8.5 椭圆（课件PPT）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第八章 解析几何 椭圆 第五节 课标要求 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. CONTENTS 目录 1 2 3 再认再现——课前基础落实 互动课堂——解题思维建模 即练即评——课堂效果评价 4 课时跟踪检测 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做______．这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______． 点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． 椭圆 焦点 焦距 (1)若______，则点集P为椭圆． (2)若_______，则点集P为线段． (3)若________，则点集P为空集． a>c a＝c a<c 2．椭圆的标准方程和几何性质 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为_____；短轴B1B2的长为____ 2a 2b 续表 2c (0,1) a2－b2 续表 细作教材小题 √ 14 解析：根据椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，又a2＝100， 即a＝10，所以6＋|PF2|＝20，故|PF2|＝14. 互动课堂——解题思维建模 02 逐点清(一)　椭圆的定义及其应用 例 1 √ 例 2 √ 例 3 已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． ∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6， 又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当且仅当P，A，F1共线时等号成立)， 点拨·建模 椭圆定义应用的类型及方法 求轨迹方程 通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程 焦点三角形问题 利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中将|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧 求最值 抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值 逐点清(二)　椭圆的标准方程 例 4 √ 例 5 所以点B(1,2)不在椭圆上， 所以点A(－2,0)在椭圆上． 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， 点拨·建模 求椭圆标准方程的两种常用方法 定义法 根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点的位置可写出椭圆方程 待定系数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B) 逐点清(三)　椭圆的几何性质 例 6 √ 题点1　离心率问题 例 7 √ (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． [提醒]　在解关于椭圆的离心率e的二次方程时，要注意根据椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根． 例 8 √ 题点2　最值(范围)问题 例 9 √ |个性点拨|　 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求解. (2)利用函数，尤其是二次函数求解． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求解． (4)利用一元二次方程的判别式求解． 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　椭圆的定义及标准方程 √ √ 解析：如图，设F1为椭圆C的左焦点，则由 椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB| ＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1| －|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0，所以△ABF周长的最大值为20. √ 逐点验收(二)　椭圆的几何性质 √ √ 解析：若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2， 则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点， 如图，可得c≥b，即c2≥b2， √ √ √ √ 解析：由题意可知A1(0，a)，A2(0，－a)， 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 △PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，故B不正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 ∵a－c≤|PF1|≤a＋c，∴1≤|PF1|≤3，故D正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 因为点F2为线段AB的中点， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：设椭圆C的右焦点为F′， 由椭圆的定义，得|MF|＋|MF′|＝2a＝4， 所以|MF|＝4－|MF′|， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 所以|MN|＋|MF|＝|MN|－|MF′|＋4≤|NF′|＋4， 当且仅当M，N，F′三点共线时等号成立， 则由题意，知此时|NF′|＋4＝6， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 所以b2＝a2－c2＝3－1＝2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 因为MP∥BF，所以kMP＝kBF， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 因为yN＞0，所以y0＞0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 当直线的斜率不存在时，所求直线为x＝－2，满足条件，故D错误．故选BC． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 连接BF2，由椭圆的对称性易得四边形AF1BF2为平行四边形， 由∠AF1B＝120°，得∠F2AF1＝60°， 又AF2⊥F1F2， 设|AF2|＝|BF1|＝m(m＞0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 2　 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)由y2＝16x，得p＝8，抛物线的焦点到准线的距离为8， 则椭圆的长轴长2a＝8，∴a＝4， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 焦距 |F1F2|＝____ 离心率 e＝∈_______ a，b，c的关系 c2＝________ 3．椭圆的几个常用结论 (1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2的连线叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. ①＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； ②＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； ③焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)． (2)焦点三角形：以椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2为顶点的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中： ①当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； ②S＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取到最大值，最大值为bc； ③焦点三角形的周长为2a＋2c. (3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，通径长为. (4)AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的不垂直于x轴的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为M(x0，y0)(y0≠0)，O为原点，则kOM·kAB＝－. (5)若F1，F2为椭圆的两个焦点，弦AB过焦点F1，则△ABF2的周长为4a. (6)若P为椭圆上任一点，F为椭圆的一个焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c. (7)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－. (8)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1. 1．(人教B版选择性必修一P139·例2改编)已知椭圆C的焦点为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，则椭圆C的离心率为(　 ) A． B． C． D． 解析：因为|BF1|＝|BF2|＝a，|F1F2|＝2c，△BF1F2是等边三角形，所以a＝2c， 从而有e＝＝. 2．(人教A版选择性必修一P109·T1)如果椭圆＋＝1上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是________． 即P，有两个点，|PF|＝＝. 3．(苏教版选择性必修一P128·T4)椭圆＋＝1上横坐标为2的点到右焦点的距离为________． 解析：由题意a＝4，b＝，c＝＝3，右焦点为F(3,0)，由x＝2得＝1－＝，y＝±， 4．(北师大版选择性必修一P57·T2改编)与椭圆＋＝1的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程为____________． ＋y2＝1 解析：由题设，椭圆焦点为(±1,0)，则c＝1，令椭圆的标准方程为＋＝1且a2>1，又在椭圆上， 则＋＝1，整理得4a4－9a2＋2＝(4a2－1)(a2－2)＝0， 解得a2＝2或a2＝(舍去)．所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2024·苏州模拟)已知动圆过点A(－3,0)，并且在圆B：(x－3)2＋y2＝100的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为(　 ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：由圆B：(x－3)2＋y2＝100，则其圆心B(3，0)，半径为R＝10，设动圆的圆心为C，半径为r，由圆C在圆B的内部与其相切，则R－r＝|CB|，由圆C过点A，则R－|CA|＝|CB|，即10＝|CA|＋|CB|，所以动点C的轨迹为以A，B为焦点、长轴长为10的椭圆，则a＝5，c＝＝3，b＝＝4，所以其轨迹方程为＋＝1. 已知椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝(　 ) A． B． C． D． 解析：由椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，得c＝，由O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，m>n，可得m＋n＝6,4c2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，即12＝m2＋n2－mn，可得mn＝，m2＋n2＝21，由＝(＋)，可得||2＝(2＋2＋2·)＝(m2＋n2＋2mncos∠F1PF2)＝＝×＝.可得|PO|＝.故选B． ∴|AF1|＝， ∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋. 6＋ 6－ 解析：椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)， (2024·西安一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上一点，若MF1的中点为(0,1)，且△MF1F2的周长为8＋4，则C的标准方程为(　 ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：因为△MF1F2的周长为8＋4，所以2a＋2c＝8＋4，则a＋c＝4＋2.又F1(－c,0)，MF1的中点为(0,1)，所以M的坐标为M(c,2)，故＋＝1，则＝2，结合a2＝b2＋c2，a＋c＝4＋2，解得a＝4，b＝c＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 若A(－2,0)，B(1,2)，C，D四个点中恰有三个点在椭圆上，则椭圆的标准方程为____________． 解析：因为椭圆是对称图形，所以C，D必在椭圆上．又点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同， ＋＝1 则得 所以椭圆的方程为＋＝1. (2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　 ) A． B． C． D． 解析：设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，所以kAP·kAQ＝·＝＝　(*)．因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，得n2＝(a2－m2)，代入(*)式，得＝，结合b2＝a2－c2，得3a2＝4c2，所以e＝＝.故选A． 过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 解析：由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤. |个性点拨|　求椭圆离心率或其取值范围的方法 (1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝＝＝1－2求出e2，再开方． (2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． (2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　 ) A． B． C． D．2 解析：由题意知B(0,1)． 设点P的坐标为(x，y)(－1≤y≤1)， 则|PB|＝.　 ① 由＋y2＝1，得x2＝5(1－y2)．　 ② 把②代入①，得|PB|＝＝(－1≤y≤1)． 易知当y＝－时，|PB|max＝.故选A． 已知P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则·的取值范围是(　 ) A．[0,15] B．[5,15] C．[5,21] D．(5,21) 解析：由题意知，圆N的圆心N(1,0)恰好是椭圆的右焦点，因为·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－4，又a－c≤||≤a＋c，即3≤||≤5，所以·的取值范围是[5,21]． 1．(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　 ) A．1 B．2 C．4 D．5 解析：法一：因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2tan，得|PF1|·|PF2|＝1×tan，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B． 法二：因为·＝0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B． 2．若F为椭圆C：＋＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为(　 ) A．4 B．8 C．10 D．20 3．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　 ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 解析：依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1，故选B． 所以椭圆的方程为＋＝1. 4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(， )，则椭圆的方程为_____________． ＋＝1 解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．由解得. 5．(2024·阜阳模拟)已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A，B，F为椭圆的一个焦点，若△ABF为直角三角形，则该椭圆的离心率为(　 ) A． B． C． D． 解析：如图，|AF|＝a＋c，|BF|＝a，|AB|＝， 由已知得2a2＋b2＝(a＋c)2，且b2＝a2－c2，e＝>0， 得c2＋ac－a2＝0，e2＋e－1＝0，解得e＝. 6．设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　 ) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞) 解析：当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A． 7．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________． 所以2c2≥a2，即e2≥. 又e＜1，所以e∈. 综合、应用、创新题 8．(2024·扬州模拟)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的面积为2π，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是(　 ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：由题意得解得 所以椭圆C的标准方程是＋＝1. 9.[多选]如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为θ＝45°的平面所截，截面是一个椭圆，则(　 ) A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为＋＝1 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－ 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－，D正确． 解析：设椭圆的长半轴长为a，椭圆的短半轴长为b，半焦距为c，由图象可得2acos 45°＝2， ∴a＝2.又b＝，c2＝a2－b2，∴c＝，∴椭圆的长轴长为4，A正确； 椭圆的离心率为，B错误； 椭圆的方程可以为＋＝1，C正确； 10．(2024·全国模拟预测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的点，直线PA1和PA2的斜率分别为k1，k2，写出一个满足k1·k2＝－4的椭圆C的方程是________________________． ＋x2＝1(答案不唯一) 所以a2＝4b2.所以椭圆C的方程可以为＋x2＝1(只需满足a2＝4b2即可)． 设P(x0，y0)(x0≠0)，则＋＝1， 所以x＝－， 所以k1k2＝·＝＝－＝－4， 一、强基训练，提高自信心 1．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　 ) A． B． C． D． 解析：由e2＝e1，得e＝3e.因此＝3×. 因为a＞1，所以a＝. 2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点(0,4)，离心率为，则椭圆C的方程为(　 ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：依题意b＝4，又＝，且a2＝b2＋c2，所以a＝5，c＝3，故椭圆C的方程为＋＝1. 3．“4＜k＜10”是“方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆， ∴解得4＜k＜7， 故“4＜k＜10”是“方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件． 4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(－，0)为其左焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆C的一个交点为A，若tan∠AOF＝(O为原点)，则椭圆的长轴长等于(　 ) A．6 B．12 C．4 D．8 解析：因为椭圆C的左焦点为F(－，0)，所以c＝.又AF垂直于x轴，A在椭圆C上，故可设A(－c，y1)，所以＋＝1.又a2＝b2＋c2，所以|y1|＝.又tan∠AOF＝，所以＝.又a2＝b2＋3，所以a＝2，b＝3，故2a＝4，故选C． 5.如图，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为4的正三角形，则b2的值是(　 ) A．8 B．2 C．4 D．4＋2 解析：由于△POF2是面积为4的正三角形，过点P作PH⊥x轴于H， 则H为OF2的中点，所以xP＝c，yP＝c，所以S△OPF2＝×c2＝4，即c＝4，即P(2,2)，将点P的坐标代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝1，解得b2＝8.故选A． 6．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，P，Q为C上两点，2＝3，若⊥，则C的离心率为(　 ) A． B． C． D． 解析：设||＝3m，则||＝2m，||＝2a－3m，||＝2a－2m，||＝5m，在△PQF1中得(2a－3m)2＋25m2＝(2a－2m)2，即m＝a.因此||＝a，||＝a，||＝2c，在△PF1F2中得a2＋a2＝4c2，故17a2＝25c2，所以e＝. 7．(2024·福州检测)[多选]已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则(　 ) A．椭圆C的离心率为 B．△PF1F2的周长为5 C．∠F1PF2＜90° D．1≤|PF1|≤3 解析：椭圆C：＋＝1，∴a2＝4，b2＝3，∴c2＝a2－b2＝1，即c＝1，∴离心率e＝＝，故A不正确； 在△PF1F2中，当P点移动到椭圆C的短轴端点处时，∠F1PF2最大，由余弦定理可得，此时cos∠F1PF2＝＝＝1－＝，∴∠F1PF2＝60°＜90°，故C正确； 8．(2024·烟台高三期末)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：_________________________. ①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为. ＋＝1(答案不唯一) 解析：只要椭圆方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可， 令m＝1，焦点在x轴上，则椭圆的方程为＋＝1(答案不唯一)． 9．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，若F2为线段AB的中点，则△AF1B的面积为________． 解析：由题意可知F1(－，0)，F2(，0)， 所以AB⊥F1F2，所以|AB|＝＝1， 所以S△AF1B＝|AB|·|F1F2|＝. 10．(2024·海口诊断)已知椭圆C：＋＝1(0＜b＜2)的左焦点为F，M是C上的动点，点N(0，)，若|MN|＋|MF|的最大值为6，则C的离心率为________． 即|NF′|＝＝2，解得c＝1， 所以e＝＝. 11.如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B． (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程． 所以a＝c，e＝＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由＝2，得解得x＝，y＝－. 代入＋＝1，得＋＝1，解得a2＝3. 所以椭圆方程为＋＝1. 12．(2021·天津高考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF，求直线l的方程． 解：(1)因为离心率e＝，|BF|＝， 所以解得 所以椭圆的方程为＋y2＝1. (2)如图，设M(x0，y0)，则切线MN的方程为＋y0y＝1，令xN＝0，得yN＝，因为PN⊥BF， 所以kPN·kBF＝－1，所以kPN·＝－1， 解得kPN＝2，设P(x1,0)，则kNP＝＝2，即x1＝－， 所以＝－，即－2y0＝x0＋， 所以x0＝－2y0－， 又因为＋y＝1， 所以＋＋＋y＝1，解得y0＝±， 所以y0＝，x0＝－－＝－， 所以＋y＝1，即直线l的方程为x－y＋＝0. 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．[多选]椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，点Q在以M(－2,4)为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是(　 ) A．椭圆C的离心率为 B．·的最大值为8＋21 C．|PQ|－|PF2|的最小值为 －6 D．过点M的直线与椭圆C只有一个公共点，此时直线方程为15x＋16y－34＝0 解析：由椭圆C的方程知a＝2，b＝1，c＝，所以离心率e＝，故A错误； 设Q(x，y)，则F1(－，0)，F2(，0)，即＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，所以·＝(－－x)·(－x)＋y2＝x2＋y2－3，且圆M：(x＋2)2＋(y－4)2＝4，所以(x2＋y2)max表示圆上的点到原点(0,0)距离的最大值的平方，则(x2＋y2)max＝(＋2)2＝24＋8，所以(x2＋y2－3)max＝24＋8－3＝21＋8，故B正确； 圆M：(x＋2)2＋(y－4)2＝4，所以|PQ|－|PF2|＝|PQ|－(4－|PF1|)≥|QF1|－4≥|MF1|－2－4＝－6，故C正确； 14．已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S＝，则此椭圆的标准方程为__________． ＋＝1 解析：由题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)(如图所示)， 又S＝×|BF1|·|F1F2|＝×m×m＝，解得m＝， 又由2c＝|F1F2|＝m＝2， 2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m＝2， 得c＝1，a＝，b2＝a2－c2＝3－1＝2， 所以椭圆C的方程为＋＝1. 15．(2023·成都三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为，P，Q为C上的两个动点，且直线OP与OQ斜率之积为－(O为坐标原点)，则椭圆C的短轴长为________，|OP|2＋|OQ|2＝________. 解析：∵椭圆C的长轴长为2a＝4，∴a＝2，又离心率e＝＝， ∴c＝， ∴b＝＝1，∴椭圆C的短轴长为2b＝2， ∴椭圆C：＋y2＝1. 设P(2cos α，sin α)，Q(2cos β，sin β)， ∴kOP·kOQ＝·＝＝－，∴cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0， ∴α－β＝＋kπ(k∈Z)， ∴|OP|2＋|OQ|2＝4cos2α＋sin2α＋4cos2β＋sin2β＝4cos2＋sin2＋4cos2β＋sin2β＝4sin2β＋cos2β＋4cos2β＋sin2β＝5. 16．已知椭圆A：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于抛物线y2＝16x的焦点到准线的距离，椭圆A的离心率是方程2x2－3x＋3＝0的一个实数根． (1)求椭圆A的方程； (2)若F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的一点，求·的取值范围． 由2x2－3x＋3＝0，解得x＝或x＝， 由0＜e＜1，得椭圆A的离心率e＝＝， ∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝4， ∴椭圆A的方程为＋＝1. (2)设M(x0，y0)，则＋＝1，即x＝16－4y，易知F1(－2，0)，F2(2，0)， 则·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x－12＋y＝－3y＋4， ∵－2≤y0≤2，∴－8≤－3y＋4≤4， 即·的取值范围是[－8,4]． $$