2.9 函数与方程（课件PPT）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

函数与方程 第九节 课标要求 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解的步骤. CONTENTS 目录 1 2 3 再认再现——课前基础落实 互动课堂——解题思维建模 即练即评——课堂效果评价 4 课时跟踪检测 再认再现——课前基础落实 01 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点与方程实数解的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有_____⇔函数y＝f(x)的图象与_____有公共点． (2)函数零点存在定理： 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有___________，那么，函数y＝f(x)在区间_______内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 系统主干知识 零点 x轴 f(a)f(b)<0 (a，b) f(c)＝0 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且___________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间_________，使所得区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． f(a)f(b)<0 一分为二 零点 细作教材小题 √ 2．(人教A版必修一P143·例1改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是________． 解析：由题知，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)<0，f(3)>0，故函数f(x)存在唯一的零点． 1 3．(人教A版必修一P146·例2改编)若利用二分法求解方程2x＋3x＝7的一个近似解时，已经将该解锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该解所在的区间为________． 解析：令f(x)＝2x＋3x－7，则f(1)＝－2，f(2)＝3，f(1.5)≈0.33.因为f(1)f(1.5)<0，所以下一步可断定该解在区间(1,1.5)． (1,1.5) 4．(人教A版必修一P156·T13改编)已知函数f(x)＝x2＋ax＋1有两个零点，在区间(－1,1)上具有单调性，且在该区间中有且只有一个零点，则实数a的取值范围为__________________________． (－∞，－2)∪(2，＋∞) 互动课堂——解题思维建模 02 逐点清(一)　函数零点所在区间的判定 例 1 f(x)＝log2x＋x－5的零点所在区间为(　 ) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) √ 解析：因为f(x)＝log2x＋x－5在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝log23－2<0，f(4)＝2－1＝1>0，所以函数零点所在区间为(3,4)． 例 2 若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　 ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 √ 解析：函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． 点拨·建模 确定函数零点所在区间的常用方法 利用函数零点存在定理 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点 数形结合法 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 逐点清(二)　函数零点个数的判定 例 3 函数f(x)＝xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 √ 例 4 √ 解析：因为f(x＋1)＝－f(x)，所以函数y＝f(x)(x∈R)是周期为2的函数.因为x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，所以作出y＝f(x)的图象如图所示. (注意拓展它的区间) 易得当x∈[－6,6]时，f(x)与g(x)图象的交点为12个，即h(x)零点的个数为12. 点拨·建模 函数零点个数的判定方法 直接求零点 令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点 利用函数零点存在定理 利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点 图象法 画两个函数的图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 逐点清(三)　二分法 例 5 [多选]已知函数f(x)＝ex－x＋a，其中x∈R，a为某确定常数，运用二分法研究函数f(x)的零点时，若第一次经计算f(0)<0且f(1)>0，则(　 ) √ √ 解析：对于A，由题意第一次经计算f(0)<0且f(1)>0，因此由函数零点存在定理可知存在x0∈(0,1)满足f(x0)＝0，故A正确． 用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则终止条件为(　 ) A．|x1－x2|>ε B．|x1－x2|<ε C．x1<ε<x2 D．x2<ε<x1 解析：根据题意，用二分法求方程的近似解，若要求的精确度为ε，当|x1－x2|<ε时，即表示满足精度要求，可以确定近似解．故选B. 例 6 √ 利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 点拨·建模 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　函数的零点 √ √ 3．函数f(x)＝|2x－1|－3x的零点个数为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 √ 4．若函数f(x)＝(k2－1)x2＋(k－1)x＋1只有一个零点，则k的取值集合为_____________． 解析：①若k2－1＝0，即k＝±1， 当k＝1时，f(x)＝1，此时没有零点； 逐点验收(二)　二分法 5．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选(　 ) A．[－1,0] B．[0,1] C．[1,2] D．[2,3] √ 6．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0,1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 √ 细节、微点提醒 1．谨记3个相关性质 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 2．谨防两个易错易混 (1)连续函数f(x)在区间[a，b]上，若满足f(a)f(b)<0，则在区间[a，b]上至少有一个零点，反之不一定． (2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对二次项系数的讨论． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 2．[多选]下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的说法错误的是(　 ) A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点 B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值 C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点 D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：显然A正确；因为函数f(x)不一定连续，故B错误； 函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，f(x)＝0的根是函数f(x)的零点，故C错误； 用二分法求方程的根时，得到的根可以是准确值，故D错误. 故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 3．函数f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间为(　 ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：f′(x)＝ex－1，当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝e－1－2<0，f(2)＝e2－4>0，f(0)＝－1<0，根据函数零点存在定理及函数的单调性可得函数f(x)在(1,2)内有零点，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 A．f(x)有且只有一个零点 B．f(x)的零点在(1,2)内 C．f(x)的零点不可能在(a，b)内 D．f(x)的零点可能在(c，＋∞)内 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 6．[多选]下列说法正确的是(　 ) A．函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4,0)，(2,0) B．方程ex＝3＋x有两个解 C．函数y＝3x与y＝log3x的图象关于y＝x对称 D．已知函数f(x)的一个零点x0∈(2,4)，用二分法求精确度为0.01的x0的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最少需要8次 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是x＝－4，x＝2，故A错误； y＝ex与y＝3＋x的图象有两个交点，故方程ex＝3＋x有两个解，故B正确； 函数y＝3x与y＝log3x互为反函数，图象关于y＝x对称，故C正确； 由二分法的步骤可得，第1次：取区间中点值x＝3，精度为1；第2次：取(2,3)或(3,4)区间中点值，精度为0.5；第3次：精度为0.25；第4次：精度为0.125；第5次：精度为0.062 5；第6次：精度为0.031 25；第7次：精度为0.015 625>0.01；第8次：精度为0.007 812 5<0.01，故至少要8次，故D正确．故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：命题“∀x<1，都有x2<1”的否定是“∃x<1，使得x2≥1”，A错误； 函数f(x)＝2x－x2的零点的个数即为y＝2x与y＝x2图象交点的个数，根据图象可知函数f(x)＝2x－x2的零点有3个，B错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 因为区间(2,3)的长度为1,1次二分后长度为0.5,2次二分后长度为0.25,3次二分后长度为0.125>0.1,4次二分后长度为0.062 5<0.1，所以至少需要4次二分后，才能使精确度达到0.1，C错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 f(x)＝x2－1 (答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 11．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x. (1)写出函数y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)设x＜0， 则－x＞0， 所以f(－x)＝x2＋2x. 又因为f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解， 即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点． 作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1， 故a的取值范围为(－1,1)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 12．函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2,3. (1)求b，c的值； (2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1,2)，(2,4)内，求m的取值范围． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)2,3为方程x2＋bx＋c＝0的两根， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (2)由(1)得f(x)＝x2－5x＋6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－lg x的零点个数为(　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：由已知可得，f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数.又函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，根据已知，作出函数y＝f(x)的图象，以及y＝lg x的图象， 因为lg 10＝1，lg 8<lg 9<1，由图象可知，y＝f(x)与y＝lg x共有9个交点，所以函数g(x)＝f(x)－lg x的零点个数为9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 15．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中,给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程2x3＋3x2＋x＋1＝0的近似解，先用函数零点存在定理，令f(x)＝2x3＋3x2＋x＋1，f(－2)＝－5<0，f(－1)＝1>0，得(－2，－1)上存在零点， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1．(苏教版必修一P253·T8)函数f(x)＝ 的零点个数是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，因此满足条件的函数图象示意图如图(1)(2)所示．不管哪种情况，都可以归结为f(－1)f(1)<0且≥1，因此(2－a)(a＋2)<0且|a|≥2，解得a<－2或a>2. 解析：由f(x)＝xcos 2x＝0⇒x＝0或cos 2x＝0，又cos 2x＝0在[0,2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点． (2024·绍兴模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，已知函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6,6]内的零点个数为(　 ) A．14 B．13 C．12 D．11 再作出函数g(x)＝的图象， A．可以确定f(x)的一个零点x0，满足x0∈(0,1) B．第二次应计算f，若f>0，第三次应计算f C．第二次应计算f，若f<0，第三次应计算f D．第二次应计算f，若f>0，第三次应计算f 对于B，第二次应计算f，若f>0，又f(0)<0，所以有f(0)·f<0，满足函数零点存在定理，所以第三次应计算f，故B正确． 对于C，第二次应计算f，若f<0，又f(1)>0，所以有f·f(1)<0，满足函数零点存在定理，所以第三次应计算f，故C错误． 对于D，第二次应计算f，而不是计算f，故D错误．故选AB. 1．函数f(x)＝2x－的零点所在区间是(　 ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：f(x)＝2x－在(0，＋∞)上连续且单调递增，f(1)＝－2，f(2)＝2，故函数f(x)的零点位于区间(1,2)内． 2．函数f(x)＝的零点个数为(　 ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e，因此函数f(x)共有2个零点． 解析：当x>0时，则3x>2x>1，即2x－1>0,3x－2x>0，可得f(x)＝－3x＝2x－3x－1<－1<0，所以f(x)在内无零点；当x≤0时，则2x≤1，即2x－1≤0，可得f(x)＝－3x＝－2x－3x＋1，因为y＝2x，y＝3x在R上单调递增，则f(x)在上单调递减，且f(0)＝－1<0，f＝－－＋1＝>0，所以f(x)在内有且仅有一个零点．综上所述，函数f(x)＝|2x－1|－3x的零点个数为1. 当k＝－1时，f(x)＝－2x＋1，令f(x)＝－2x＋1＝0，解得x＝，符合题意； ②当k≠±1时，令f(x)＝(k2－1)x2＋(k－1)x＋1＝0，则Δ＝(k－1)2－4(k2－1)＝0，解得k＝－或k＝1(舍去)．综上，k＝－或k＝－1，则k的取值集合为. 解析：f(－1)＝－<0，f(0)＝－2<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0， f(3)＝5>0，则f(1)·f(2)<0，即初始区间可选[1,2]．故选C. 解析：因为开区间(0,1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过n(n∈N*)次操作后，区间长度变为.令≤0.01，解得n≥7，且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7.故选C. 一、强基训练，提高自信心 1．函数y＝6x2＋x－1的零点是(　 ) A.， B.， C.，－ D.－， 解析：解方程6x2＋x－1＝0，即(3x－1)(2x＋1)＝0，解得x＝－ 或x＝，因此，函数y＝6x2＋x－1的零点为，－.故选C. 4．(2024·郑州质检)函数f(x)＝ln x－的零点的个数是(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：如图，画出y＝ln x与y＝的图象.由图象知函数f(x)在(0,1)内有1个零点， 在(1，＋∞)上有一个零点，故函数f(x)＝ ln x－的零点有2个． 5．[多选]已知函数f(x)＝－log2x，若0<a<b<1，且满足f(a)f(b)f(c)<0，则下列说法正确的是(　 ) 解析：函数f(x)＝－log2x的定义域为(0，＋∞)，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减．又f(1)＝1－log21＝1>0，f(2)＝－log22＝－<0， 所以f(x)有且只有一个零点，且零点在区间(1,2)内，A正确，B正确； 因为0<a<b<1，所以f(x)的零点不可能在(a，b)内，C正确； 因为函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减，又f(1)>0,0<a<b<1，所以f(a)>f(b)>f(1)>0，又f(a)f(b)f(c)<0，所以f(c)<0，所以当x>c时， f(x)<0，所以f(x)的零点不可能在(c，＋∞)内，D错误． 7．下列命题正确的是(　 ) A．命题“∀x<1，都有x2<1”的否定是“∃x≥1，使得x2≥1” B．函数f(x)＝2x－x2的零点有2个 C．用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1 D．函数f(x)＝ln(x＋1)－在(0，＋∞)上只有一个零点，且该零点在区间上 由对数函数和反比例函数的单调性可知f(x)＝ln(x＋1)－在(0，＋∞)上单调递增，又f＝ln －4<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以由函数零点存在定理可知函数f(x)＝ln(x＋1)－在(0，＋∞)上只有一个零点，且该零点在区间上，D正确．故选D. 8．(2024·石家庄模拟)已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________． － 解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－. 9．(2024·苏州质检)函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x∈R，f(x)＝f(－x)；③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0；④f(x)恰有两个零点， 请写出函数f(x)的一个解析式：_________________________. 解析：因为∀x∈R，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数．因为当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.因为f(x)恰有两个零点，所以f(x)图象与x轴只有2个交点，所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)＝x2－1(答案不唯一)． 10．已知函数f(x)＝x－x＋m在(－1,1)上存在零点，则m的取值范围是__________． 解析：f(x)＝x－x＋m为增函数，若函数f(x)在(－1,1)上存在零点，则f(－1)＝－1－2＋m<0且f(1)＝1－＋m>0，解得－<m<3. 所以f(x)＝ ∴∴ g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，依题意 解得－<m<0，故实数m的取值范围是. 14．已知函数f(x)＝则函数g＝f(x)－的零点个数为________． 解析：令g＝0得f(x)＝，可知函数g的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝图象的交点个数，在同一平面直角坐标系中作出y＝f(x)，y＝的大致图象如图所示. 由图象可知，函数y＝f(x)与y＝的图象有3个交点，即函数g(x)有3个零点． 取x0＝－1，牛顿用公式xn＝xn－1－反复迭代，以xn作为f(x)＝0的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为________；以(－2，－1)为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为________． － － 解析：已知f(x)＝2x3＋3x2＋x＋1，则f′(x)＝6x2＋6x＋1.迭代1次后，x1＝－1－＝－1－＝－2；迭代2次后，x2＝－2－＝－2－＝－.用二分法计算第1次，区间(－2，－1)的中点为－，f＝－<0， ff(－1)<0，所以近似解在区间上；用二分法计算第2次， 区间的中点为－，f＝>0，ff<0，所以近似解在区间上，取其中点值－，故所求近似解为－. $$