7.7 空间中的距离（课件PPT）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

空间中的距离 第七节 课标要求 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. CONTENTS 目录 1 2 3 再认再现——课前基础落实 互动课堂——解题思维建模 即练即评——课堂效果评价 4 课时跟踪检测 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 空间向量与距离 续 表 细作教材小题 √ √ 1 互动课堂——解题思维建模 02 逐点清(一)　几何法求空间距离 例 1 √ 例 2 √ 点拨·建模 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． 逐点清(二)　向量法求空间距离Y 例 3 题点1　点到直线的距离 如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面 ABCD．若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线 BD的距离为________． |个性点拨|　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 例 4 √ 题点2　点到平面的距离 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　几何法求空间距离 √ 如图，取BD的中点O，连接AO，CO， 所以AO⊥BD，又BD，CO⊂平面BCD，BD∩CO＝O，所以AO⊥平面BCD， 逐点验收(二)　向量法求空间距离 √ √ 5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E为BB1的中点． (1)求点D到平面AD1E的距离； (2)求BC1到平面AD1E的距离． (2)由(1)可得平面AD1E的一个法向量为n＝(2，－1,2)， ∴BC1∥平面AD1E， 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小 值为________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别为D1C1，C1C的中点，求下列问题： (1)求点E到直线AF的距离； (2)求点B1到平面A1BE的距离． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点． (1)求直线FC1到直线AE的距离； (2)求直线FC1到平面AB1E的距离． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)因为AE∥FC1，FC1⊄平面AB1E，AE⊂平面AB1E， 所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 取z＝2，可得n＝(1，－2,2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 二、创优训练，冲刺“双一流” 11.[多选]如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A在平面α内，其余各顶点均在平面α的同侧，已知顶点D，B到平面α的距离分别是1和2.下列说法正确的是(　 ) A．点C到平面α的距离是3 B．点C1到平面α的距离是4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12．(2024·江西校联考模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P点为B1C1的中点，Q点在正方形ABCD内运动(含边界)，在点Q运动过程中，P点到平面A1D1Q的最小距离是________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 过点Q作QM⊥AD交AD于点M，又因为平面ABCD⊥平面ADD1A1，平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，QM⊂平面ABCD， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以QM⊥平面ADD1A1，又因为D1A1⊂平面ADD1A1，所以QM⊥D1A1，过点M作MN∥AA1交D1A1于点N，连接QN，则MN⊥D1A1， 又因为MN∩QM＝M，MN，QM⊂平面QMN，所以D1A1⊥平面QMN， 又因为QN⊂平面QMN，所以D1A1⊥QN， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13．(2023·天津高考)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，已知A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点． (1)求证：A1N∥平面C1MA； (2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值； (3)求点C到平面C1MA的距离． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：(1)证明：法一：几何法　连接MN(图略)． 因为M，N分别是BC，AB的中点， 所以四边形MNA1C1是平行四边形， 即有A1N∥MC1. 又MC1⊂平面C1MA，A1N⊄平面C1MA， 所以A1N∥平面C1MA． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 法二：共面向量基本定理法 以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在的直线 分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则有A(0,0,0)，M(1,1,0)，N(1,0,0)，A1(0,0,2)， C1(0,1,2)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 直线l外一点P到直线l的距离 如图，直线l的单位方向向量为u，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为PQ＝＝______________ 平面α外一点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离PQ＝＝_______＝_______ 线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 1．(人教B版选择性必修一P63·T1改编)已知直线l经过A(3,3,3)，B(0,6,0)两点，则点P(0,0，6)到l的距离为(　 ) A．2 B．1 C． D．2 解析：根据题意，画出示意图，＝(3，－3,3)，＝(0，－6，6)，||＝6，∵cos，＝＝，DB＝||cos，＝＝＝4，∴点P到l的距离d＝＝＝2. 2．(人教A版选择性必修一P35·T3改编)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为(　 ) A． B． C． D． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，C1(0,1,0)，D(0,0,1)，A(1,0,1)，所以＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)，设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y,1)，则即解得故m＝(1,1,1)， 显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝. 3．(苏教版选择性必修二P43·T1)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)两条平行直线A1D和B1C间的距离为________； (2)两个平行平面A1DB和D1CB1间的距离为________； (3)点A到平面A1DB的距离为________； (4)点A到直线D1C的距离为________． 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1的距离为(　 ) A．4 B．2 C．2 D． 解析：如图，连接C1B，则由长方体性质得MN∥BC1，又BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1. ∴MN与平面BCC1B1的距离为N到平面BCC1B1的距离．又N到平面BCC1B1的距离为NB＝AB＝2， ∴MN与平面BCC1B1的距离为2. 　已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面正三角形ABC的边长为1，侧棱AA1长为2，则点B1到平面A1BC的距离为(　 ) A． B． C． D． 解析：设B1到平面A1BC的距离为d，C到平面A1B1B的距离为h，取AB的中点为D，连接CD， ∵VB1-A1BC＝VC-A1BB1， ∴S△A1BC·d＝S△A1BB1·h， 在正三棱柱中，CC1⊥A1C1，在Rt△A1C1C中，A1C＝，同理A1B＝，BC＝1， ∴S△A1BC＝×1×＝， 又S△A1BB1＝1， 在正三角形ABC中，D为AB的中点， 则CD⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1， 平面ABC∩平面ABB1A1＝AB， ∴CD⊥平面ABB1A1，即h＝CD＝1×sin 60°＝， ∴S△A1BC·d＝S△A1BB1·h，即×d＝×1×， 解得d＝. 解析：如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)， 则＝(－3,0,1)，＝(－3,4,0)， 故点P到直线BD的距离d＝＝＝， 所以点P到直线BD的距离为. 在棱长均为a的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为(　 ) A．a B．a C．a D．a 解析：如图，以A为坐标原点，以垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．由ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，故A(0,0,0)，B1，D，C1(0，a，a)，所以＝，＝， ＝，设平面AB1D的法向量是n＝(x，y，z)，所以 令y＝1，得n＝(，1，－2)， 故点C1到平面AB1D的距离d＝＝＝a.故选A． |个性点拨|　用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两个不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离：d＝. 1.(2024·太原高三期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，则直线AA1与平面BDD1B1的距离为(　 ) A． B． C． D．2 解析：因为六面体ABCD-A1B1C1D1为长方体，所以平面BDD1B1⊥平面ABCD，如图，过A作AE⊥BD于E，则AE⊥平面BDD1B1，所以直线AA1与平面BDD1B1的距离为AE.在Rt△ABD中，由等面积法可得AE＝＝＝＝. 2.(2024·镇江模拟)如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，构成一个四面体，使得AC＝2，则点D到平面ABC的距离为____________． 解析：由已知可得AB＝BC＝CD＝DA＝2，BD＝4，∠BAD＝∠BCD＝90°， 因为AB＝AD＝2，∠BAD＝90°，所以AO＝BD＝2， 因为BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，所以CO＝2， 又AC＝2，所以AO⊥CO， 因为AB＝AD＝2，点O为BD的中点， 所以点A到平面BCD的距离为2，又△BCD的面积为×BC×CD＝×2×2＝4， 所以三棱锥A-BCD的体积为×S△BCD×AO＝，设点D到平面ABC的距离为d， 由VD-ABC＝VA-BCD＝，得S△ABC·d＝. 因为AB＝BC＝AC＝2，所以△ABC的面积为×2×2×sin 60°＝2， 所以＝×2×d，所以d＝. 所以点D到平面ABC的距离为. 3.(2024·佛山模拟)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且AB⊥AD，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，E为CC1的中点，则点E到直线AC1的距离为(　 ) A．a B．a C．a D．a 解析： ABCD-A1B1C1D1中，不妨设＝d，＝b，＝c，＝＋＋＝d＋b＋c，＝－c，|d|＝|b|＝|c|＝a，d·b＝0，d·c＝b·c＝a×a×＝a2，所以||＝|d＋b＋c|＝＝a， ||＝a，·＝－c·(d＋b＋c)＝－(c·d＋c·b＋c·c)＝－a2，所以E到直线AC1的距离为d＝＝＝a，故选A． 4.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，则点C到平面AEC1F的距离为(　 ) A． B． C． D． 解析：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4，0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)，∴＝(－2,4,3)，＝(0,4,1)．设平面AEC1F的法向量为n＝(x，y，z)， 由得令z＝1，∴即n＝.又＝(0,0,3)，∴点C到平面AEC1F的距离d＝＝.故选C． 解：(1)如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，D(0，0,0)，D1(0,0,2)，E(2,2,1)， ∴＝(0,2,1)，＝(－2,0,2)， 设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)， 则令z＝2⇒x＝2，y＝－1， ∴平面AD1E的一个法向量为n＝(2，－1,2)，又＝(0,0,2)， ∴点D到平面AD1E的距离d＝＝＝. ∵B(2,2,0)，C1(0,2,2)，∴＝(－2,0,2)， ∴·n＝2×(－2)＋(－1)×0＋2×2＝0， ∴⊥n，又BC1⊄平面AD1E， ∴BC1到平面AD1E的距离可以转化为点B到平面AD1E的距离，由＝(0,2,0)， ∴BC1到平面AD1E的距离为d1＝＝＝. 一、强基训练，提高自信心 1．直线l的方向向量为m＝(1,0，－1)，且l过点A(1,1,1)，则点P(1，－1，－1)到l的距离为(　 ) A． B． C． D．2 解析：∵A(1,1,1)，P(1，－1，－1)，∴＝(0，－2，－2)，又m＝(1,0，－1)，∴在m方向上的投影的模为||·cos〈，m〉＝＝＝，∴P到l的距离d＝＝＝. 2．(2024·深圳期末)若平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)，＝(－1，－1,2)，A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为(　 ) A．1 B． C． D． 解析：因为＝(－1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)，所以点A到平面α的距离为＝.故选B． 3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　 ) A． B． C． D．3 解析：∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3)，＝(1,2,3)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，∴两平面间的距离d＝＝＝.故选A． 4．(2024·滁州模拟)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为(　 ) A． B． C． D． 解析：如图，作PE⊥BD交BD于点E，由题意知BD＝2，PE＝，设A到平面PBD的距离为h，则三棱锥P-ABD的体积为×S△ABD×PA＝×S△PBD×h，即有××2×2×1＝××2××h，解得h＝. 5．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，G为AA1的中点，则直线BD与平面GB1D1的距离为(　 ) A． B． C． D． 解析：如图，连接GD，B1D，由图易证BD∥平面GB1D1，所以BD与平面GB1D1的距离等于D与平面GB1D1的距离．设D与平面GB1D1的距离为h，则V＝S·h.又因为六面体ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以A1B1⊥平面GDD1，所以V＝V＝S·A1B1，所以S·h＝S·A1B1， 所以h＝.又正方体的棱长为2，G为AA1的中点，所以GD1＝，GB1＝，B1D1＝2，所以△GB1D1中B1D1边上的高为.所以h＝＝＝.故选B． 6.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝，PD⊥底面ABCD，若点D到平面PAC的距离为，则PD＝________. 解析：如图，设E为BC的中点，连接DE，因为底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝，所以DE⊥BC，而AD∥BC，所以DE⊥DA．以D为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设PD＝a，a>0， 则P(0,0，a)，A(4,0,0)，C(－2，2，0)．设n＝(x，y，z)是平面PAC的法向量，因为＝(4,0，－a)，＝(－6,2，0)，则令x＝a，得n＝(a，a，4)．设点D到平面PAC的距离为d，因为＝(4,0,0)，所以d＝＝＝，得a＝2. 解析：如图建立空间直角坐标系，连接A1P，则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，设P(x,0，1－x)，0≤x≤1，则＝(x－1,0，－x)，＝(－1,1,0)， ∴动点P到直线A1C1的距离为d＝＝＝＝≥， 当且仅当x＝时取等号，即线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为. 8．(2023·哈尔滨模拟)在圆台O1O2中，ABCD是其轴截面，AD＝DC＝BC＝AB，过O1C与轴截面ABCD垂直的平面交下底面于EF，若点A到平面CEF的距离是，则圆台的体积等于________． 解析：连接O1D，O1O2，因为AD＝DC＝BC＝AB，所以四边形ADCO1为平行四边形，所以O1C＝O1D＝O1A＝AD，则△AO1D为正三角形，所以∠DAB＝60°，由题意得，平面CEF⊥平面ABCD，且平面CEF∩平面ABCD＝O1C，所以点A到平面CEF的距离即为AD与O1C的距离，在△AO1D中，过点O1作AD的垂线O1M， 过点D作AO1的垂线DN，则O1M＝，所以AO1＝＝2，则O1O2＝DN＝2sin 60°＝，设圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，则圆台的体积为V＝h(R2＋Rr＋r2)＝(4＋2＋1)＝. 解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，E，F.＝，＝，则E到直线AF的距离 d＝＝. (2)由(1)可得＝，＝(0,1，－1)，设n＝(x，y，z)为平面A1BE的法向量，则 即取x＝1，得平面A1BE的一个法向量为n＝(1,2,2)．又＝(0,1,0)，得B1到平面A1BE的距离为d1＝＝. 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，B1(1,1,1)，E，F，A(1,0,0)，C1(0,1,1)， 因为＝，＝， 所以∥，即AE∥FC1， 因为u＝＝，＝， 2＝，·u＝， 所以直线FC1到直线AE的距离为＝. ＝(1,0,0)，＝(0,1,1)，＝－1,0，， 设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 所以C1到平面AB1E的距离为＝， 所以直线FC1到平面AB1E的距离为. C．正方体底面ABCD与平面α夹角的余弦值是 D．AB在平面α内的射影与AD1所成角的余弦值为 解析：以A为坐标原点，，，为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,3,0)，D(0,3,0)，C1(3,3,3)，D1(0,3,3)， ∴＝(3,0,0)，＝(0,3,0)，＝(3,3,0)，＝(3,3,3)，＝(0,3,3)，设平面α的法向量m＝(x，y，z)， 则即令y＝1， 解得x＝2，z＝2，∴m＝(2,1,2)．对于A，点C到平面α的距离为＝＝3，A正确； 对于B，点C1到平面α的距离为＝＝5，B错误； 对于C，∵平面ABCD的一个法向量n＝(0,0,1)，∴|cosm，n|＝＝，即平面ABCD与平面α夹角的余弦值为，C正确； 对于D，AB在平面α内的射影对应的向量t＝－m＝， ∴|cost，|＝＝＝，即AB在平面α内的射影与AD1所成角的余弦值为，D正确．故选ACD． 解析：如图所示，连接A1P，D1P，PQ，由题意知，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，Q∈平面ABCD，所以Q到平面A1B1C1D1的距离等于A到平面A1B1C1D1的距离， 所以VQ-A1D1P＝S△A1D1P×AA1＝××2×2×2＝， 所以VP-A1D1Q＝VQ-A1D1P＝，设点P到平面A1D1Q的距离为h， 则VP-A1D1Q＝S△A1D1Q·h＝，所以h＝， 设QM＝x(0≤x≤2)，则QN＝(0≤x≤2)， 所以S△A1D1Q＝A1D1×QN＝×2×＝(0≤x≤2)， 所以当x＝2时，S△A1D1Q取得最大值为2，此时h取得最小值为. 所以MN∥AC且MN＝AC＝1， 即有MN綉A1C1， 所以＝(1,0，－2)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)， 设＝x＋y，即有(1,0，－2)＝x(1,1,0)＋y(0,1,2)， 解得因为A1N⊄平面C1MA，所以A1N∥平面C1MA． 法三：向量法　设平面C1MA的法向量为n＝(x，y，z)，由法二可得＝(1,1,0)，＝(0,1,2)， 由法二可知＝(1,0，－2)，所以·n＝1×2＋0×(－2)＋(－2)×1＝0，所以⊥n. 又A1N⊄平面C1MA，所以A1N∥平面C1MA． 则即不妨取n＝(2，－2，1)． (2)由(1)中法二易知，平面ACC1A1的一个法向量为＝(1,0,0)，由(1)中法三知平面C1MA的一个法向量为n＝(2，－2,1)， 所以|cos〈，n〉|＝＝， 所以平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值为. (3)由(1)中法二可得C(0,2,0)，则＝(－1,1,0)，所以由(1)中法三得点C到平面C1MA的距离d＝＝. $$