7.5 空间直线、平面的垂直（课件PPT）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

空间直线、平面的垂直 第五节 课标要求 1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质和判定定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形中垂直关系的简单命题. CONTENTS 目录 1 2 3 再认再现——课前基础落实 互动课堂——解题思维建模 即练即评——课堂效果评价 4 课时跟踪检测 再认再现——课前基础落实 01 1 系统主干知识 1．直线与平面垂直 (1)定义： 直线l与平面α内的_______一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 任意 (2)判定定理与性质定理： 相交 a，b⊂α a∩b＝O l⊥a l⊥b 续表 平行 a⊥α b⊥α 射影 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念： 二面角 从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面角 二面角的平面角 过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱____的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角 二面角的范围 ____________________ 两个半平面 垂直 (2)判定定理与性质定理： l⊥α 续表 l⊂Aβ α∩β＝a 细作教材小题 √ 1．(人教A版必修二P159·T2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　 ) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β √ 2．(人教A版必修二P162·T2改编)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是(　 ) A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β 3．(苏教版必修二P186·T8改编)已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有______对． 7 4．(人教A版必修二P152·T4)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC． (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P.则点O是△ABC的______心． 外 垂 互动课堂——解题思维建模 02 逐点清(一)　直线与平面垂直的判定与性质 例 1 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P-ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD． ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC， ∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA． ∵E是PC的中点， ∴AE⊥PC． 由(1)知AE⊥CD， 且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD，又PD⊂平面PCD， ∴AE⊥PD． ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB． 又AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD．又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE， ∴PD⊥平面ABE. 点拨·建模 判定线面垂直的4种方法 (1)利用线面垂直的判定定理． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理． 例 2 在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P-BCDE. (1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P-BCDE的体积； (2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE. 逐点清(二)　简单几何体的表面积 解：(1)如图所示，取DE的中点M，连接PM， 由题意知，PD＝PE， ∴PM⊥DE. 又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE， ∴PM⊥平面BCDE， 即PM为四棱锥P-BCDE的高． 在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2， (2)证明：取BC的中点N，连接PN，MN， 则BC⊥MN， ∵PB＝PC，∴BC⊥PN. ∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN， ∴BC⊥平面PMN. ∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM. 由(1)知，PM⊥DE， 又BC，DE⊂平面BCDE，且BC与DE是相交的， ∴PM⊥平面BCDE. ∵PM⊂平面PDE， ∴平面PDE⊥平面BCDE. 点拨·建模 1．判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义． (2)面面垂直的判定定理． 2．面面垂直性质的应用 (1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”． (2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面． 逐点清(二)　简单几何体的表面积 例 3 √ 解析：由四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥平 面ABCD，则此四棱锥可补形成长方体PB1C1D1-ABCD， 如图，连接B1C，显然直线PB1是平面ABP与平面CDP的 交线，由PB1⊥平面APD1D，得PB1⊥PA，PB1⊥PD， 因此∠APD是平面ABP与平面CDP所成二面角的平面角， 因此∠APD是平面ABP与平面CDP所成二面角的平面角， 例 4 √ 解析：如图，取AB的中点E，连接CE，DE，因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，所以CE⊥AB．又△ABD是等边三角形，所以DE⊥AB．从而∠CED为二面角C-AB-D的平面角，即∠CED＝150°.显然CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面CDE，于是AB⊥平面CDE， 又AB⊂平面ABC，因此平面CDE⊥平面ABC，显然平面CDE∩平面ABC＝CE，直线CD⊂平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE， 点拨·建模 1．求线面角的3个步骤 一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解． 2．作二面角的平面角的方法 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　与线、面垂直有关命题的判定 √ 1．(2024·长沙模拟)[多选]已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题不正确的是(　 ) A．若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β B．若m⊥n，m∥α，n⊥β，则α⊥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β √ √ 解析：若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故A错误； 若m⊥n，m∥α，n⊥β，则α与β相交或平行，故B错误； 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误； 若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直，线线平行的性质可得α∥β，故D正确．故选ABC． 2．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　 ) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D √ 解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又AC⊥BD，所以EF⊥BD，又易知DD1⊥EF，BD∩DD1＝D，从而EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 因为平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以由A知，平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故B错误； 由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误； 连接AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面A1C1D与平面B1EF不平行，故D错误．故选A． 3．(2024·海南模拟)[多选]如图，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝x，BD和AC交于点O，将△BAD沿直线BD翻折，则下列说法正确的是(　 ) A．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥OC B．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥BD C．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥平面ACD D．存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥平面ABD √ √ √ 解析：当AB＝x＝1时，矩形ABCD为正方形，则AC⊥BD．将△BAD沿直线BD翻折，若使得平面ABD⊥平面BCD时，由OC⊥BD，OC⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以OC⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，所以AB⊥OC，故A正确． 又OC⊥BD，OA⊥BD，且OA∩OC＝O，所以BD⊥平面OAC，又AC⊂平面OAC，所以AC⊥BD，故B正确． 若AC⊥平面ABD，又AO⊂平面ABD，则AC⊥AO，所以在△AOC中，OC为斜边，这与OC＝OA相矛盾，故D不正确．故选ABC． 逐点验收(二)　垂直关系的证明及应用 4.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，M为棱B1B的中点．求证： (1)EF⊥平面BB1D1D； (2)平面EFB1⊥平面C1D1M. 证明：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD． 又B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以B1B⊥AC． 又因为B1B∩BD＝B，B1B，BD⊂平面BB1D1D， 所以AC⊥平面BB1D1D． 在△ABC中，E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥平面BB1D1D． (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形BB1C1C是正方形， 又F，M分别为BC，BB1的中点， 即B1F⊥C1M. ① 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， D1C1⊥平面BB1C1C，B1F⊂平面BB1C1C， 所以D1C1⊥B1F. ② 由①②及C1M∩D1C1＝C1，且C1M，D1C1⊂平面C1D1M， 所以B1F⊥平面C1D1M， 又B1F⊂平面EFB1， 所以平面EFB1⊥平面C1D1M. 5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1. (1)求三棱锥F-EBC的体积． (2)已知D为棱A1B1上的点，求证：BF⊥DE. 解：(1)∵侧面AA1B1B是正方形， ∴AB⊥BB1，AB∥A1B1，AB＝BB1＝AA1＝A1B1＝2.又BF⊥A1B1， ∴AB⊥BF. 又BF∩BB1＝B，BF⊂平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1， ∴AB⊥平面B1BCC1. 又BC⊂平面B1BCC1， ∴AB⊥BC，即∠ABC＝90°. ∵AB＝BC＝2， ∵E是AC的中点， ∵棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥底面ABC，即FC⊥底面ABC． 又F是CC1的中点， (2)证明：如图，取BC的中点M，连接B1M，EM，A1E， ∵E，M分别是AC，BC的中点， ∴EM∥AB．又A1B1∥AB， ∴A1B1∥EM，即A1，E，M，B1四点共面． ∵AB＝BC＝2，侧面AA1B1B为正方形，棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱， ∴四边形BCC1B1为正方形．易知Rt△FCB≌Rt△MBB1， ∴BF⊥B1M. 又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，B1M，A1B1⊂平面A1EMB1， ∴BF⊥平面A1EMB1. 又DE⊂平面A1EMB1， ∴BF⊥DE. 6．如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点． (1)求证：AF∥平面SEC； (2)求证：平面ASB⊥平面CSB； 解：(1)证明：如图，取SC的中点G，连接FG，EG， ∵F，G分别是SB，SC的中点， ∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点， ∴FG∥AE，FG＝AE， ∴四边形AFGE是平行四边形， ∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC， ∴AF∥平面SEC． (2)证明：∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点， ∴SE⊥AD， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点， ∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC， ∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC， ∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形， ∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG， 又SA＝AB，F是SB的中点， ∴AF⊥SB， 又FG∩SB＝F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC， ∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB， ∴平面ASB⊥平面CSB． (3)存在点M满足题意．假设在棱SB上存在一点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，则BD⊥OM， ∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°， △SAD为正三角形， ∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD， ∴SE⊥平面ABCD， ∴SE⊥BE， 7．(2022·新课标Ⅰ卷)[多选]已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则(　 ) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 逐点验收(三)　几何法求线面角与二面角 √ √ √ 解析：如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中， AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所 以直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确； 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1，连接B1C，则B1C⊥BC1，因为CD∩B1C＝C，CD，B1C⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确； 因为C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故D正确．故选ABD． √ √ 细节、微点提醒 1．垂直关系中的三个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 √ 一、强基训练，提高自信心 1．(2024·东北师大附中模拟)如果直线l，m与平面α，β，γ满足l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有(　 ) A．l⊥m B．m∥β C．m⊥β D．l∥m 解析：∵m⊥γ，且l⊂γ，∴l⊥m，A正确，D错误． 直线m和平面β没有确定关系． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 2．(2024·万州模拟)[多选]已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法错误的是(　 ) A．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n C．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：由题意，A项，设α∩β＝l，因为m∥α，则m∥l，又n∥β，则n∥l，所以m∥n，A错误； B项，设m⊥α且m⊂β，n⊥β且n⊂α，此时m⊥n，B错误； C项，当m∥α，n⊥β，m⊥n时，α可能垂直于β，C错误； D项，当m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β，D正确．故选ABC． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 4.一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形．如图，在四面体P-ABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF(此外不再增加任何连线)，则图中直角三角形最多有(　 ) A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体P-ABC为“鳖臑”，其中PA⊥平面ABC，且AB⊥BC，易知CB⊥平面PAB．若AE⊥PB，EF⊥PC，由CB⊥平面PAB，得平面PAB⊥平面PBC．又AE⊥PB，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，且AE⊥PC．又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，知四面体P-AEF也是“鳖臑”，则题图中的10个三角形全是直角三角形，故选C． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 5.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(　 ) A．直线AC上 B．直线BC上 C．直线AB上 D．△ABC内部 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：连接AC1，如图所示． ∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC．又BC1⊥AC，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC．又平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上．故选C． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 6．(2024·保山期末)[多选]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱BC的中点，则下列说法正确的是(　 ) A．A1M∥平面CC1D1D B．AD∥平面A1BM C．A1M⊥平面ABC1D1 D．A1M⊥AB1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：对于A，连接A1B，CD1，若A1M∥平面CC1D1D，又A1M⊂平面A1D1CB，且平面A1D1CB∩平面CC1D1D＝D1C，则A1M∥D1C，∵A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1D1CB为平行四边形，∴D1C∥A1B，显然矛盾，故A错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 对于B，∵AD∥BM，AD⊄平面A1BM，BM⊂平面A1BM，∴AD∥平面A1BM，故B正确； 对于C，连接AM，若A1M⊥平面ABC1D1，AB⊂平面ABC1D1，则A1M⊥AB，又A1A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴A1A⊥AB，又A1M∩A1A＝A1，A1M，A1A⊂平面AA1M，∴AB⊥平面AA1M，AM⊂平面AA1M，∴AM⊥AB，与AB⊥AD矛盾，故C错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 对于D，∵BC⊥平面A1ABB1，AB1⊂平面A1ABB1，∴BC⊥AB1，∵A1B⊥AB1，A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，∴AB1⊥平面A1BC，A1M⊂平面A1BC，∴A1M⊥AB1，故D正确．故选BD． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：由正方体的性质可得BD⊥平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，故A1C⊥BD，同理，A1C⊥BC1，又BD∩BC1＝B，且BD，BC1⊂平面C1BD，故A1C⊥平面C1BD，故A项正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 8．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β，下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β.其中正确的命题是______．(写出所有正确命题的序号) 解析：因为α∥β，l⊥α，所以l⊥β，m⊂β，所以l⊥m，①正确； 因为α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，所以l，m可能平行、相交或异面，②错误； l⊥m，l⊥α，m⊂β，则α，β相交或平行，③错误； l∥m，l⊥α，则m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，④正确． ①④ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 9.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件____________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)． A1C1⊥B1D1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：如图，连接A1C1，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1可得CC1⊥平面A1B1C1D1， 因为B1D1⊂平面A1B1C1D1， 故CC1⊥B1D1， 当A1C1⊥B1D1时， 因为CC1∩A1C1＝C1， 故B1D1⊥平面A1C1C，而A1C⊂平面A1C1C， 故A1C⊥B1D1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 60° 解析：如图，作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB．取AB的中点H，连接VH，OH，则VH⊥AB． 因为VH∩VO＝V， 所以AB⊥平面VHO， 所以AB⊥OH， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 所以∠VHO为二面角V-AB-C的平面角． 易求VH2＝VA2－AH2＝4，所以VH＝2. 故二面角V-AB-C的大小是60°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 11．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1 中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高． 解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC， 因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C． (2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H， 由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C， 又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H⊂平面ACC1A1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 又AA1＝2，∠ACA1＝90°， 故四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 法二：在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线， 故四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 12.如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平 面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 证明：(1)如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F. 因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC， 所以DF⊥平面PAC． 因为PA⊂平面PAC， 所以DF⊥PA． 过点D作DG⊥AB于点G， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 同理可证DG⊥PA． 因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D， 所以PA⊥平面ABC． (2)如图，连接BE并延长交PC于点H. 因为点E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH. 又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以PC⊥AE. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 因为AE∩BH＝E，AE，BH⊂平面ABE， 所以PC⊥平面ABE. 又AB⊂平面ABE， 所以PC⊥AB． 由(1)知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC， 所以PA⊥AB． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 因为PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC， 所以AB⊥平面PAC． 又AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC， 即△ABC是直角三角形． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 A．102 m B．112 m C．117 m D．125 m √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 15．(2024·延安一模)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E是BD的中点，F是侧面BB1C1C内(含边界)的动点，若D1E⊥EF，则EF的最小值为__________． 解析：如图，取BB1的中点M，连接MC，EC，EM，BD， 所以Rt△D1DE∽Rt△EBM， 故∠DD1E＝∠BEM，所以D1E⊥EM， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，EC⊂平面ABCD， 所以EC⊥BB1， 又EC⊥BD，BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D1D， 所以EC⊥平面BB1D1D，D1E⊂平面BB1D1D， 所以EC⊥D1E， 又EM∩EC＝E，EC，EM⊂平面EMC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 则D1E⊥平面EMC，即F点的轨迹是线段MC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 16.(2024·淮阴联考)如图，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为矩形，且M为线段EF的中点，AB∥CD，∠ABC＝90°，AD＝2DE，AB＝2CD＝2BC＝2. (1)求证：AM⊥平面BDM； (2)求直线AM与平面MBC所成角的正弦值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)证明：由题意，四边形ABCD为直角梯形，且∠ABC＝90°，AB∥CD， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 故四边形BCDN为正方形， 则DN∥BC，且DN＝BC， 又由AB＝2，所以BD2＋AD2＝AB2，所以BD⊥AD， 又平面ADM⊥平面ABCD，平面ADM∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥平面ADM， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 又AM⊂平面ADM，所以AM⊥BD， 又DM∩BD＝D，DM，BD⊂平面BDM， 所以AM⊥平面BDM. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (2)如图，取AD的中点为P，BC的中点为Q，连接MP，PQ，QM， 过P在平面PQM内作PO垂直于MQ，垂足为O， 又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD， 所以AF⊥平面ABCD，M为EF的中点， 所以MP∥AF，所以MP⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PM，又因为BC⊥PQ，PQ∩PM＝P，PQ，PM⊂平面PMQ， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 所以BC⊥平面PMQ，PO⊂平面PMQ， 所以PO⊥BC，MQ∩BC＝Q，MQ，BC⊂平面BCM，得PO⊥平面BCM， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 设点A到平面MBC的距离为d，直线AM与平面MBC所成的角为θ， 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条_____直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线______ ⇒a∥b 2．直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：_________. 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α ∴PM＝DE＝，而直角梯形BCDE的面积S＝(BE＋CD)·BC＝×(2＋4)×2＝6， ∴四棱锥P-BCDE的体积V＝PM·S＝××6＝2. (2024·重庆模拟)已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，若PA＝2AB，则平面ABP与平面CDP夹角的余弦值为(　 ) A． B． C． D． 在Rt△PAD中，PA＝2AD，则PD＝AD，cos∠APD＝＝，所以平面ABP与平面CDP夹角的余弦值为. (2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为(　 ) A． B． C． D． 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB＝2，则CE＝1，DE＝，在△CDE中，由余弦定理得CD＝＝ ＝， 由正弦定理得＝， 即sin∠DCE＝＝， 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE＝ ＝ ＝， 所以tan∠DCE＝＝. 所以直线CD与平面ABC所成角的正切值为. 在矩形ABCD中，AB⊥AD，AC＝ ，所以将△BAD沿直线BD翻折时，总有AB⊥AD，取x＝，当将△BAD沿直线BD翻折到AC＝时，有AB2＋AC2＝BC2，即AB⊥AC，且AC∩AD＝A，则此时满足AB⊥平面ACD，故C正确． 所以＝＋， ＝＋＝－＋， 所以·＝·＝－·－2＋2＋·＝－0－a2＋a2＋0＝0， ∴AC＝＝＝2. ∴VF-EBC＝×1×1＝. ∴CE＝AC＝， ∴S△EBC＝S△ABC＝××2×2＝1. ∴FC＝CC1＝BB1＝1， (3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ∴FG∥BC，FG＝BC， ∴AE∥BC，AE＝BC， ∴BE＝，SE＝，BD＝2OB＝2，SD＝2，SE⊥AD， ∴＝. ∴SB＝ ＝， ∴cos∠SBD＝＝， ∴＝，∴BM＝， 连接A1C1，交B1D1于点O，则易得OC1⊥平面BB1D1D，连接OB，因为OB⊂平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a，则易得BC1＝a，OC1＝，所以在Rt△BOC1中，OC1＝BC1，所以∠OBC1＝30°，故C错误； 8.(2024·茂名模拟)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为6，侧棱长为8，D是侧面BB1C1C的两条对角线的交点，则直线AD与底面ABC所成角的正切值为(　 ) A． B．2 C． D． 解析：如图，取BC的中点E，连接DE，AE，由正三棱柱知DE⊥平面ABC，且DE＝4，因为AE是斜线AD在底面上的射影，所以∠DAE为直线AD与底面ABC所成的角，在正三角形ABC中，AE＝×6＝3，直线AD与底面ABC所成角的正切值为＝＝.故选D． 9.(2024·合肥模拟)米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具．如图为一倒正四棱台型米斗，高为40 cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为(　 ) A． B． C． D． 解析：由题意，作出正四棱台的对角面，如图，AD为正四棱台上底面正方形对角线，BC为正四棱台下底面正方形对角线，O为外接球球心，且为线段BC的中点，则OD＝OA＝OB＝OC＝50，过点D作DE⊥BC，垂足为E，则∠DCE即为所求角．因为OD＝50，DE＝40，所以OE＝30，所以EC＝20，所以DC＝20，所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为.故选D． 2．三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直． 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，则直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为(　 ) A． B． C． D． 解析：如图，连接AC，根据长方体性质知AA1⊥平面ABCD，故∠ACA1为A1C与平面ABCD所成的角，且AB＝AA1＝1，AD＝2，所以CA1＝＝，所以sin∠ACA1＝＝. 7.[多选]如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为BD的中点，则下列结论正确的是(　 ) A．A1C⊥平面C1BD B．直线A1C1与平面ABC1D1所成的角为 C．二面角C1-BD-C的正切值为 D．B1到平面C1BD的距离为 由正方体的棱长为1，设直线A1C1与平面ABC1D1的夹角为θ，则A1C1＝，点A1到平面ABC1D1的距离为A1D＝，故sin θ＝，所以θ＝，故B项正确； 连接CO，OC1(图略)，则∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角，则tan∠C1OC＝＝，故C项正确； 设B1到平面C1BD的距离为h，因为V＝V，所以×××××h＝××1×1×1，解得h＝，故D项错误．故选ABC． 10．在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小为________． 而OH＝BC＝1，所以∠VHO＝60°. 所以A1C1＝CA1＝. 法一：由S△CA1C1＝·CA1·A1C1 ＝·A1H·CC1， 得A1H＝＝＝1， 所以A1H＝CC1＝1， 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BB1＝BC＝AC＝6，A1B1＝4，点D是AB的中点，点E是平面AA1C1C的中心，则点E到平面B1CD的距离为(　 ) A． B． C． D． 解析：如图所示，连接AC1，则点E在AC1上，再连接BC1交B1C于点F，则F为B1C的中点，连接DF，AB1，因为D为AB的中点，可得AC1∥DF，因为AC1⊄平面B1CD，DF⊂平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD，所以点E到平面B1CD的距离等于点A到平面B1CD的距离，设点E到平面B1CD的距离为d，由VA-B1CD＝VB1-ACD，即·S△B1CD·d＝·S△ACD·BB1，由CD＝＝4， 可得S△ACD＝AD·CD＝4，又由B1D＝＝2，B1C＝6，所以CD2＋B1D2＝B1C2，所以△B1CD为直角三角形，所以S△B1CD＝8，所以d＝＝＝，即点E到平面B1CD的距离为.故选C． 14．(2023·北京高考)坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB＝25 m，BC＝AD＝10 m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为(　 ) 解析：如图，过E作EO⊥平面ABCD，垂足为O，过E分别作EG⊥BC，EM⊥AB， 垂足分别为G，M，连接OG，OM.由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为∠EMO和∠EGO，所以tan∠EMO＝tan∠EGO＝.因为EO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以EO⊥BC．因为EG⊥BC，EO，EG⊂平面EOG，EO∩EG＝E，所以BC⊥平面EOG.因为OG⊂平面EOG，所以BC⊥OG.同理可得OM⊥BM.又BM⊥BG，故四边形OMBG是矩形． 所以由BC＝10得OM＝5.所以EO＝.所以OG＝5.所以在Rt△EOG中，EG＝＝＝.在Rt△EGB中，EB＝＝＝8.又EF＝AB－5－5＝25－5－5＝15，所以所有棱长之和为2×25＋2×10＋15＋4×8＝117 m．故选C． 在Rt△EBM，Rt△D1DE中，＝＝，＝＝， 在Rt△MEC中，EM＝ ＝， EC＝BD＝，MC＝＝， 当EF⊥MC时，EF最小， 此时EF＝＝， 即EF的最小值为. 所以∠BCD＝90°，所以BD＝＝＝， 如图，取AB的中点N，连接DN，则CD∥BN且CD＝BN，且∠BCD＝90°， 所以AD＝ ＝＝， 因为MD＝MA＝1，AD＝，则AM2＋DM2＝AD2，所以AM⊥DM， 因为MP＝，PQ＝，∠MPQ＝， 所以MQ＝ ＝ ＝， 由等面积法可得PO＝＝＝＝，延长AD与BC交于点G，则D为AG的中点，连接MG，G为直线AD与平面MBC的交点， 则＝＝， 所以d＝PO＝×＝， 由AM＝1，所以sin θ＝＝. 故直线AM与平面MBC所成角的正弦值为. $$