第一章 集合与常用逻辑用语 单元检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语（单元检测卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设x∈N，且∈N，则x的值可能是(　　) A.0 B.1 C.－1 D.0或1 2.下列表述中正确的是(　　) A.{0}＝∅ B.{(1，2)}＝{1，2} C.{∅}＝∅ D.0∈N 3.命题p：“x2－3x－4＝0”，命题q：“x＝4”，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.“”是“＞0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∩Q＝(　　) A.{x|－1≤x＜3} B.{x|－1≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|x≥－1} 6.已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 7.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　) A.{0,1}　　　B.{0} C.{－1,2,3}　　D.{－1,0,1,2,3} 8.已知a，b，c是实数，下列命题结论正确的是(　　) A．“a2＞b2”是“a＞b”的充分条件 B．“a2＞b2”是“a＞b”的必要条件 C．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分条件 D．“|a|＞|b|”是“a＞b”的充要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9.下列说法错误的是(　　) A.在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy＞0} B.方程＋|y＋2|＝0的解集为{－2,2} C.集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的 D.若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则－1.1∈A 10.下列命题为真命题的是(　　) A.x＜0，使得|x|＞0 B.x≥0，都有|x|＝x C.已知集合A＝{x|x＝2k}，B＝{y|y＝3k}，则对于k∈N*，都有A∩B＝∅ D.x∈R，使得方程x2＋2x＋5＝0成立 11.已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是(　　) A.r是q的充要条件 B.p是q的充分不必要条件 C.r是q的必要不充分条件 D.r是s的充分不必要条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上． 12.已知“x≥2a－1”是“x≥3”的充分条件，则实数a的取值范围是________ 13.若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________ 14.设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x＋k≥0}，若(M)⊇(N)，则k的取值范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(14分）已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(A)∪B，A∩(B)，(A∪B)． 16.(15分）证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0． 17.(16分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|－1＋a≤x≤1＋a}，B＝{x|＞0} (1)若a＝3，求A∪B；(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 18.(16分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定： (1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0． 19.(16分）已知集合A＝{x|－a＜x＜2a－6}，B＝{x|(x＋1)(x－5)＜0}． (1)若a＝4，求A∩B；(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围． 参考答案及解析： 一、选择题 1.B　解析：∵－1N，∴排除C；0∈N，而无意义，排除A，D．故选B． 2.D　解析：由集合的性质可知，∅表示没有任何元素的集合，而{0}表示有一个元素0，故A错误；{(1，2)}表示有一个元素，是点的集合，而{1，2}表示有2个元素的集合，是数集，故B错误；∅表示没有任何元素的集合，而{∅}表示有一个元素∅，故C错误．故选D． 3.B　解析：根据题意，p：“x2－3x－4＝0”，即x＝4或x＝－1，则有若q：“x＝4”成立，则p：“x2－3x－4＝0”成立，反之若p：“x2－3x－4＝0”成立，则q：“x＝4”不一定成立，即p是q的必要不充分条件．故选B． 4.A　 5.A　解析：在数轴上表示两个集合，如图所示，可得P∩Q＝{x|－1≤x＜3}． 6.D 解析：用列举法表示集合A，得A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，则集合A的子集的个数为23＝8．故选D． 7.D 解析：由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}． 8.C　解析：对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2＞b2，但是a＜b，所以充分性不成立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但是a2＜b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|＞|b|成立，但是a＜b，所以充分性不成立，当a＝1，b＝－2时，满足a＞b，但是|a|＜|b|，所以必要性也不成立，故“|a|＞|b|”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选C． 二、选择题 9.BCD 解析：根据集合的概念易知A正确．B错误，方程的根为故其解集应写成{(2，－2)}．C错误，{(x，y)|y＝1－x}是由直线y＝1－x上的所有点组成的集合，{x|y＝1－x}是由符合y＝1－x的所有x的值构成的集合，二者不相等．D错误，由题意可知，A＝{－1,0,1}，∴－1.1∉A.故选B、C、D. 10.AB　解析：对于A，当x＜0时，|x|＝－x＞0，A正确；对于B，当x≥0时，|x|＝x，B正确；对于C，当k∈N*时，A∩B＝{x|x＝6k}，C错误；对于D，∵Δ＝4－20＝－16＜0，∴x∈R，方程x2＋2x＋5＝0都不成立，D错误．故选AB． 11.AB　 解析：由已知有p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，所以r⇒q且q⇒r，故A正确，C错误； p⇒q，B正确，r⇒s且s⇒r，D错误；故选AB． 三、填空题 12.答案：{a|a≥2}　 解析：由题意得x≥2a－1x≥3，故2a－1≥3，解得a≥2，故实数a的取值范围是{a|a≥2}． 13.答案：3 解析：当a，b同正时，＋＝＋＝1＋1＝2. 当a，b同负时，＋＝＋＝－1－1＝－2.当a，b异号时，＋＝0. ∴＋的可能取值所组成的集合中元素共有3个． 14.答案：{k|k≥1}　 解析：由(M)⊇(N)可知M⊆N，又N＝{x|x≥－k}， ∴－k≤－1，即k≥1，故k的取值范围是{k|k≥1}． 四、解答题 15.解：如图所示． ∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}， ∴A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，B＝{x|x<－3，或2<x≤4}． A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}． 故(A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(B)＝{x|2<x<3}，(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}． 16.证明：(充分性)因为ac＜0， 所以Δ＝b2－4ac＞0，＜0， 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根． 设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝＜0， 所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根． (必要性)因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根， 所以x1·x2＝＜0，所以ac＜0． 故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0． 17.解：(1)当a＝3时，A＝{x|2≤x≤4}， 由＞0，得(x－4)(x－1)＞0，即B＝{x|x＜1或x＞4}， ∴A∪B＝{x|x＜1或x≥2}． (2)已知A＝{x|－1＋a≤x≤1＋a}， 由(1)知B＝{x|x＜1或x＞4}． ∵A∩B＝∅且B≠∅，∴－1＋a≥1且1＋a≤4，解得2≤a≤3， ∴实数a的取值范围为{a|2≤a≤3}． 18.解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题； 又由于“任意”的否定为“存在一个”， 因此，p的否定：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立， 即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”． (2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题； 又由于“存在一个”的否定为“任意一个”， 因此，p的否定：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”． 19.解：(1)B＝{x|－1＜x＜5}，当a＝4时，A＝{x|－4＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}． (2)因为A∪B＝B，所以A⊆B． 当A＝∅时，－a≥2a－6，解得a≤2； 当A≠∅时，解得a∈∅． 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤2}． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$