8.9.1 求值与证明问题（课件PPT）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

圆锥曲线中的综合问题 第九节 第一课时 求值与证明问题 CONTENTS 目录 1 2 3 考法(一)　求值问题 考法(二)　证明问题 课时跟踪检测 考法(一)　求值问题 01 例 1 解：(1)因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|，根据双曲线的定义知，点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支． 所以a＝1. 又c2＝a2＋b2，所以17＝1＋b2，则b2＝16. 由|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|， 将①②代入③并整理，得k2＝k′2. 因为k≠k′≠0，所以k＋k′＝0. 故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0. 点拨·建模 (1)涉及抛物线的焦点弦问题，常常利用根与系数的关系与抛物线的定义、焦点弦长公式，“设而不求”简化运算． (2)解决直线与圆锥曲线相交弦问题设直线方程时，如果直线斜率存在，那么一般设为y＝kx＋b的形式；如果直线的斜率可能不存在，那么一般设为x＝my＋t的形式． 则b2＝a2－c2＝3， (2)由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P的方程为y＝k(x－2)． 由直线A2P交y轴于点Q可得Q(0，－2k)， 考法(二)　证明问题 02 例 2 所以2b＝4，即b＝2. 因为a2－c2＝b2＝4， 所以A(0,2)，C(0，－2)，B(－3,0)，D(3,0)． 显然，MN与CD不重合，所以MN∥CD． 点拨·建模 几何证明问题的解题策略 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． (2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 则4c2＝16＋(2a－4)2－4(2a－4)， 解得a＝4，c＝2，所以b2＝12， (2)证明：当直线斜率为0时，易知∠MQO＝∠NQO成立， 消去x得(3t2＋4)y2＋12ty－36＝0， 所以∠MQO＝∠NQO. 综上可知，总有∠MQO＝∠NQO. 课时跟踪检测 03 1 3 4 2 1．设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝16. (1)求p的值； (2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 1 3 4 2 因为|AB|＝y1＋y2＋p＝4p， 所以4p＝16，解得p＝4. 1 3 4 2 (2)由(1)知l：y＝x＋2，y1＋y2＝12，设线段AB的中点为D， 则D(4,6)，线段AB的中垂线方程为y＝－x＋10. 设圆心为P(x0，y0)，易知点P(x0，y0)在直线y＝－x＋10上， 1 3 4 2 圆心坐标为(4,6)，半径为|6＋2|＝8， 所以圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝64； 所以圆的方程为(x＋12)2＋(y－22)2＝576， 所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝64或(x＋12)2＋(y－22)2＝576. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 (2)证明：∵Q(m，n)(mn≠0)在x2＋y2＝2上， 1 2 3 4 得(3m2－4)x2－4mx＋8－2m2＝0， ∵切线与双曲线交于不同的两点A，B， 且0＜m2＜2,3m2－4≠0， 且Δ＝16m2－4(3m2－4)(8－2m2)＞0， 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 1 2 3 4 ∴∠AOB＝90°. 即△ABO为直角三角形． 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 (2)证明：如图，作直线AF，根据椭圆的对称性，欲证A，D关于x轴对称， 只需证kFA＝－kFD，即证kFA＋kFB＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋4， 1 3 4 2 1 3 4 2 所以kFA＋kFB＝0，即A，D关于x轴对称． 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 点B(2,0)，直线BT的方程为x＝2(t－2)y＋2. 1 3 4 2 1 3 4 2 整理得t4－6t2＋8＝0，解得t2＝2或t2＝4. 　(2021·新课标Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C． (1)求C的方程． (2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和． 由题意，得c＝，|MF1|－|MF2|＝2a＝2， 所以C的方程为x2－＝1(x≥1)． (2)设T，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB的方程为y＝k＋t， 将此方程代入x2－＝1，得(k2－16)x2＋(2kt－k2)x＋k2－kt＋t2＋16＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝.　 ① 设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，直线PQ的方程为y＝k′＋t，将此方程代入x2－＝1， 得(k′2－16)x2＋(2k′t－k′2)x＋k′2－k′t＋t2＋16＝0， 所以x3＋x4＝，x3x4＝.　② 得(1＋k2)＝(1＋k′2)·， 即(1＋k2)＝(1＋k′2)·.　③ [针对训练] 1．(2023·天津高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1F|＝3，|A2F|＝1. (1)求椭圆的方程和离心率e； (2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程． 解：(1)如图，由题意可知故 所以椭圆的方程为＋＝1， 此椭圆的离心率e＝＝. 由可得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，设P(xP，yP)， 则由根与系数的关系可知xP＋2＝，即xP＝，则yP＝k(xP－2)＝. 所以S△A1PQ＝×4×|yP－yQ|， S△A2FP＝×1×|yP|， 因为S△A1PQ＝2S△A2FP，所以2|yP－yQ|＝|yP|. ①当2|yP|－2|yQ|＝|yP|，即|yP|＝2|yQ|时， 有＝4|k|，解得k＝0，不符合题意，舍去． ②当2|yQ|－2|yP|＝|yP|，即2|yQ|＝3|yP|时，有4|k|＝， 解得k＝±. 故直线A2P的方程为y＝±(x－2)． (2023·北京高考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|＝4. (1)求E的方程； (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD． 解：(1)依题意，得e＝＝，则c＝a. 又A，C分别为椭圆的上、下顶点，|AC|＝4， 即a2－a2＝a2＝4，所以a2＝9. 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：因为椭圆E的方程为＋＝1， 因为P为第一象限内E上的动点，设P(m，n)(0<m<3,0<n<2)，则＋＝1. 易得kBC＝＝－，则直线BC的方程为y＝－x－2.kPD＝＝， 则直线PD的方程为y＝(x－3)． 联立 解得 即M. kPA＝＝， 则直线PA的方程为y＝x＋2. 令y＝－2，则－2＝x＋2， 解得x＝，即N. 又＋＝1，则m2＝9－，8m2＝72－18n2. 所以kMN＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝. 又kCD＝＝，即kMN＝kCD． [针对训练] 2．(2024·邹平模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且有|PF1|＝4，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆C的方程； (2)已知过点(2,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q(8,0)，求证：∠MQO＝∠NQO. 解：(1)在△F1PF2中，|PF2|＝2a－4，＝， 则椭圆C的方程为＋＝1. 当直线斜率不为0时，设直线l方程为x＝ty＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立 y1＋y2＝，y1y2＝， kMQ＋kNQ＝＋＝＝＝0， 解：(1)由题意知F，直线l的方程为y＝x＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组消去x得 y2－3py＋＝0， 则Δ＝9p2－4×>0，y1＋y2＝3p. 即 消去y0得x＋8x0－48＝0， 解得或 当时， 当时，圆心坐标为(－12,22)，半径为|22＋2|＝24， 2．已知双曲线C：x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点． (1)求·的最小值； (2)若直线l为圆O：x2＋y2＝2上动点Q(m，n)(mn≠0)处的切线，且与双曲线C交于不同的两点A，B，求证：△ABO为直角三角形． 又x2－＝1，故y2＝2(x2－1)， 于是·＝3x2－(－1)x－－2(x≥1)， 当x＝1时，取到最小值2－2. 解：(1)根据题意，设P(x，y)(x≥1)， 易得A1(－1,0)，F2(，0)， ·＝(－1－x，－y)·(－x，－y)＝x2－(－1)x－＋y2， ∴圆O在点Q(m，n)处的切线方程为y－n＝－(x－m)，化简得mx＋ny＝2. 由 则x1＋x2＝，x1x2＝ . ∵cos∠AOB＝，且·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋[4－2m(x1＋x2)＋m2x1x2]＝＋＝－＝0， 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点M，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFM的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P(4,0)作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点(A在B，P之间)，直线BF与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称． 得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 解：(1)因为△OFM的面积为，则有×c×＝，解得c＝1， 又因为M在椭圆C上，则 则kFA＋kFB＝＋＝＝， 由 消去x得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝， 因为y1x2＋y2x1－(y1＋y2)＝2my1y2＋3(y1＋y2)＝2m×＋3×＝0， 4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右顶点为B，满足|AB|＝4，且椭圆E的离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知点T在椭圆E的内部，直线AT和直线BT分别与椭圆E交于另外的点C和点D，若△CDT的面积为，求t的值． (2)设C(xC，yC)，D(xD，yD)， 点A(－2,0)，直线AT的方程为y＝·(x＋2)，即x＝2(t＋2)y－2. 解：(1)由题意，|AB|＝2a＝4，得a＝2. 离心率e＝＝，得b＝1， 所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1. 与椭圆方程联立得，(t2＋4t＋5)y2－2(t＋2)y＝0，解得yC＝. 与椭圆方程联立得，(t2－4t＋5)y2＋2(t－2)y＝0，解得yD＝. 三角形面积比＝＝·＝· ＝(2yC－1)(2yD－1)． 由题意，＝， 又由点T在椭圆内部，故t2＝2，即t＝±. 又因为S△ABT＝×4×＝1， 所以S△CDT＝(2yC－1)(2yD－1) ＝＝， $$