8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（课件PPT）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

直线与圆、圆与圆的位置关系 第四节 课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 再认再现——课前基础落实 互动课堂——解题思维建模 即练即评——课堂效果评价 4 课时跟踪检测 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1．直线与圆的位置关系 设圆O的半径为r(r＞0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ___0 Δ___0 Δ___0 几何观点 d___r d___r d___r ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 2．圆与圆的位置关系 设圆O1，O2的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 数量的关系 _____________ ______________ _____________________ ____________ _______ 公切线条数 4 3 2 1 0 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r 3．常用结论及应用 (1)牢记三个相关结论： ①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)两圆相交时公共弦的性质： 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： ①将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程． ②两圆圆心的连线垂直平分公共弦． 细作教材小题 √ 1．(苏教版选择性必修一P66·T2)设a，b为实数，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是(　 ) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 2．(北师大版选择性必修一P36·T2改编)圆x2＋y2＝5在点P(1,2)处的切线方程为(　 ) A．x－2y＋3＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x＋2y－5＝0 D．2x－y－4＝0 √ 3．(人教A版选择性必修一P98·T1改编)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________． 内切 4．(人教A版选择性必修一P91·例1改编)直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦AB的长为___________． 解析：将圆的方程化为标准式，可得(x－1)2＋(y－2)2＝5， 互动课堂——解题思维建模 02 逐点清(一)　直线与圆的位置关系的判断 例 1 √ (2024·衡水模拟)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　 ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 法三：点与圆的关系　易得直线l过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜5，所以点(1,1)在圆的内部，故直线l与圆C相交． 例 2 √ 点拨·建模 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 例 3 √ 逐点清(二)　圆的切线与弦长问题 题点1　切线问题 例 4 过点(－4,3)的圆(x＋3)2＋(y－1)2＝1的切线方程为__________ ___________． 解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x＝－4，圆心(－3,1)到该直线的距离等于半径1，符合题意， 当切线的斜率存在时，设过点(－4,3)的切线方程为y－3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＋3＝0， x＝－4或 3x＋4y＝0 ∵圆心到直线kx－y＋4k＋3＝0的距离等于半径， ∴切线方程为3x＋4y＝0.综上所述，切线方程为x＝－4或3x＋4y＝0. |个性点拨|　圆的切线方程的求法 几何法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k 代数法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k 例 5 √ 题点2　弦长问题 解析：∵∠POQ＝120°，圆的半径为1， 例 6 √ |个性点拨|　直线被圆截得的弦长的求法 例 7 已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段|PQ|的长的取值范围为____________． 题点3　最值(范围)问题 ∵AP，AQ为圆C的切线， ∵AP，AQ为圆C的切线， ∵AC是PQ的垂直平分线， 例 8 (2024·龙岩模拟)已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为________． |个性点拨|　与圆有关的最值(范围)问题的解题策略 涉及与圆的切线有关的线段长度最值(范围)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果． 逐点清(三)　圆与圆的位置关系 例 9 √ 例 10 √ √ 作差可得C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0，故B正确； 若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12，故D正确．故选BD． 点拨·建模 (1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　直线与圆的位置关系 √ 1．(2021·新课标Ⅱ卷)[多选]已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　 ) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 √ √ √ √ 4．设直线l：y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝________；b＝________. 解析：设C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1， 由题意，C1，C2到直线的距离等于半径， 所以|b|＝|4k＋b|， 5．已知圆C：x2＋y2－2y＝0，过直线l：x＋y＋1＝0上任意一点P，作圆的两条切线，切点分别为A，B两点，则|AB|的最小值为__________． 逐点验收(二)　圆与圆的位置关系 √ 6．(2024·潍坊模拟)在平面直角坐标系中，已知两点O(0,0)，A(3,4)到直线l的距离分别是1与4，则满足条件的直线l共有(　 ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．(2023·枣庄统考二模)满足圆x2＋(y－4)2＝25与(x－a)2＋y2＝1相交的一个a值为_______________________________________________． 解析：圆x2＋(y－4)2＝25的圆心为(0,4)，半径r1＝5，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心为(a,0)，半径r2＝1， 所以满足圆x2＋(y－4)2＝25与(x－a)2＋y2＝1相交的一个a值可以为2. 综合、应用、创新题 8．已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是(　 ) A．8 B．9 C．10 D．100 √ √ √ 解析：结合题意，设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2， (x－2)2＋y2＝1(答案不唯一) 即a＝2r或a＝－2r， 则该圆的标准方程为(x－2r)2＋y2＝r2或(x＋2r)2＋y2＝r2， 不妨取r＝1，故此时圆的标准方程可以为(x－2)2＋y2＝1. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 √ 一、强基训练，提高自信心 1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为(　 ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 2．(2024·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是(　 ) A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 6．(2024·临澧开学考试)已知圆C：x2＋y2－4x－2y－4＝0，过点P(6，－2)作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则四边形PACB的面积为(　 ) A．6 B．12 C．14 D．18 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：圆O1：(x－1)2＋y2＝4的圆心O1(1，0)，半径r1＝2.若m＝4，O2：(x－5)2＋y2＝16，则圆心O2(5,0)，半径r2＝4，则|O1O2|＝4，r1＋r2＝6，|r1－r2|＝2，所以|r1－r2|<|O1O2|< r1＋r2，则圆O1与圆O2相交，故A正确，B错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 8．已知圆O：x2＋y2＝1与直线l：x＝－1，写出一个半径为1，且与圆O及直线l都相切的圆的方程：_________________________. 解析：设圆心C为(x0，y0)，由已知圆C与直线l：x＝－1相切，圆C与圆O：x2＋y2＝1相切， x2＋(y－2)2＝1(答案不唯一) 所以圆的方程可以为x2＋(y－2)2＝1或x2＋(y＋2)2＝1或(x＋2)2＋y2＝1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 9．(2024·吉林模拟)由直线x＋y＋6＝0上一点P向 圆C：(x－3)2＋(y＋5)2＝4引切线，则切线长的最小值 为________． 解析：如图，设过点P的切线与圆C相切于点E，连接CE，PC，则PE⊥CE， 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 10．经过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点， 且面积最小的圆的方程是____________________． 解析：法一：面积最小的圆是以两个交点为直径的圆　∵圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4， ∴圆心坐标为(－1,2)，半径为r＝2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 设直线2x－y＋3＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点为A，B， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 法二：依题意，可设直线2x－y＋3＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点为A，B，则过A，B两点圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x－y＋3)＝0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 所以圆O的方程为x2＋y2＝4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 则圆Q的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝1， 又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径r2＝1，圆O的半径r1＝2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 12.(2024·南京模拟)如图，已知圆C与y轴相切于 点T(0,2)，与x轴的正半轴交于M，N两点(点M在点N 的左侧)，且|MN|＝3. (1)求圆C的方程； (2)过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m>0)，则圆C的半径为m， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (2)证明：由(1)知，M(1,0)，N(4,0)， 当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝ kBN＝0， 即kAN＋kBN＝0； 当直线AB的斜率不为0或该直线的斜率不存在时， 设直线AB的方程为x＝ty＋1， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 综上，可得kAN＋kBN＝0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 14．(2023·开封三模)已知点A(1,0)，B(2,0)，经过B作圆(x－3)2＋(y－2)2＝5的切线与y轴交于点P，则tan∠APB＝________. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 15．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________． 解析：由题意知直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图， [－1,1] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 作OA⊥MN，垂足为A，在Rt△OMA中， 解得－1≤x0≤1，故x0的取值范围是[－1,1]． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)由题可知圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2.设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (3)切线长公式： ①从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝. ②从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝. 解析：圆心为O(0,0)，kOP＝2，故切线的斜率为－.故切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 利用点到直线的距离可以求得弦心距为＝， 根据圆中的特殊三角形，可知其弦长为2＝. 解析：法一：代数法　由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交． 法二：几何法　由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交． 已知直线l：y＝kx与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，则“k＝”是“直线l与圆C相切”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心C(2,1)，半径为1，直线l与圆C相切，圆心C到直线l的距离等于半径，即d＝＝1，解得k＝或k＝0，当k＝时，直线l与圆C相切；当直线l与圆C相切时，k的值不一定是，则“k＝”是“直线l与圆C相切”的充分不必要条件． (2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　 ) A．1 B． C． D． 解析：法一：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝＝2，则|PA|＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APC·cos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝2－2＝－＜0，即∠APB为钝角，所以sin α＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝. 法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2,0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接CA，CB，PC，AB，可得|PC|＝＝2，则|PA|＝|PB|＝＝，因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即4cos∠APB＝－1，解得cos∠APB＝－＜0，即∠APB为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，且α为锐角，所以sin α＝＝. ∴＝1，解得k＝－， 若直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则b的值为(　 ) A．1 B． C．±1 D．± ∴|PQ|＝＝，圆心(0,0)到直线y＝x＋b的距离d＝＝， ∴2＋2＝1，解得b＝±1. 过点P(－2,0)作斜率不为0的直线l与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的斜率k＝(　 ) A． B． C． D． 解析：由题意，知直线l的方程为y＝k(x＋2)，k≠0，即kx－y＋2k＝0，k≠0.因为圆C的圆心坐标为C(1,1)，半径r＝，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1.又d＝＝，所以＝1，即(3k－1)2＝k2＋1，解得k＝0(舍去)或k＝. 几何法 运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2 代数法 设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ ·　 [2，4) 解析：由圆的方程知圆心C(2,0)，半径r＝2.连接AC，PC，QC(图略)．设|AC|＝x，则x≥＝2. ∴|AP|＝|AQ|＝＝. ∴|PQ|＝2×＝＝4. ∵x≥2，∴≤1－＜1， ∴2≤|PQ|＜4，即线段|PQ|的长的取值范围为[2，4)． 2 解析：由圆O：x2＋y2＝2，得r＝，四边形PAOB的面积S＝2S△PAO＝|PA|·|AO|＝|PA|， ∵点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点， ∴|PO|2－2≥6，则|PA|≥， ∴四边形PAOB的面积的最小值为×＝2. ∴P(x0,4－x0)，则|PA|＝＝，又|PO|2＝x＋(4－x0)2＝2x－8x0＋16＝2(x0－2)2＋8≥8， (2024·济南模拟)圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是(　 ) A．(－∞，－] B．[，＋∞) C．[－，] D．(－∞，－]∪[，＋∞) 解析：将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得(x＋m)2＋y2＝1，即圆心为(－m,0)，半径为1，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，因为圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或外离，所以≥2＋1，即m2≥5，解得m∈(－∞，－]∪[，＋∞)．故选D． 　(2024·湖南校联考模拟)[多选]已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是(　 ) A．C1与C2的公切线恰有4条 B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0 C．C1与C2相交弦的弦长为 D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12 解析：由已知得圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3,4)，半径r2＝4，|C1C2|＝＝5，r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误； C1到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为2＝，故C错误； (3)求两圆公共弦长时，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解． 解析：∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝＝|r|，∴直线l与圆C相切，A正确． ∵点A在圆C内，∴a2＋b2<r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝>|r|，∴直线l与圆C相离，B正确． ∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝|r|，∴直线l与圆C相切，D正确．故选ABD． ∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝<|r|，∴直线l与圆C相交，C错误． 2．若直线y＝kx＋2把圆x2＋y2＝4分成长度为1∶2的两段圆弧，则k＝(　 ) A．± B．± C．±1 D．± 解析：如图，连接OB，圆的标准方程为x2＋y2＝4，圆心为(0,0)，半径R＝2，设直线和圆相交于A，B，若较短弧长与较长弧长之比为1∶2，则∠AOB＝120°，则圆心到直线y＝kx＋2的距离d＝1，即d＝＝1，即k＝±. 3．(2024·荆州模拟)已知圆O：x2＋y2＝10，直线l：ax＋by＝2a－b(a，b∈R)与圆O的交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，|MN|＝(　 ) A． B． C．2 D．3 解析：直线l：ax＋by＝2a－b(a，b∈R)，即a(x－2)＋b(y＋1)＝0，所以直线过定点A(2，－1)，|OA|＝ ＝，圆O半径r＝，点A在圆O内，所以当直线与OA垂直的时候，|MN|最短，此时|MN|＝2＝2.故选C． － 即＝1，＝1， 所以k＝0(舍)或者b＝－2k，解得k＝，b＝－. 解析：由题意得，圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径为r＝1，如图所示，根据圆的切线长公式，可得|PA|2＝|PC|2－1， 则S四边形PBCA＝|PA||AC|××2＝|PA|＝|PC||AB|，当|PC|取最小值时，|AB|取最小值， 此时P(－1,0)，则|PA|＝1，|PC|＝，则|AB|min＝. 解析：如图，分别以O，A为圆心，以1,4为半径作圆，因为|OA|＝＝5＝1＋4，所以两圆外切，有三条公切线，即满足条件的直线l共有3条，故选C． 2(答案不唯一，只要在区间(－2，0)∪(0,2)即可) 因为两圆相交，所以r1－r2<<r1＋r2， 即4<<6，解得0<a<2或－2<a<0， 解析：设这100个圆的半径从小到大依次为r1，r2，…，r100，则由题知，r＝1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，有r－r＝1(n＝1,2，…，99)，则{r}是首项为1，公差为1的等差数列，n＝1,2，…，100，所以r＝100，得r100＝10. 9．战国时期成书《经说》记载：“景，日之光反蚀人，则景在日与人之间”．这是我国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy中，一条光线从点(2,3)射出，经y轴反射后与圆x2－6x＋y2＋4y＋9＝0相交所得弦长为2，则反射光线所在直线的斜率为(　 ) A．－或－ B．－ C．－ D．－或－ 解析：根据题意，设B与点(2,3)关于y轴对称，则B的坐标为(－2,3)，则反射光线经过点B，且与圆x2－6x＋y2＋4y＋9＝0相交．设反射光线所在直线的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆x2－6x＋y2＋4y＋9＝0的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝4，则圆心为(3，－2)，半径r＝2.因为弦长l＝2，所以根据勾股定理得，圆心(3，－2)到反射光线的距离d＝＝1，故d＝＝1，即12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－. 10．已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，过点P(3,2)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则∠ACB的正切值为(　 ) A．－ B． C．－ D． 解析：法一：由题可得，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1,1)，半径r＝1.易知切线PA，PB的斜率都存在，设切线的方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0，∴圆心C到切线的距离d＝＝＝1，解得k＝0或k＝，如图，设点B在点A下方，则tan∠APB＝，∴tan∠ACB＝tan(π－∠APB)＝－. 法二：由题可得，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1,1)，半径r＝1.易知直线y＝2是圆C的一条切线，不妨设切点为A，则tan∠ACP＝2.又tan∠BCP＝tan∠ACP，∴tan∠ACB＝＝＝－. 11．写出一个圆心在x轴上，且与直线y＝x相切的圆的标准方程：________________________. 因为该圆与直线y＝x相切， 所以圆心(a,0)到直线x－3y＝0的距离d＝＝r， 解析：由题意知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1,2)，半径r＝2，则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝2＝r，所以直线3x＋4y＋5＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置关系是相切． 解析：由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标为O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2，则两圆的圆心距|O1O2|＝＝，则2－1<<2＋1，即|r2－r1|<|O1O2|<r1＋r2，所以圆O1与圆O2相交． 3．已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：如图，连接OA，OB，由圆心为原点，则圆心到直线的距离d＝＝4，又|AB|＝6，所以|AB|＝2＝6⇒r2＝25⇒r＝5. 4．(2024·泰安模拟)已知点M(1，)在圆C：x2＋y2＝m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：圆心为(0,0)，所以kCM＝，所以过M的切线l的斜率为－＝－，设倾斜角为θ，则tan θ＝－，由于θ∈[0，π)，故θ＝，故选D． 5．(2024·菏泽模拟)设圆C：(x－3)2＋y2＝r2(r>0)上恰好有三个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆的半径r的值为(　 ) A．2 B．4 C． D．3 解析：圆心(3,0)到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝2，若圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则r＝2＋1＝3.故选D． 解析：如图，连接AC，BC，PC，依题意，圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝9，圆心为C(2，1)，半径为3，则|AC|＝3，|PC|＝＝5，故|AP|＝＝4，由对称性可知，△PAC与△PBC全等，故四边形PACB的面积S＝|PA|·|AC|＝12.故选B． 7．(2024·忻州一模)[多选]已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，下列说法正确的是(　 ) A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交 B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离 C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m> D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝ 若直线x－y＝0与圆O2相交，则圆心O2(5,0)到直线x－y＝0的距离d＝<，解得m>，故C正确； 若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，所以相交弦长|MN|＝2＝2＝，故D错误．故选AC． 可得即得或或且已知半径为1， 圆C的圆心为C(3，－5)，半径为r＝2，则|PE|＝，当PC与直线x＋y＋6＝0垂直时，|PC|取最小值， 且最小值为＝2， 所以|PE|＝≥ ＝2，即切线长的最小值为2. 2＋2＝ ∴圆心到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝， 则|AB|＝2＝2＝， ∴过点A，B的最小圆半径为， 联立得5x2＋6x－2＝0，故x1＋x2＝－， 则圆心的横坐标为(x1＋x2)＝－，纵坐标为2×＋3＝， ∴最小圆的圆心为， ∴最小圆的方程为2＋2＝. 整理得(x＋λ＋1)2＋2＝λ2＋λ＋4， 若要使得圆的面积最小，则只需半径最小， 即λ2＋λ＋4取到最小值， 而λ2＋λ＋4＝2＋≥， 当λ＝－时取到最小值，此时圆的方程为2＋2＝. 11．(2024·常州模拟)已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：kx－y－4k＝0，当k＝时，直线l与圆O恰好相切． (1)求圆O的方程； (2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得·＝0，求实数k的取值范围． 解：(1)当k＝时，圆心O到直线l的距离为＝2，则r＝2， (2)圆心O到直线l的距离d＝. ①当直线l与圆O有公共点，即d＝≤r＝2，解得－≤k≤，若点P与点M(或N)重合，则满足·＝0，符合题意． ②当直线l与圆O无公共点，即d＝>r＝2， 解得k<－或k>， 由·＝0，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为Q(x0，y0)， 则1＝r1－r2≤|OQ|＝≤r1＋r2＝3，只需点O到直线l的距离d＝≤3， 综上，实数k的取值范围为. 所以－≤k<－或<k≤. 又|MN|＝3，所以m2＝4＋2＝，解得m＝. 所以圆C的方程为2＋(y－2)2＝. 联立可得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0，Δ＝4t2＋12(t2＋1)>0，由根与系数的关系可得y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0. 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．[多选]若两定点A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝|MB|，则下列说法正确的是(　 ) A．点M的轨迹所围成区域的面积为32π B．△ABM面积的最大值为8 C．点M到直线x－y＋4＝0距离的最大值为5 D．若圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在满足条件的点M，则r的取值范围为 解析：如图，设M(x，y)，由|MA|＝|MB|得，|MA|2＝2|MB|2，∴(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2]，整理可得(x－6)2＋y2＝32，∴点M的轨迹是以点S(6,0)为圆心，4为半径的圆．对于A，点M轨迹围成的区域面积为π×(4)2＝32π，A正确；对于B， ∵|AB|＝4，∴若△ABM取得最大值，则点M到直线AB的距离最大，即到x轴的距离最大，∵点M到直线AB的距离的最大值为4，∴△ABM面积的最大值为×4×4＝8，B正确； 对于C，∵圆心S(6,0)到直线x－y＋4＝0的距离d＝＝5，∴点M到直线x－y＋4＝0距离的最大值为d＋4＝5＋4＝9，C错误； 对于D，由题意知点M的轨迹与圆C有公共点，即两圆有公共点，∵圆C的圆心为(－1,1)，半径为r，∴两圆的圆心距为＝5，∴|r－4|≤5≤r＋4，解得≤r≤9，即r的取值范围为，D正确． 解析：如图所示，设圆心为C点，则C(3,2)，(2－3)2＋(0－2)2＝5，则点B在圆上，且kBC＝＝2，由PB与圆相切可得kPB·kBC＝－1⇒kPB＝－，则tan∠OPB＝2，∵|OB|＝2， ∴|OP|＝1，故P(0,1)，则tan∠APO＝1，从而得tan∠APB＝ tan(∠OPB－∠OPA)＝＝＝. 因为∠OMN＝45°，所以|OA|＝|OM|sin 45°＝|OM|≤1， 解得|OM|≤， 因为点M(x0,1)，所以|OM|＝≤， 16．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A． (1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标． (2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 所以∠MAP＝90°.在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝ ＝4. 又|MP|＝＝， 所以＝4，解得b＝0或b＝. 所以点P的坐标为(0,0)或. (2)因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆，且MP的中点坐标为， 所以圆N的方程为(x－b)2＋2＝，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0. 由解得或 所以圆N过定点(0,4)和. $$