8.9.2 最值与范围问题（课件PPT）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第二课时 最值与范围问题 CONTENTS 目录 1 2 3 考法(一)　最值问题 考法(二)　范围问题 课时跟踪检测 考法(一)　最值问题 01 例 1 (2)设l的方程为y＝k(x－4)(k<0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 则Δ＝(－32k2)2－4(1＋4k2)(64k2－4)＝16－192k2>0， 点拨·建模 求圆锥曲线最值的两种方法 几何法 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解 代数法 把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 ∴y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，Δ＝16p2－8p>0， ∴16p2－8p＝48，∴2p2－p－6＝0， ∴(2p＋3)(p－2)＝0， ∴p＝2. (2)由(1)知y2＝4x，∴F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x3，y3)，N(x4，y4)， ∴y3＋y4＝4m，y3y4＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0， 即(1－n－my3)(1－n－my4)＋y3y4＝0，即(m2＋1)y3y4－m(1－n)(y3＋y4)＋(1－n)2＝0， 将y3＋y4＝4m，y3y4＝－4n， 代入得4m2＝n2－6n＋1， 考法(二)　范围问题 02 例 2 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(0，m)， 可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， ∵Δ＝(8km)2－4×(4k2＋1)×(4m2－4)>0， 即64k2－16m2＋16>0， 点拨·建模 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用已知或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 解：(1)依题意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2， 解得a＝1(其中a＝－2<0舍去)， 所以b2＝c2－a2＝4－1＝3， (2)显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为x＝my＋n(n＞0)， 由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0， 即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0， 整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0， 代入得，3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0， 化简可消去所有含m的项， 解得n＝5或n＝－1(舍去)， 又M，N都在双曲线的右支上， 课时跟踪检测 03 1 3 4 2 1 3 4 2 解：(1)由已知得，右焦点F(c,0)， 1 3 4 2 (2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝4. 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y＝kx＋2， 1 3 4 2 令t＝1＋3k2(t≥1), ∴直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 (2)易知直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x－2＝my(m≠0)， 1 2 3 4 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 因为A，B在椭圆上， 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 (2)由(1)可知椭圆E的“伴随圆”为x2＋y2＝4， 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 综上所述，弦长|AB|的最大值为2. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且＋＝. (1)求C的方程； (2)A是C的下顶点，过点P(4,0)的直线l与C相交于M，N两点，直线l的斜率小于0，△AMN的重心为G，O为坐标原点，求直线OG斜率的最大值． 解：(1)由题可知 解得 故C的方程为＋y2＝1. 联立方程组整理得(1＋4k2)x2－32k2x＋64k2－4＝0， 得k2<，x1＋x2＝.设G(x0，y0)， 即k＝－满足k2<时，kOG取得最大值，且最大值为. 因为A(0，－1)，所以x0＝，y0＝， 所以kOG＝＝＝k－＝－＝－2＋， 当＝－4， [针对训练] 1．设抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线x－2y＋1＝0与C交于A，B两点，且|AB|＝4. (1)求p的值； (2)F为y2＝2px的焦点，M，N为抛物线上的两点，且·＝0，求△MNF面积的最小值． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 消去x得y2－4py＋2p＝0， ∴p(2p－1)>0，∴p>， |AB|＝|y1－y2|＝＝4， 由可得y2－4my－4n＝0， ∵·＝0，∴(1－x3)(1－x4)＋y3y4＝0， ∴4(m2＋n)＝(n－1)2>0，∴n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，∴d＝， |MN|＝|y3－y4|＝ ＝ ＝＝2|n－1|， ∴△MNF的面积S＝d×|MN| ＝××2|n－1|， 又n≥3＋2或n≤3－2，∴当n＝3－2时，△MNF的面积Smin＝(2－2)2＝12－8. 已知F1，F2为椭圆C的左、右焦点，点P为其上一点，且|PF1|＋|PF2|＝4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，与y轴交于点M，若存在m，使得＋3＝4，求m的取值范围． ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. 解：(1)由题意设椭圆C的标准方程为 ＋＝1(a>b>0)， ∵点P为椭圆上一点，且|PF1|＋|PF2|＝4， ∴解得 由＋3＝4，得(x1＋3x2，y1＋3y2)＝(0,4m)，x1＝－3x2， 联立 ∴4k2－m2＋1>0，且又x1＝－3x2，∴x2＝， 则x1x2＝－3x＝－32＝ ∴16k2m2－4k2＋m2－1＝0，∴k2＝， 则<m2<1，解得m∈∪. ∴m的取值范围是∪. 代入4k2－m2＋1>0得＋1－m2>0， [针对训练] 2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形． (1)求双曲线C的方程； (2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围． 由|AF|＝|BF|，得a＋c＝，得a2＋2a＝22－a2， 故双曲线C的方程为x2－＝1. 联立消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0， 在条件下，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1＋y2＝－，y1y2＝， 所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3，6]． 则直线MN的方程为x－my－5＝0，得点A到直线MN的距离d＝， 故有3m2－1<0，0≤m2<， 此时1≤<，d＝∈(3，6]， 1．(2024·淮南一模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，椭圆的右焦点到直线x－y＋2＝0的距离是4. (1)求椭圆的方程； (2)设过椭圆的上顶点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程． ∴a＝2，b2＝a2－c2＝4， ∴椭圆方程为＋＝1. ∴＝4，∴c＝2， 又∵离心率e＝＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝， 联立得(1＋3k2)x2＋12kx＝0， ∴x1＝0，x2＝－， ∴|AB|2＝(1＋k2)×＝＝－2＋18(t≥1)， ∴当＝，即t＝4时，|AB|2取得最大值，即k＝±1时，|AB|2最大值为18，即|AB|最大值为3， 2．(2024·咸阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且经过A(0,2)． (1)求双曲线C的方程； (2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ的中点为M，求△BOM(O为坐标原点)面积的取值范围． 所以＝1，a＝2，则c＝2，又c2＝a2＋b2， 所以b＝2.所以双曲线C的方程为－＝1. 解：(1)双曲线的离心率为，即＝， 因为点A(0,2)在双曲线－＝1上， 由得(1－m2)y2－4my－8＝0， 设P，Q两点的纵坐标分别为y1，y2， 则 易知函数y＝x－在(1，)上单调递增， 所以m－∈，所以△BOM面积的取值范围为(2，＋∞)． 解得1＜m＜.设点M的纵坐标为y0，则y0＝＝， 所以S△BOM＝×|OB|×|y0|＝×2×＝＝，1＜m＜. 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为8，且点M在C上． (1)求C的方程； (2)若直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值． (2)易得直线OM的方程为y＝－x， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x0，y0)为AB的中点，其中y0＝－x0， 解：(1)依题意可知 解得故C的方程为＋＝1. 所以两式相减可得kAB＝＝－×＝－×＝.可设直线l的方程为y＝x＋m，联立 则|AB|＝·＝，原点到直线l的距离d＝＝， 整理得16x2＋10mx＋5m2－20＝0，则Δ＝300m2－64(5m2－20)>0， 解得－8<m<8，则x1＋x2＝－，x1x2＝， 则△AOB的面积S＝d·|AB|＝××＝. 当且仅当m2＝32，即m＝±4时，△AOB的面积有最大值，且最大值为2. 4．给定椭圆E：＋＝1(a>b>0)，我们称圆x2＋y2＝a2＋b2为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中b＝1，离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆E交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，|CD|＝.求弦长|AB|的最大值． 为|CD|＝，所以圆心到直线距离为d＝＝，由点到直线的距离公式得d＝＝，解得m2＝(k2＋1)， 解：(1)由题可知，b＝1，e＝＝，且a2＝b2＋c2，解得a2＝3，c2＝2， 故椭圆E的标准方程为＋y2＝1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝， 联立直线与椭圆方程得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 由Δ>0得3k2＋1－m2>0，由m2＝(k2＋1)得9k2＋1>0，k∈R， 由弦长公式可得|AB|＝ ＝· ＝· ＝＝， 当且仅当9k2＝，即k＝±时取到等号． 若k＝0时，则|AB|＝； 若k≠0时，则|AB|＝＝≤＝2， $$