2.5 幂函数与二次函数（课件PPT）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

幂函数与二次函数 第五节 课标要求 CONTENTS 目录 1 2 3 再认再现——课前基础落实 互动课堂——解题思维建模 即练即评——课堂效果评价 4 课时跟踪检测 再认再现——课前基础落实 01 系统主干知识 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点_____和_____，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点_____，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为________ ；当α为偶数时，y＝xα为________ ． (0,0) (1,1) (1,1) 奇函数 偶函数 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)＝___________________ 顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________． 零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的______. ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 零点 (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R 续表 续表 减 增 增 减 细作教材小题 √ 4．(人教A版必修一P86·T7改编)f(x)＝x2－2x，x∈[2,4]的单调递增区间为________，f(x)min＝________. 解析：∵函数f(x)图象的对称轴为x＝1，开口向上，∴当x∈[2,4]时，f(x)的单调递增区间为[2,4]，f(x)min＝f(2)＝0. [2,4] 0 互动课堂——解题思维建模 02 逐点清(一)　幂函数的图象与性质 例 1 [多选]已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，则下列命题正确的是 (　 ) A．函数f(x)为非奇非偶函数 B．函数f(x)的定义域为R C．f(x)的单调递增区间为[0，＋∞) √ √ 例 2 若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　 ) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c √ 解析：由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.故选B. 点拨·建模 幂函数的性质与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (3)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，当α＜0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 逐点清(二)　二次函数的解析式 例 3 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 解：法一：利用“一般式”解题 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：利用“顶点式”解题 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)， 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8， 法三：利用“零点式”解题 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 点拨·建模 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： (二次函数的图象的辨析) [多选]如图是 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1，给出下面四个结论正确的为(　 ) A．b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c<0 D．5a<b 逐点清(三)　二次函数的图象与性质 例 4 √ √ 解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故A正确； 结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，故C错误； 由对称轴为x＝－1知，b＝2a，根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a＝b，即5a<b，故D正确． 例 5 (利用二次函数性质求参数)已知函数f(x)＝x2－(2b－4)x＋3在(－1,1)上不具有单调性，则实数b的取值范围是(　 ) A．(－∞，1]∪[3，＋∞) 　 B．(1,3) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) 　 D．(－1,1) 解析：函数f(x)＝x2－(2b－4)x＋3图象的对称轴为x＝b－2.因为函数f(x)在(－1,1)上不具有单调性，所以－1<b－2<1，得1<b<3. √ (二次函数的最值问题)已知f(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)． (1)若a＝b＝1，求f(x)在[t，t＋1]上的最大值； (2)若f(x)在区间[2,4]上的最大值为9，最小值为1，求实数a，b的值． 例 6 (2)因为函数的图象开口向上，且对称轴方程为x＝1∉[2,4]，所以函数在[2,4]上单调递增． 所以当x＝2时，f(x)取得最小值b＋1；当x＝4时，f(x)取得最大值16a－8a＋1＋b＝8a＋1＋b. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 点拨·建模 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　幂函数的图象与性质 √ A．m＝3 B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增 C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于原点对称 √ √ √ 逐点验收(二)　二次函数的图象与性质 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图象可能是下图中的(　 ) √ √ 5．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________． 解析：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a. 当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a＝2， 所以a＝－1. 当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1＝2， －1或2 所以a2－a－1＝0， 当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2. 综上可知，a＝－1或a＝2. 6．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在区间[3a，a＋1]上不具有单调性，求实数a的取值范围； (3)在区间[－3，－1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围． 解：(1)根据题意，二次函数f(x)满足f(0)＝f(2)＝3，可得函数f(x)的对称轴为x＝1.因为函数f(x)的最小值为1，可设f(x)＝a(x－1)2＋1. 又因为f(0)＝3，可得f(0)＝a＋1＝3，解得a＝2， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3. (2)由函数f(x)＝2(x－1)2＋1，其对称轴为x＝1， (3)由函数f(x)＝2x2－4x＋3，若在区间[－3，－1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，则由2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在区间[－3，－1]上恒成立． 即m<x2－3x＋1在区间[－3，－1]上恒成立． 细节、微点提醒 (1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． (3)二次函数在某种特殊条件下也能具有奇偶性：当b＝0时，二次函数为偶函数． (4)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. (5)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 2．已知二次函数y＝－2(x＋1)2＋3，下列结论正确的是(　 ) A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线x＝1 C．当x>－1时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 解析：二次函数y＝－2(x＋1)2＋3的图象开口向下，A错误； 二次函数y＝－2(x＋1)2＋3图象的对称轴为直线x＝－1，B错误； 二次函数y＝－2(x＋1)2＋3，当x>－1时，y随x的增大而减小，C正确； 当x＝－1时，函数有最大值3，该函数无最小值，D错误．故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 4．函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　 ) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：对于A，二次函数f(x)图象开口向下，所以a<0，此时g(x)＝xa与图中符合； 对于B，二次函数f(x)图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，不符合； 对于C，二次函数f(x)图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，符合； 对于D，二次函数f(x)图象开口向上，所以a>0，此时g(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递增，符合．故选B. 5．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－∞，0] B．[0,3] C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．[3，＋∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 解析：二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1,2]上具有单调性，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 因为α>0，所以0α＝0,1α＝1，故幂函数y＝xα (α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)，C正确； 由题意得2m2－2m－3＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x2为偶函数，满足图象关于y轴对称，当m＝－1时，f(x)＝x－1为奇函数，不满足图象关于y轴对称，舍去，其中－a2＋2a－5＝－(a－1)2－4≤－4恒成立，故|－a2＋2a－5|＝(a－1)2＋4≥4>3，又f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(－a2＋2a－5)>f(3)，D正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 8．(2023·南京二模)幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2，请写出符合上述条件的一个函数f(x)＝______________. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 9．函数f(x)＝4x－2x＋1－1的值域是______________． 解析：f(x)＝(2x)2－2·2x－1，令2x＝t(t>0)，则m(t)＝t2－2t－1＝(t－1)2－2(t>0)，由于m(t)＝(t－1)2－2(t>0)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以m(t)≥m(1)＝－2，故f(x)的值域为[－2，＋∞)． [－2，＋∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 10．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为__________________． f(x)＝x2－4x＋3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，∴a＝1.∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 11．已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm＋2在(0，＋∞)上单调递减． (1)求m的值； (2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范围． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1， 即m2＋4m＋3＝0， 解得m＝－1或m＝－3. 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以m＋2<0，即m<－2，得m＝－3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (2)设g(x)＝x3，g(x)是R上的增函数． 由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m， 即(2a－1)3<(a＋3)3， 则2a－1<a＋3， 解得a<4， 即a的取值范围为(－∞，4)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 12．已知函数f(x)＝2x2＋mx＋n的对称轴方程为x＝2，y＝f(x)的值域为[－5，＋∞)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在[a，a＋2]上的最小值为－4，求实数a的值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)函数f(x)＝2x2＋mx＋n的对称轴方程为x＝2，y＝f(x)的值域为[－5，＋∞)， 所以f(x)＝2x2－8x＋3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (2)函数f(x)在[a，a＋2]上的最小值为－4， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．[多选]已知f(x)＝x2－2kx＋3k2－3k＋1(k∈R)，则下列命题正确的是(　 ) A．对任意实数x，存在k，使得f(x)>0 B．对任意k，存在实数x，使得f(x)>0 C．对任意实数k，x，均有f(x)>0成立 D．对任意实数k，x，均有f(x)<0成立 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：令f(x)＝x2－2kx＋3k2－3k＋1＝0，记Δ＝(－2k)2－4(3k2－3k＋1)＝－4(2k－1)·(k－1)．因为f(x)为图象开口向上的二次函数，所以对任意k，总存在x使得f(x)>0，故B正确，D错误； 14．[多选]已知函数f(x)＝x2＋2x，若存在实数t，当x∈[1，m]时，有f(x＋t)≤3x恒成立，则实数m可以等于(　 ) A．3 B．6 C．9 D．12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 h(t)min＝h(－4)＝m2－9m＋8≤0，解得3≤m≤8；当－4<－m－1<－2，即1<m<3时，h(t)min＝h(－m－1)＝－1－3m≤0，解得1<m<3.综上，1<m≤8.选项A、B符合题意，选项C、D不符合题意． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 15．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________． 7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 16．已知函数f(x)＝－x2＋2mx＋1－m2，其中m∈R. (1)若不等式f(x)≤m2＋2m－2对于一切实数x均成立，求实数m的取值范围； (2)当x∈[1,3]时，若函数f(x)的最大值为－8，求实数m的值． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)∵不等式f(x)≤m2＋2m－2对于一切实数x均成立， ∴－x2＋2mx＋1－m2≤m2＋2m－2， 即－x2＋2mx－2m2－2m＋3≤0对于一切实数x均成立． ∴Δ≤0， 即(2m)2－4×(－1)×(－2m2－2m＋3)≤0. ∴－m2－2m＋3≤0， 解得m≤－3或m≥1.∴m的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (2)y＝－x2＋2mx＋1－m2图象的对称轴为x＝m. ①当m≤1时，f(x)在[1,3]单调递减， ∴f(x)max＝f(1)＝－m2＋2m. 又∵当x∈[1,3]时，函数f(x)的最大值为－8， ∴－m2＋2m＝－8， 解得m＝－2或m＝4(舍去)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 ②当1<m<3时，f(x)在(1，m)单调递增，在(m,3)单调递减， ∴f(x)max＝f(m)＝－m2＋2m2＋1－m2＝1，显然，不符合题意． ③当m≥3时，f(x)在[1,3]单调递增， ∴f(x)max＝f(3)＝－9＋6m＋1－m2＝－m2＋6m－8. 又∵当x∈[1,3]时，函数f(x)的最大值为－8， ∴－m2＋6m－8＝－8， 解得m＝6或m＝0(舍去)． 综上所述，m＝－2或m＝6. 1.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；了解幂函数的概念. 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 值域 _________________ 对称轴 __________ 顶点坐标 ________________ 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 x＝－ 单调性 在上单调递_____；在上单调递____ 在－∞，－上单调递_____；在上单调递_____ 1．(人教B版必修二P36·例2改编)幂函数f(x)＝x的大致图象是(　 ) 解析：因为f(x)＝x，定义域为R，所以排除A、D. 因为f(－x)＝(－x)＝x＝f(x)，所以函数为偶函数，所以排除B. 2．(人教A版必修一P91·T1改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则函数f(x)＝_______. x 解析：设f(x)＝xα，则＝2α，解得α＝，故函数f(x)＝x. 3．(苏教版必修一P140·例2(3)改编)1.3,1,3的大小关系为______________． 1.3<1<3 解析：因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞)上单调递增，又<1，所以1.3<11.3＝1.因为函数y＝x在区间[0，＋∞)上单调递增，又3>1，所以3>1＝1.所以1.3<1<3. D．若x2>x1>0，则>f 解析：设幂函数f(x)＝xα，α为实数，其图象经过点(4,2)，所以4α＝2，则α＝，所以f(x)＝x，定义域为[0，＋∞)，f(x)为非奇非偶函数，故A正确，B错误； 且f(x)＝x在[0，＋∞)上为增函数，故C正确； 因为函数f(x)＝x是凸函数，所以对定义域内任意x1<x2，都有<f成立，故D错误．故选AC. 由题意得解得 所以抛物线的对称轴为x＝＝， 所以m＝. 所以f(x)＝a2＋8. 因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1， 解得a＝－4， 所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 又函数有最大值8，即＝8， 对称轴为x＝－1，即－＝－1，所以2a－b＝0，故B错误； 解：(1)当a＝b＝1时，函数化为f(x)＝x2－2x＋2，其图象的对称轴为直线x＝1，而＝t＋. ①当t＋≤1，即t≤时，函数在x＝t时取得最大值t2－2t＋2； ②当t＋>1，即t>时，函数在x＝t＋1时取得最大值(t＋1)2－2(t＋1)＋2＝t2＋1. 综上，当t≤时，最大值为t2－2t＋2； 当t>时，最大值为t2＋1. 由题意，得解得 1．若一个幂函数的图象经过点，则它的单调递减区间是(　 ) A．(－∞，1) B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．R 解析：设幂函数f(x)＝xα，∵幂函数f(x)的图象过点，∴3α＝＝3－2，解得α＝－2，即f(x)＝x－2，易知f(x)＝x－2在(－∞，0)单调递增，在(0，＋∞)单调递减．故f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)． 2．[多选]幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是(　 ) 解析：因为幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x在(0，＋∞)上单调递增，所以解得m＝3，所以f(x)＝x3.所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递增．故选ABD. 解析：对于A，由图象可知两个二次函数的图象均开口向上，故a>0，b>0，则两函数的对称轴－<0，－<0，均在纵轴左侧，与选项矛盾，故A错误； 对于B，同A项，有a<0，b<0，对称轴－<0，－<0，均在纵轴左侧，与选项矛盾，故B错误； 对于C、D，由图象可知ab<0，故两函数的对称轴－>0，－>0，均在纵轴右侧，故C错误，D正确． 4．已知函数y＝x2－3x－4，当0≤x≤m时，－≤y≤－4，则实数m的取值范围是(　 ) A.[3，＋∞) B. C. D. 解析：由y＝x2－3x－4可得y＝2－，即二次函数y＝x2－3x－4的图象开口向上，对称轴为x＝.画出其函数图象如图所示，易知，当x＝时，y＝－；当x＝0或x＝3时，y＝－4.根据题意，当0≤x≤m时，－≤y≤－4，结合图象可知≤m≤3.所以实数m的取值范围是. 所以a＝(舍去)． 要使得函数f(x)在区间[3a，a＋1]上不具有单调性，则满足3a<1<a＋1，解得0<a<， 即实数a的取值范围为. 设g(x)＝x2－3x＋1，其对称轴为x＝，则g(x)在x∈[－3，－1]上单调递减,所以函数g(x)的最小值为g(－1)＝5，则有m<5， 所以实数m的取值范围为(－∞，5)． (2)根与系数的关系：x1＋x2＝－，x1·x2＝. 一、强基训练，提高自信心 1．已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm的图象与坐标轴没有公共点， 则f()＝(　 ) A. B. C．2 D．2 解析：因为f(x)为幂函数，所以m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1.又f(x)的图象与坐标轴无公共点，故m<0，所以m＝－2，故f(x)＝x－2.所以f()＝()－2＝.故选A. 3．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a，b，c的大小关系为(　 ) A．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．c<b<a 解析：幂函数y＝x在[0，＋∞)上单调递增，值域为[0，＋∞)，由>，则>>0，又(－2)3＝－8<0，所以c<b<a.故选D. 6．[多选]若函数y＝x2－ax－3，x∈[－3,2]的最小值为－8，则a的值为(　 ) A．－ B．－2 C．2 D． 解析：函数y＝x2－ax－3＝2－3－的图象开口向上，对称轴为x＝.若－3≤≤2，即－6≤a≤4时，ymin＝－3－＝－8，解得a＝－2或 a＝2(舍去)；若>2，即a>4时，函数在[－3,2]上单调递减，所以ymin＝22－2a－3＝－8，解得a＝；若<－3，即a<－6时，函数在[－3,2]上单调递增，所以ymin＝(－3)2＋3a－3＝－8，解得a＝－(舍去)．综上可得a＝－2或a＝. 7．[多选]下列说法正确的是(　 ) A．若幂函数的图象经过点，则解析式为y＝x B．若函数f(x)＝x－，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减 C．幂函数y＝xα (α>0)始终经过点(0,0)和(1,1) D．若幂函数f(x)＝(2m2－2m－3)xm图象关于y轴对称， 则f(－a2＋2a－5)>f(3) 解析：设f(x)＝xα，将代入，α＝2，即(2－3)α＝2，解得α＝－，故解析式为y＝x－，A错误； 因为－<0，所以f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)＝x－定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)－＝x－＝f(x)，故f(x)＝x－为偶函数，故f(x)＝x－在(－∞，0)上单调递增，B错误； x(答案不唯一) 解析：取f(x)＝x，则定义域为R，且f(－x)＝(－x)＝x＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝2＝，满足f(－1)<f(2)<2. 由二次函数的图象和性质可得 解得 结合题意，则有 或 解得a＝－或a＝. 因为当k∈∪(1，＋∞)时，Δ＝－4(2k－1)(k－1)<0，所以方程x2－2kx＋3k2－3k＋1＝0无解，所以f(x)>0恒成立，故A正确； 因为当k∈时，Δ＝－4(2k－1)(k－1)≥0，所以方程x2－2kx＋3k2－3k＋1＝0有一根或两根，所以对任意x，f(x)>0不恒成立，故C错误． 解析：不等式f(x＋t)≤3x⇔(x＋t)2＋2(x＋t)－3x≤0⇔x2＋(2t－1)x＋t2＋2t≤0，令g(x)＝x2＋(2t－1)x＋t2＋2t，x∈[1，m]，依题意，存在实数t，使g(x)≤0在x∈[1，m]上恒成立，由二次函数的图象与性质知，即令h(t)＝t2＋2(m＋1)t＋m2－m，于是存在实数t∈[－4,0]，使得h(t)≤0成立，而m>1，当－m－1≤－4，即m≥3时，函数h(t)在[－4,0]上单调递增, 解析：由题意有且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，解得m≤－2或m≥1.α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1.令f(m)＝4m2＋2m＋1，而f(m)图象的对称轴为m＝－，且m≤－2或m≥1，所以f(m)min＝f(1)＝7. $$