7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（课件PPT）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

第三节　空间点、直线、平面之间的 位置关系 第三节 课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题. CONTENTS 目录 1 2 3 再认再现——课前基础落实 互动课堂——解题思维建模 即练即评——课堂效果评价 4 课时跟踪检测 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1．基本事实1～3   文字语言 基本事实1 过__________________的三个点，有且只有一个平面 基本事实2 如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 不在一条直线上 两个点 2．三个推论 推论1 经过一条直线和___________一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条______直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条_______直线，有且只有一个平面 这条直线外 相交 平行 3．空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类 共面直线 ①相交直线：在同一平面内，有且只有____________； ②平行直线：在同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在_______________内，没有公共点 一个公共点 任何一个平面 (2)基本事实4和定理 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线______ 定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_____________ 平行 相等或互补 4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系   图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 _______________________ ___个 平行 _________________ 0个 在平面内 __________ ______个 a∩α＝A 1 a∥α a⊂α 无数 平面与平面 平行 ________________ ___个 相交 _______________________ _____个 α∥β 0 α∩β＝l 无数 续表 5．异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线______________________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线_________ a′与b′所成的角 互相垂直 细作教材小题 √ 1．(人教A版必修二P128·T2)下列命题正确的是(　 ) A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 2．(苏教版必修二P218·T8)若a，b为两条异面直线，α，β为两个平面，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，则下列结论中正确的是(　 ) A．l至少与a，b中一条相交 B．l至多与a，b中一条相交 C．l至少与a，b中一条平行 D．l必与a，b中一条相交，与另一条平行 √ 解析：因为a，b为两条异面直线且a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，所以a与l共面，b与l共面．若l与a，b都不相交，则a∥l，b∥l，a∥b，与a，b异面矛盾，故A正确； 当a，b为如图所示的位置时，可知l与a，b都相交，故B、C、D错误． 3．(人教A版必修二P132·T9改编) [多选]如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是(　 ) A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交 C．EF∥CD D．EF与AB是异面直线 √ √ √ 解析：把展开图还原成正方体，如图所示，还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知A、B、C正确，EF与AB相交，故D错误． 4．(人教A版必修二P132·T4(3))已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是__________________． b∥α或b与α相交 5．(人教A版必修二P147例1改编)已知正方体ABCD-A′B′C′D′，则直线BA′与CC′所成的角的大小为________． 解析：∵此几何体为正方体， ∴CC′∥BB′， ∴BA′与CC′所成的角等于BA′与BB′所成的角， 又∵B′A′＝BB′， ∴BA′与BB′所成的角为∠A′BB′＝45°， ∴BA′与CC′所成的角等于45°. 45° 互动课堂——解题思维建模 02 逐点清(一)　基本事实的应用 例 1 若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在的平面相交，并且直线AA1，BB1，CC1相交于一点O.求证： (1)AB和A1B1，BC和B1C1，AC和A1C1分别在同一平面内； (2)如果AB和A1B1，BC和B1C1，AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图)． 证明：(1)∵AA1∩BB1＝O， ∴AA1，BB1确定平面ABO. ∵A，A1，B，B1都在平面ABO内， ∴AB⊂平面ABO，A1B1⊂平面ABO. ∵AA1∩CC1＝O， ∴AA1，CC1确定平面ACO. ∵A，A1，C，C1都在平面ACO内， ∴AC⊂平面ACO，A1C1⊂平面ACO. ∵CC1∩BB1＝O， ∴CC1，BB1确定平面CBO. ∵C，C1，B，B1都在平面CBO内，CB⊂平面CBO，C1B1⊂平面CBO. (2)∵A1B1∩AB＝P， ∴P∈A1B1，P∈AB， ∵AB⊂平面ABC，A1B1⊂平面A1B1C1， ∴点P在平面ABC与平面A1B1C1的交线上． ∵A1C1∩AC＝R， ∴R∈A1C1，R∈AC， ∵AC⊂平面ABC，A1C1⊂平面A1B1C1， ∴点R在平面ABC与平面A1B1C1的交线上． ∵B1C1∩BC＝Q， ∴Q∈B1C1，Q∈BC． ∵BC⊂平面ABC，B1C1⊂平面A1B1C1， ∴点Q在平面ABC与平面A1B1C1的交线上， ∴P，R，Q三点共线． (1)证明共面问题的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．②证两平面重合． (2)证明共线问题的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点问题的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 点拨·建模 逐点清(二)　空间位置关系的判断 例 2 √ [多选]已知A，B是不在平面α内的任意两点，则(　 ) A．在平面α内存在直线与直线AB异面 B．在平面α内存在直线与直线AB相交 C．存在过直线AB的平面与平面α垂直 D．在平面α内存在直线与直线AB平行 √ 解析：当AB∥α时，在平面α内不存在直线与直线AB相交，所以B不正确； 当直线AB与平面α相交时，在平面α内不存在直线与直线AB平行，所以D不正确； 当直线AB与平面α相交或平行时，在平面α内均存在直线与直线AB异面，且均存在过直线AB的平面与平面α垂直，所以A、C正确，故选AC． 例 3 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是(　 ) A．DD1 B．AC C．AD1 D．B1C √ 解析：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选B． (1)要判断空间中两条直线的位置关系(平行、相交、异面)，可利用定义，借助空间想象并充分利用图形进行思考． (2)判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断；二是利用排除法． 点拨·建模 (3)异面直线的判定方法：①利用反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线是异面直线；②根据定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线来判断． 逐点清(三)　异面直线所成的角 例 4 √ 例 5 √ 1．求异面直线所成角的方法 点拨·建模 平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 2．用平移法求异面直线所成的角的步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，B1C1，C1D1的中点，则正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是(　 ) A．正方形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 逐点清(四)　截面问题 例 6 √ 解析：如图所示，由EF∥PQ，可以确定一个平面，这个平面与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，DD1分别交于M，N，连接FN，NQ，PM，ME，由正方体的性质得FN∥MP，NQ∥ME，且EF＝FN＝NQ＝QP＝PM＝ME，∴正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是正六边形． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC 的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正 方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的 面积为________． 例 7 1．作截面的3种常用方法 (1)直接法，关键是截面上的点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，可以直接作出截面． (2)作平行线法，关键是截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可借助线面平行的性质和面面平行的性质作出截面． (3)延长交线得交点，关键是截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上． 点拨·建模 2．作截面遵循的3个原则 (1)过同一平面上的两点可引直线． (2)凡是相交的直线都要画出它们的交点． (3)凡是相交的平面都要画出它们的交线． 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　点、线、面位置关系 √ 1.如图，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　 ) A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC 解析：由题意知，D∈l，l⊂β，∴D∈β.又D∈AB，∴D∈平面ABC，即D在平面ABC与平面β的交线上．又C∈平面ABC，C∈β，∴点C在平面β与平面ABC的交线上．从而有平面ABC∩平面β＝CD． 2．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是(　 ) A．直线MN与直线A1B是异面直线 B．直线MN与直线DD1相交 C．直线MN与直线AC1是异面直线 D．直线MN与直线A1C平行 √ 解析：如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误； 连接BD，因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误； 因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确； 因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误． 3．[多选]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　 ) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1共面 C．A，M，C，O共面 D．B，B1，O，M共面 √ √ √ 解析：∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选ABC． 逐点验收(二)　异面直线所成的角 √ √ √ 逐点验收(三)　截面问题 7．[多选]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)可能是(　 ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 √ √ √ 解析：当BE＝CF时，截面是矩形；当2BE＝CF时，截面是菱形；当BE>CF时，截面是梯形；截面不可能是正方形． √ √ －42 解析：如图，延长MG，交A1A的延长线于K，连接KN，显然KN⊂平面MNG，KN⊂平面ABB1A1，因此，平面MNG与AB的交点H， 即为KN与AB的交点，在堑堵ABC-A1B1C1中，AG∥A1M， 因为AA1⊥AB，A1M⊥AB， 11．某同学对棱长为2的正方体的性质进行研究，得到了如下结论： ①12条棱中可构成16对异面直线； ②过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形； ④ 解析：对于①，12条棱中可构成异面直线的有24对，原因为对于每一条棱，有三条和它平行，四条和它相交，因此有4条和它是异面，而扩展到12条棱为12×4＝48，而由于两条作为一对，需要再除以2，得到24对，故错误； 对于②，如图，过正方体的一个顶点的截面可能是三角形、四边形、五边形，故错误； 对于③，先画出图形： 对于④，由于此球与正方体的各棱相切，则球的半径正好是正方体的面对角线的一半， 解析：如图，连接B1D1， 易知△B1C1D1为正三角形， 所以B1D1＝C1D1＝2. 分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H， 由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点． 由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°， 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 √ 一、强基训练，提高自信心 1．若直线上有两个点在平面外，则(　 ) A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 解析：根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 2．[多选]下列叙述正确的是(　 ) A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，则P∈l B．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面 C．三点A，B，C确定一个平面 D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：选项A，点P是两平面的公共点，显然在交线上，故正确； 选项B，由基本事实的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误； 选项D，由基本事实2，直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内，故正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 3．已知a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　 ) A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，当记B1A1为直线c时，a和c相交；当记DD1为直线c时，a和c平行；当记C1D1为直线c时，a和c异面，故若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面，故A错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面，故B错误； 若a∥b，则由异面直线所成的角的定义知a，b与c所成的角相等，故C正确； 若a⊥b，b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故D错误．故选C． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 4．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内．故选B． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 5．[多选]用一个平面截正方体，所得的截面不可能是(　 ) A．锐角三角形 B．直角梯形 C．有一个内角为75°的菱形 D．正五边形 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 7.[多选]一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4C，P3C的中点，关于该正四棱锥，下列四个结论正确的是(　 ) A．直线AF与直线BQ是异面直线 B．直线BE与直线MN是异面直线 C．直线BQ与直线MN共面 D．直线BE与直线AF是异面直线 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：根据展开图，复原几何体，如图所示，因为F，M，N，Q分别为P1D，P4D，P4C，P3C的中点，所以FN∥CD，又AB∥CD，则FN∥AB，故F，N，A，B四点共面，故直线AF与直线BQ是共面直线，故A错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 E在过F，N，A，B四点的平面外，B和MN都在过F，N，A，B四点的平面内，故直线BE与直线MN是异面直线，故B正确； N，Q重合，故直线BQ与直线MN共面，故C正确； E在过F，N，A，B四点的平面外，B和AF都在过F，N，A，B四点的平面内，故直线BE与直线AF是异面直线，故D正确．故选BCD． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 8．已知a，b，c是不同直线，α是平面，若a∥b，b∩c＝A，则直线a与直线c的位置关系是____________；若a⊥b，b⊥α，则直线a与平面α的位置关系是____________． 解析：a，b，c是不同直线，α是平面， 因为a∥b，b∩c＝A， 所以直线a与直线c的位置关系是相交或异面． 因为a⊥b，b⊥α， 所以直线a与平面α的位置关系是a∥α或a⊂α. 相交或异面 a∥α或a⊂α 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 9．已知△ABC的两边AC，BC分别交平面α于点M，N，设直线AB与平面α交于点O，则点O与直线MN的位置关系是________． 解析：∵O在直线AB上，AB⊂平面ABC， ∴O∈平面ABC． 又∵O∈α， ∴O在平面ABC与α的交线上． 又平面ABC∩平面α＝MN，∴O∈MN. O∈MN 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cos θ＝________. 解析：如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中 心为点P，容易证明OP∥A1D，所以直线l即为直线 OP，∠POC1＝θ或∠POC1＝π－θ. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 11.如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：直线EF与BD是异面直线； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角的大小． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线， 则EF与BD共面，从而DF与BE共面， 即AD与BC共面， 所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾， 故直线EF与BD是异面直线． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (2)如图，取CD的中点G，连接EG，FG， 则AC∥FG，EG∥BD． 所以直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成 的角． 又因为AC⊥BD，则FG⊥EG， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 12.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 证明：(1)因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD， 所以EF∥BD． 所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 设A1A，CC1确定的平面为α， 又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1， 所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β， 则Q是α与β的公共点， 所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R， 所以R∈A1C．所以R∈α，且R∈β， 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：如图将正三棱台ABC-A1B1C1补全为正三棱锥S-ABC，因为AA1⊥平面B1BCC1，即SA⊥平面SBC．根据正三棱锥的性质可得SB⊥平面SAC，SC⊥平面SBA，SB，SC⊂平面SBC，所以SA⊥SB，SA⊥SC．由SC⊂平面SAC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 因为AA′∥CC′且AA′＝CC′， 所以四边形AA′C′C为平行四边形，所以A′C′∥AC， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 因为平面ABCD∥平面A′B′C′D′，平面EFG∩平面A′B′C′D′＝EF， 平面EFG∩平面ABCD＝GH，所以EF∥GH，则GH∥AC， 因为G为CD的中点，所以H为AD的中点， 设直线EF分别交D′A′，D′C′的延长线于点P，Q，连接PH交棱AA′于点M， 连接QG交棱CC′于点N，连接EM，FN，PQ，则截面为六边形EFNGHM， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 所以AM＝A′M，则M为AA′的中点， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 同理可知，N为CC′的中点，易知六边形EFNGHM是边长为1的正六边形， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 16.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M，N分别是AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的 平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l. (1)画出直线l的位置，并说明作图依据； (2)正方体被平面DMN截成两部分，求较小部分几何体的体积． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)如图所示，直线NE即为所求． 依据如下： 延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则 NE即为直线l的位置． ∵DM∩D1A1＝E， ∴E∈DM⊂平面DMN，E∈D1A1⊂平面A1B1C1D1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 ∴E∈平面DMN∩平面A1B1C1D1， 又由题意显然有N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1， ∴平面DMN∩平面A1B1C1D1＝NE，则NE即为直线l的位置．(也可根据线面平行性质确定直线位置) (2)设直线l与A1B1交于点P，连接MP，则P为A1B1的四等分点，正方体被平面DMN截成两部分，较小部分为三棱台A1PM-D1ND， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　 ) A． B． C． D． 解析：如图，连接BC1，A1C1，易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角即为直线PB与BC1所成的角，即∠PBC1.不妨设该正方体的棱长为2a，则BC1＝2a，PC1＝PB1＝a，PB＝＝a，所以BC＝PC＋PB2，所以∠C1PB＝90°，则sin∠PBC1＝＝＝，所以∠PBC1＝.故选D． 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝AA1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值等于(　 ) A． B． C． D． 解析：如图，将该几何体补成一个直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，由题易得底面ABCD为菱形，且△ABC为等边三角形．连接DC1，BD，易得AB1∥DC1，所以∠BC1D(或其补角)是异面直线AB1与BC1所成的角．设AB＝1，则BC1＝DC1＝，BD＝2＝，所以cos∠BC1D＝＝. 解析：如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝2，MN＝，且BM＝DN＝，设等腰梯形MNDB的高为h，则h＝＝，∴梯形MNDB的面积为×(＋2)×＝. 4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为(　 ) A． B． C． D． 解析：设AB＝2，取A1B1的中点F，连接C1F，DF，DE，则B1F＝A1B1，因为D，E分别为AC，BC的中点，所以DE∥AB，DE＝AB，因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，所以DE∥B1F，B1F＝DE，所以四边形DEB1F为平行四边形，所以DF∥B1E， 所以∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角或补角．因为AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝2，D，E分别为AC，BC的中点，所以DF＝B1E＝＝，C1F＝＝，C1D＝＝，所以cos∠C1DF＝＝＝.故选D． 5.如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝4，则EF的长为(　 ) A．2 B．4 C．2 D．2或2 解析：取线段AD的中点G，连接EG，FG，因为E，G分别为AB，AD的中点，则EG∥BD且EG＝BD＝×4＝2，同理可得FG∥AC且FG＝AC＝×4＝2，所以异面直线BD，AC所成的角为∠EGF或其补角，①若∠EGF＝60°，则△EGF是边长为2的等边三角形，故EF＝2； ②若∠EGF＝120°，因为EG＝FG＝2，则△EGF为等腰三角形，且∠GEF＝∠GFE＝30°，取EF的中点H，则GH⊥EF，且EF＝2EH＝2EGcos 30°＝4×＝2.综上所述，EF＝2或EF＝2. 6．(2023·绵阳二模)如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD，点M，N分别在上、下底面圆上，AB＝2，BC＝3，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　 ) A． B． C． D． 解析：选B　如图，在上取点E，使＝2，连接NE，AN，NB，BE，EA．易知四边形ANBE为矩形，则NB∥AE，且NB＝AE.连接MN，CM.因为MN∥BC，且MN＝BC，所以四边形MNBC为平行四边形，所以CM∥NB，且CM＝NB．连接CE，则AE∥CM，且AE＝CM，所以四边形AECM为平行四边形，则AM∥CE，所以∠NCE或其补角是异面直线AM与CN所成的角． 在Rt△ANB中，＝2，AB＝2，BN＝，AN＝1，在Rt△BNC中，CB＝3，BN＝，所以CN＝＝2.在Rt△CBE中，CB＝3，BE＝1，所以CE＝＝.又NE＝AB＝2，在△NCE中，由余弦定理得cos∠NCE＝＝.故选B． 8．在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱AA1＝，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为(　 ) A． B．4 C．5 D．6 解析：如图，取C1D1的中点Q，连接PQ，B1D1，DQ，则PQ∥B1D1，PQ＝B1D1.又BD∥B1D1，则PQ∥BD．又根据正四棱台的性质得DQ＝BP，则四边形BDQP为等腰梯形，即过B，D，P三点的截面为等腰梯形BDQP.取BC的中点M，连接MP，在等腰梯形B1C1CB中，B1C1＝2，BC＝4，B1B＝，BM＝2，则PM＝＝，DQ＝BP＝＝3. 在等腰梯形BDQP中，PQ＝B1D1＝，BD＝4，则梯形的高为＝，所以等腰梯形BDQP的面积S＝×(＋4)×＝. 综合、应用、创新题 9．已知A，B，C是球O的球面上三点，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，若异面直线OC与AB所成角的余弦值为，则球O的表面积为(　 ) A．20π B．24π C．28π D．32π 解析：由题意知，在△ABC中，BC＝＝2，∵BC2＋AC2＝AB2，∴C＝90°，△ABC外接圆的圆心O1是AB的中点，连接OO1，易知OO1⊥平面ABC．设OO1＝d，作长方体如图所示，易知OD∥CO1，且OD＝CO1，四边形ODO1C是平行四边形，则OC∥DO1，∠DO1B为异面直线OC与AB所成的角(或补角)， 易知O1B＝2，DO1＝BD＝，则在等腰△DO1B中，cos∠DO1B＝＝＝，解得d＝1，则球O的半径R＝ ＝，球O的表面积为4πR2＝20π. 10．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，M是A1C1的中点，AB＝7，N，G分别在棱BB1，AC上，且BN＝BB1，AG＝AC，平面MNG与AB交于点H，则·＝________. 所以AH＝AB＝6， 则＝＝＝，即KA＝2AA1， 又BN＝BB1＝AA1，则KA＝6BN， 而KA∥BN，于是得＝＝6， 所以·＝(＋＋)·＝·＝－6×7＝－42. ③以正方体各表面中心为顶点的正八面体的表面积是4＋4； ④与正方体各棱相切的球的体积是. 其中正确的序号是________． 正八面体每个面是全等的正三角形，棱长为×2＝，表面积为8××()2＝4，故错误； 正方体的棱长为2，则球的半径是R＝＝，则V＝πR3＝π×()3＝，故正确． 12．已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝. 在侧面BCC1B1内任取一点P，连接MP，使MP＝，连接D1P， 则D1P＝＝＝， 连接MG，MH，易得MG＝MH＝， 故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线． 所以的长为×2π×＝. 解析：用一个平面截正方体，只截正方体三个面，得锐角三角形，如图1，截四个面得四边形，四边形可以是矩形、正方形，可以是菱形，如图2中四边形ABCD(其中B，D为所在棱的中点)，但内角不是75°，图中菱形锐角内角的余弦值为，可以是梯形，如图2中四边形AEFG，但不可能是直角梯形，截六个面得六边形，如果过一个顶点截面可为五边形(也可不过顶点)，如图3，但不会是正五边形．故选BCD． 6．已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，AC＝2，BC＝2，PA＝3，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为(　 ) A． B． C． D． 解析：选D　如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE， 则DE∥PC，∠ADE或其补角即为异面直线AD与PC所成的角． 由AB＝2，AC＝2，BC＝2， 则有AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC， 由E为BC的中点，则AE＝， ∵PA⊥平面ABC，在Rt△PAC中，PC＝＝＝，∴DE＝PC＝， 在Rt△PAB中，PB＝＝＝，∴DA＝， 在△ADE中，根据余弦定理可得cos∠ADE＝＝＝. ∴异面直线AD与PC所成角的余弦值为. 设正方体的棱长为2，则OP＝A1D＝，OC1＝，PC1＝， 则cos θ＝|cos∠POC1|＝＝＝. 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°. 二、创优训练，冲刺“双一流” 13.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是侧棱AA1的中点，则平面B1CE截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形的周长是(　 ) A．6＋3 B．3＋2 C．6＋4 D．3＋4 解析：取AD的中点H，连接EH，A1D，∵AD的中点为H，E是侧棱AA1的中点，∴EH∥A1D，EH＝A1D，又在Rt△A1AD中，A1D＝＝＝4，∴EH＝A1D＝2，∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥DC，A1B1＝DC， ∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D∥B1C，A1D＝B1C＝4，∴EH∥B1C，∴E，H，C，B1四点共面，即为正方体的截面．在Rt△EA1B1中，EB1＝＝＝2，同理HC＝2，则截面周长为EB1＋B1C＋HC＋EH＝4＋6，故选C． 14．在正三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面B1BCC1，AB＝2A1B1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　 ) A． B． C． D． 得SB⊥SC，又AB＝2A1B1，所以B1为SB的中点，同理可得A1为SA的中点，C1为SC的中点，取SC1的中点D，连接B1D，AD，则B1D∥BC1，所以∠AB1D即为异面直线AB1与BC1所成的角(或补角)，不妨令SB＝2，则AB1＝＝，AD＝＝， B1D＝＝，在△AB1D中，由余弦定理得AD2＝AB＋DB－2AB1·DB1cos∠AB1D，即2＝()2＋2－2××cos∠AB1D，解得cos∠AB1D＝，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 15.如图，在棱长为的正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E，F，G分别是棱A′B′，B′C′，CD的中点，则由点E，F，G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于________． 解析：如图，连接A′C′，AC，EF，因为E，F分别为A′B′，B′C′的中点，则EF∥A′C′且EF＝＝＝1， 因为A′P∥C′B′，则＝＝1， 所以A′P＝B′F＝B′C′＝A′D′＝AD＝AH， 因为AH∥A′P，则＝＝1， 所以截面面积为6××12×sin 60°＝. 其体积为V＝(S△A1PM＋S△D1ND＋)·A1D1 ＝a·＝a3. $$