(　 ) A．{x|－1<x≤3} B．{x|2<x≤3} C．{x|1≤x<2} D．{x|－1<x<2} 解析：选C　题图中阴影部分表示B∩(∁RA)，由<1，得x<1或x>3，所以∁RA＝{x|1≤x≤3}，由<2x<4，解得－1<x<2，所以B＝{x|－1<x<2}，故B∩(∁RA)＝{x|1≤x<2}． 8．(2024·亳州模拟)已知集合A＝{x|1≤x<5}，B＝{x|－a<x≤a＋4}，若B⊆(A∩B)，则a的取值范围为(　 ) A．{a|－2<a<－1} B．{a|a<－2} C．{a|a≤－1} D．{a|a>－2} 解析：选C　∵B⊆(A∩B)，又(A∩B)⊆B，∴A∩B＝B，即B⊆A.①当B＝∅时，满足B⊆A，此时－a≥a＋4，解得a≤－2；②当B≠∅时，由B⊆A，得解得－2<a≤－1.综上所述，a≤－1. 细节、微点提醒 (1)研究集合，要看集合中的代表元素，理解元素的互异性； (2)在解决集合中含有字母的问题时，一是要考虑空集的情况，二是防止与集合中元素的互异性相矛盾． [课时跟踪检测] 1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则(　 ) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 解析：选A　由题意知M＝{2,4,5}．故选A. 2．已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝(　 ) A．(－1,2) B．[0,1] C．[0,1) D．(－1,2] 解析：选D　由题设A∪B＝{x|－1<x<1}∪{x|0≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}． 3．(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集个数为(　 ) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：选B　A＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，故子集个数为22＝4. 4．已知集合P＝{y|y＝x＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝1－x，x∈R}，则P∩Q＝(　 ) A．∅ B．{1} C．{(0,1)} D．R 解析：选D　当x∈R时，y＝x＋1∈R，所以集合P＝{y|y∈R}，同理可得Q＝{y|y∈R}，故P∩Q＝R. 5．已知R是实数集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩(∁RB)＝(　 ) A．{－1,0} B．{0,1} C．{－1,0,1} D．∅ 解析：选A　因为A＝{－1,0,1}，B＝，所以A∩(∁RB)＝{－1,0}． 6．(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　 ) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 解析：选A　因为M∪N＝{x|x<2}，所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A. 7．已知集合A＝{a∈N|ax2＝9，x∈Z}，B＝{x∈N|ax2＝9，a∈Z}，则(　 ) A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝{1} D．A∩B＝∅ 解析：选C　因为1×9＝9，A＝{a∈N|ax2＝9，x∈Z}中，当x＝±1时，a＝9，当x＝±3时，a＝1，故A＝{9,1}，B＝{x∈N|ax2＝9，a∈Z}中，当a＝1时，x＝3，当a＝9时，x＝1，故B＝{3,1}，A不是B的子集，B不是A的子集，A、B错误；A∩B＝{1}，C正确，D错误． 8．设全集U＝{1,2，m2}，集合A＝{2，m－1}，∁UA＝{4}，则m＝(　 ) A．3 B．－2 C．4 D．2 解析：选D　已知A＝{2，m－1}，∁UA＝{4}，由补集概念知，m－1≠4，由集合中元素的互异性知，m－1≠2，又全集U＝{1,2，m2}，因为∁UA＝{4}⊆U，且A⊆U，所以4∈U，m－1∈U，则解得m＝2. 9．(2024·青岛模拟)已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是(　 ) A．A＝B B．B⊆A C．A∩(∁UB)＝∅ D．(∁UA)∩B＝∅ 解析：选C　因为集合A，B满足A⊆(A∩B)，所以A⊆B.对于A，当A为B的真子集时，不成立；对于B，当A为B的真子集时，也不成立；对于C，A∩(∁UB)＝∅，恒成立；对于D，当A为B的真子集时，不成立． 10.(2024·长春质检)在Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若A＝{x|x＝2n＋1，n∈N，n≤4}，B＝{2,3,4,5,6,7}，则A⊗B＝(　 ) A．{1,2,4,6} B．{2,4,6,9} C．{2,3,4,5,6,7} D．{1,2,4,6,9} 解析：选D　由题图可知，A⊗B＝{x|x∈(A∪B)，x∉(A∩B)}，因为A＝{x|x＝2n＋1，n∈N，n≤4}＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,4,5,6,7}，所以A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{3,5,7}，因此，A⊗B＝{1,2,4,6,9}． 11．[多选]对于非空集合A，B，若满足A⊆B或B⊆A，则称A，B两集合构成“全食”；若A∩B≠∅且互相无子集关系，则称A，B两集合构成“偏食”．已知A＝，B＝{x|ax2－2＝0}，若A，B构成“全食”或“偏食”，则a的值是(　 ) A．0 B．2 C．1 D．8 解析：选BD　若a≤0，则B＝∅，不合题意；若a>0，则B＝，若A，B构成“全食”，则＝1⇒a＝2，若A，B构成“偏食”，则 ＝⇒a＝8. 12．已知集合A＝{x|2x2＋3x≥－1}，B＝{x|mx≥1}，若A∪B＝A且m≤0，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－1,0] B．[－1,0] C．[－2，－1] D．(－∞，－1] 解析：选B　A＝{x|2x2＋3x≥－1}＝，因为A∪B＝A，所以B⊆A.①当m＝0时，B＝∅，满足题意；②当m<0时，B＝{x|mx≥1}＝，要使B⊆A，则解得－1≤m<0.综上所述，实数m的取值范围是[－1,0]． 13．已知集合A＝{m|1<m<4}，B＝{y|y＝x3，x∈R}，则A∩B＝________. 解析：因为B＝{y|y＝x3，x∈R}＝R，所以A∩B＝{m|1<m<4}． 答案：{m|1<m<4} 14．(2024·九省考前适应性测试)已知集合A＝{－2，0,2,4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________． 解析：∵A∩B＝A，则A⊆B，∴B＝{x|3－m≤x≤3＋m}， ∴∴m≥5，∴mmin＝5. 答案：5 15．已知全集U＝R且集合A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∉A∪B且x∈∁U(A∩B)}，已知A＝{x|－2<x<5}，B＝{x|x≤3}，则A⊗B＝________. 解析：由题意得A∪B＝{x|x<5}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或x>3}，因为A⊗B＝{x|x∉A∪B且x∈∁U(A∩B)}，所以A⊗B＝{x|x≥5}． 答案：{x|x≥5} 16．在①A∩B＝A，②A∩(∁RB)＝A，③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合A＝{x|a－1<x<2a＋3}，B＝{x|－7≤3x－1≤11}． (1)当a＝2时，求A∪B； (2)若A非空，________，求实数a的取值范围． 解：(1)因为B＝{x|－7≤3x－1≤11}＝{x|－2≤x≤4}，当a＝2时，则A＝{x|1<x<7}，所以A∪B＝{x|－2≤x<7}． (2)若选条件①：由(1)可知，B＝{x|－2≤x≤4}，因为A∩B＝A，则A⊆B，且A≠∅，则解得－1≤a≤，所以实数a的取值范围为. 若选条件②：因为A非空，则a－1<2a＋3， 解得a>－4， 由(1)可知，∁RB＝{x|x<－2或x>4}，若A∩(∁RB)＝A, 则A⊆(∁RB)，则2a＋3≤－2或a－1≥4，解得a≤－或a≥5. 综上所述，实数a的取值范围为. 若选条件③：由(1)可知，B＝{x|－2≤x≤4}，因为A非空，则a－1<2a＋3，解得a>－4. 又因为A∩B＝∅，则a－1≥4或2a＋3≤－2，解得a≥5或a≤－.综上所述，实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$