2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性（课件PPT）-【创新方案】2025年高考数学一轮总复习

函数的奇偶性、对称性与周期性 第三节 课标要求 1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. CONTENTS 目录 1 2 3 再认再现——课前基础落实 互动课堂——解题思维建模 即练即评——课堂效果评价 4 课时跟踪检测 再认再现——课前基础落实 01 1．函数的奇偶性 系统主干知识 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于_____对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且________________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于_____对称 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 原点 y轴 2．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_______________，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期． f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正数 3．函数的对称性 (1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)． ②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点______对称． (2)两个函数图象的对称 ①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于_____对称． ②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于_____对称． ③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于_____对称． (a,0) y轴 x轴 原点 细作教材小题 √ √ 2．(苏教版必修一P134·T8)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，则下列关系式中成立的是(　 ) A．f(－1)<f(－2) B．f(1)<f(2) C．f(－1)<f(2) D．f(－1)>f(2) √ 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称．又f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，即f(x)在对称轴处取最大值．所以自变量的值离对称轴越近，其函数值也越大．因为|－1|＝|1|<|－2|＝|2|，所以f(－1)＝f(1)>f(2)＝f(－2)． －2 5．(苏教版必修一P127·T5改编)设m为实数，函数f(x)＝x2＋mx＋1是偶函数，则m＝________. 0 互动课堂——解题思维建模 02 逐点清(一)　函数的奇偶性 例 1 题点1　函数奇偶性的判断 解：(1)原函数的定义域为{x|x≠2}，关于原点不对称，从而函数f(x)为非奇非偶函数． (2)由4－x2>0得－2<x<2， 即函数f(x)的定义域是{x|－2<x<2}，关于原点对称． 又f(－x)＝lg(4－(－x)2)＝lg(4－x2)＝f(x)， 因此函数f(x)是偶函数． (3)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (4)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数． 个性点拨　判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 例 2 题点2　函数奇偶性的应用 (求解析式)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则当x<0时，f(x)等于(　 ) A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1 C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1 √ 解析：当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1. 例 3 √ 例 4 √ 个性点拨　函数奇偶性的应用及解题策略 求函数值 将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出 求参数值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值 逐点清(二)　函数的周期性 例 5 √ 解析：因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)　①， 所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)　②. 由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0， 故f(x＋3)＋f(x)＝0， 所以f(x＋3)＝－f(x)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， 所以函数f(x)的一个周期为6. 在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中， 令x＝1，y＝0， 得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)， 所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1， 得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)， 所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)， 得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2， 例 6 函数f(x)满足f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则f(2 025)＝________. 解析：由f(x－2)＝f(x＋2)知f(x)的周期为4，故f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝1. 1 点拨·建模 函数周期性的应用特点 (1)求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． (轴对称)(2024·东北育才学校模拟)设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－3)与函数y＝f(1－x)的图象关于(　 ) A．直线x＝－1对称 B．直线x＝－2对称 C．直线x＝2对称 D．直线x＝1对称 逐点清(三)　函数的对称性 例 7 √ 解析：y＝f(1－x)的图象是函数f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到的，由于y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以y＝f(1－x)与y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称．y＝f(x－3)的图象是函数y＝f(x－1)的图象向右平移2个单位长度得到的，所以函数y＝f(x－3)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝2对称，故选C. 例 8 √ 点拨·建模 即练即评——课堂效果评价 03 逐点验收(一)　函数的奇偶性 √ √ √ 解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵g(x)是偶函数，∴g(－x)＝g(x)．∵f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，∴f(x)＋g(x)不是奇函数，A错误； ∵f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠－[f(x)－g(x)]，∴f(x)－g(x)不是奇函数，B错误； ∵f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，∴f(x)g(x)是奇函数，C正确； 3．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且为奇函数，若f(2)＝1，则满足－1≤f(x－1)≤1的x的取值范围是(　 ) A．[－2,2] B．[－1,3] C．[0,2] D．[1,3] 解析：f(x)是奇函数，故f(－2)＝－f(2)＝－1.又f(x)单调递增，－1≤f(x－1)≤1，所以f(－2)≤f(x－1)≤f(2)，则－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3. √ 4．(2023·邯郸三模)已知函数f(x)＝x2(a·2x－2－x)是奇函数，则a＝________. 1 逐点验收(二)　函数的周期性 √ √ 7．(2024·金华调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝________. 340 解析：因为f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6.于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1.而2 024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝337×1＋1＋2＝340. 8．(2024·郑州联考)[多选]已知f(x)为定义在R上的偶函数且f(x)不是常函数，F(x)＝f(1－x)－1，g(x)＝f(x＋1)－1，若g(x)是奇函数，则(　 ) A．y＝f(x)的图象关于(1,1)对称 B．f(x)＝f(x＋4) C．F(x)是奇函数 D．F(x)与g(x)关于原点对称 逐点验收(三)　函数的对称性 √ √ √ 解析：因为g(x)是奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，即f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，整理得f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以y＝f(x)的图象关于(1,1)对称，故A正确； 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＋f(x－2)＝f(x)＋f(2－x)＝2，所以f(x－2)＋f(x－4)＝2，f(x)＝f(x－4)，所以f(x)＝f(x＋4)，故B正确； F(x)＋F(－x)＝f(1－x)－1＋f(1＋x)－1＝0，故C正确； 因为F(－x)＝g(x)，所以F(x)与g(x)关于y轴对称，不关于原点对称，故D错误． 细节、微点提醒 (1)求奇函数解析式时，忽略x＝0的情况，会造成解析式缺失，特别地，奇函数要么在x＝0处没有定义，要么在x＝0处的函数值为0，即f(0)＝0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 3．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)＝2－f(2－x)＋f(2)，f(1)＝－1，则f(3)＝(　 ) A．0 B．2 C．4 D．5 解析：令x＝0，得f(2)＝2－f(2)＋f(2)，即f(2)＝2，所以f(x＋2)＋f(2－x)＝4，所以函数f(x)的图象关于(2,2)对称，因为f(1)＝－1，所以f(3)＝5. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 4．定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，若当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋9，则f(2 023)＝(　 ) A．－6 B．6 C．－8 D．8 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(2＋x)＝f(－x)．又f(－x)＝ －f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的函数．因此f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－8.故选C. 5．(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，则|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：法一：常规推导　∵f(x＋2)是偶函数,∴f(－x＋2)＝f(x＋2). ∵f(2x＋1)是奇函数，∴f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)．由F(x)＝f(2x＋1)是奇函数，可得F(0)＝f(1)＝0，∴f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0，其他几个选项不一定成立，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：因为f(1－x)＝－f(1＋x)，所以函数f(x)关于点(1,0)中心对称，D不正确； 因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，由f(1－x)＝－f(1＋x)⇒ f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，B不正确； 在f(1－x)＝－f(1＋x)中，令x＝0，得f(1)＝0，因为函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，C正确，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b是定义在区间[－2b，3b－1]上的偶函数，则函数f(x)的值域为________． 解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即a＝0.又f(x)的定义域为[－2b,3b－1]，∴－2b＋3b－1＝0，解得b＝1.∴f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，∴函数f(x)的值域为[1,5]． [1,5] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 9．设a∈R，已知函数f(x)的定义域是[－4,4]且为奇函数，f(x)在[0,4]单调递减．若f(a＋1)>f(2a)，则a的取值范围是__________． (1,2] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 10．设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2,4]上的解析式为_________________________. f(x)＝log2(5－x)，x∈[2,4] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：根据题意，设x∈[2,4]，则x－4∈[－2,0]，则有4－x∈[0,2]．当x∈[0,2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)．又f(x)是周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 所以y＝f(x)是周期函数， 且T＝3是其一个周期． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0， 且f(－1)＝－f(1)＝－2.又T＝3是y＝f(x)的一个周期， 所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 12．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x. (1)判断f(x)的奇偶性； (2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)． 又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x； 从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 二、创优训练，冲刺“双一流” 13．(2024·大连质检)[多选]若定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，且g(x)＝f(x)＋1，则下列结论一定成立的是(　 ) A．g(2)＝1 B．g(0)＝1 C．不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集为(－∞，0) D．g(－1)＋g(2)<2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：将y＝f(x－2)的图象向左平移两个单位长度即可得到函数y＝f(x)的图象，∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∵g(x)＝f(x)＋1，∴g(0)＝f(0)＋1＝1，故B正确； ∵y＝f(x－2)单调递减，∴f(x)单调递减，∴g(x)＝f(x)＋1单调递减，又g(0)＝1，则g(2)≠1，故A错误； ∵f(x＋1)>f(1－2x)，且f(x)单调递减，∴x＋1<1－2x，解得x<0，故C正确； g(－1)＋g(2)＝f(－1)＋f(2)＋2＝－f(1)＋f(2)＋2，∵f(1)>f(2)，∴g(－1)＋g(2)<2，故D正确． 14．已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 解析：因为函数y＝f(x)＋ex为偶函数， 所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex， 即f(x)－f(－x)＝e－x－ex①. 又因为函数y＝f(x)－3ex为奇函数， 所以f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex， 即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x②. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 15．已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝2，则f(2 025)＝________. 解析：由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．又由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为8的偶函数，∴f(2 025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)＝2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (2)∵f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 (3)∵f(x)是奇函数，从而不等式f(x2－2x)＋f(2x2－k)>0，等价于f(x2－2x)>－f(2x2－k)， 即f(x2－2x)>f(－2x2＋k)． 又f(x)是R上的增函数， 由上式得x2－2x>－2x2＋k， 即对一切x∈R都有3x2－2x－k>0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 4 2 1．(人教A版必修一P84·例6改编)[多选]下列给出的函数是奇函数的是(　 ) A．y＝x4 B．y＝ C．y＝x3＋1 D．y＝sin x 3．(人教A版必修一P203·T4改编)设函数f(x)(x∈R)是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2，则f的值为_______． 解析：f＝f＝f＝2＝. 4．(湘教版必修一P86·T6改编)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________. 解析：因为f(x)为奇函数，故f(－1)＝－f(1)＝－12－1＝－2. 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3＋； (2)f(x)＝lg(4－x2)； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝ (求参数值)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　 ) A．－1 B．0 C． D．1 解析：法一：设g(x)＝ln，易知g(x)的定义域为∪，且g(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B. 法二：因为f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，故选B. (求函数值)已知函数f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于(　 ) A．1 B．3 C．4 D．5 解析：根据题意f(a)＝sin a＋a3＋＋3＝1，即sin a＋a3＋＝－2， 所以f(－a)＝sin(－a)＋(－a)3＋＋3＝－＋3＝2＋3＝5. (2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝(　 ) A．－3 B．－2 C．0 D．1 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A. (中心对称)(2024·黔东南模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝6－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)等于(　 ) A．4m B．3m C．2m D．m 解析：由f(－x)＋f(x)＝6，即f(x)关于(0,3)对称，而y＝＝3＋也关于(0,3)对称，所以y＝与y＝f(x)在(0,3)两侧交点个数相同，且一侧交点在另一侧均有对称的交点存在，所以i＝0，yi＝×6＝3m，故(xi＋yi)＝3m.故选B. 对称性的3个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称． (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点对称． 1．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：法一：f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)－f(－x)＝－＝＝0.因为x不恒为0，所以ex－e(a－1)x＝0.所以a－1＝1，a＝2. 法二：因为f(x)＝＝，f(x)是偶函数，且y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D. 2．[多选]已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且g(x)≠0，则(　 ) A．f(x)＋g(x)是奇函数 B．f(x)－g(x)是奇函数 C．f(x)g(x)是奇函数 D．是奇函数 ∵＝－，∴是奇函数，D正确． 解析：因为f(x)＝x2(a·2x－2－x)为奇函数，且定义域为R，所以f(－1)＝－f(1)，即－2＝－，解得a＝1. 5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，且f(2)＝－1，则f(100)＝(　 ) A．－1 B．1 C．－3 D．3 解析：由f(x＋2)＝，可得f(x＋4)＝＝f(x)，所以f(x)的周期为4，则f(100)＝f(0)＝＝－3. 6．已知函数f(x)＝则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝(　 ) A． B．1 516 C． D．1 517 解析：由题意，在f(x)＝中，因为当x>0时，f(x)＝f(x－2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数．故f(2 023)＝f(2 021)＝…＝f(3)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝，f(2 022)＝f(2 020)＝…＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝20＝1.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝1 012×f(－1)＋1 011×f(0)＝1 012×＋1 011 ×1＝1 517.故选D. 9．(2023·全国乙卷，节选)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 解：存在．令g(x)＝f，由函数f(x)的解析式可得g(x)＝f＝(x＋a)ln，函数g(x)的定义域满足＋1＝>0， 即函数g(x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，定义域关于直线x＝－对称， 由题意可得b＝－，由对称性可知g＝g， 取m＝可得g(1)＝g(－2)， 即(a＋1)ln 2＝(a－2)ln， 则a＋1＝2－a，解得a＝，经检验a＝，b＝－满足题意， 故a＝，b＝－. 一、强基训练，提高自信心 1．若f(x)＝为奇函数，则a＝(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝＋＝24－4a＝0， 解得a＝6. 2．(2024·南昌模拟)函数f(x)＝的图象(　 ) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：由题意知f(x)的定义域为R，且f(x)＝＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称． 6．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，则(　 ) A．f＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 法二：特殊函数秒杀　由f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，可取f(x)＝cos，可得f(－1)＝0，其他几个选项均不成立，故选B. 7．(2024·南京模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x)＝ －f(1＋x)，则下列说法正确的是(　 ) A．f＝－f B．函数f(x)的一个周期为2 C．f(2 023)＝0 D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 因为函数f(x)是周期为4的偶函数，所以f＝f＝f，A不正确； 解析：∵函数f(x)的定义域是[－4,4]且为奇函数，f(x)在[0,4]单调递减，∴函数f(x)在[－4,0]单调递减，∴函数f(x)在[－4,4]单调递减． 又∵ f(a＋1)>f(2a)，∴解得1<a≤2. 11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立． (1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值． 解：(1)证明：由f＝－f， 且f(－x)＝－f(x)， 知f(3＋x)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)， 故f(x)＝ 2 由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2＝2， 当且仅当ex＝2e－x， 即当x＝ln 2时，等号成立， 故函数f(x)的最小值为2. 16．已知函数f(x)＝＋a(x∈R)，a为实数． (1)证明函数f(x)的单调性； (2)若f(x)为奇函数，求实数a的值； (3)在条件(2)下，若对任意的x∈R，不等式f(x2－2x)＋f(2x2－k)>0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)证明：∵f(x)＝＋a＝＋a＝a＋1－，在R上任取x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a＋1－－ ＝－＝. ∵x1<x2，∴0<2<2， ∴2－2<0,2＋1>0,2＋1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)． ∴f(x)为R上的增函数． 即＋a＝－， ∴－2a＝＋＝＋＝1， ∴a＝－. 从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－， ∴k的取值范围为. $$