必修第一册模块综合测评卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

模块综合测评卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合A={0,1,2,4,8},B={0,1,2,3},将集合A,B分别用如下图中的两个圆表示,则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是(　　) 2.设a>0,则“b>a”是“b2>a2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.[2024北京丰台高一期末]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,终边关于原点O对称.若角α的终边与单位圆☉O交于点P(,-),则cos β=(　　) A. B.- C. D.- 4.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(　　) A.(-,0) B.(0,) C.() D.() 5.函数y=的图象大致为(　　) 6.设函数f(x)=则f(log2)+f(3)=(　　) A.-1 B.5 C.6 D.11 7.定义在R上的奇函数f(x)满足:任意x1≠x2,都有>0,设a=-f(log2),b=f(log24.1), c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 8.[2023全国新高考Ⅰ]已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A. B. C.- D.- 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知a,b,c,d均为实数,下列不等关系推导不成立的是(　　) A.若a>b,c<d,则a+c>b+d B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若a>b>0,c>d>0,则 D.若bc-ad>0,>0,则ab<0 10.设函数f(x)=4sin(2x+)+1的图象为C,则下列结论中正确的是(　　) A.图象C关于直线x=-对称 B.图象C关于点(-,0)对称 C.函数f(x)在[-]上单调递增 D.把函数f(x)=4sin(x+)+1的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)可以得到图象C 11.已知函数f(x)=若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=-1 B.x3x4=1 C.1<x4<2 D.0<x1x2x3x4<1 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=2x(x+4),则函数f(x)在R上的表达式为　　　　　.  13.已知正数m,n满足2m+3n-mn=0,则2m+3n的最小值为　　　　　.  14.[2023全国新高考Ⅰ]已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)[2024河南高一期末]已知tan α=-.求: (1); (2)sin2α-3sin αcos α+1的值. 16.(15分)[2024江苏镇江高三期中]已知集合A=,集合B={x|x2-2x-m2+1<0}. (1)若m=2,求(∁RA)∩B; (2)若　　　　　,求实数m的取值范围.  在以下两个条件中任选一个补充在第(2)问中,并给出解答. ①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;②A∩B=B. 17.(15分)[2024广东惠州]疫情过后,惠州市某企业为了激励销售人员的积极性,实现企业高质量发展,其根据员工的销售额发放奖金(奖金和销售额单位都为十万元),奖金发放方案同时具备两个条件:①奖金f(x)随销售额x(2≤x≤8)的增加而增加;②奖金不低于销售额的5%(即奖金f(x)大于等于x·5%).经测算,该企业决定采用函数模型f(x)=+b (a>0,b>0)作为奖金发放方案. (1)若a=b=,此奖金发放方案是否满足条件?并说明理由. (2)若b=,要使奖金发放方案满足条件,求实数a的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断当x∈(-1,1)时,函数f(x)的单调性,并用定义证明; (3)若f(t2-1)<-f(t)恒成立,求t的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=2sin(x+)sin(-x)+2cos2(x-)-1,x∈R. (1)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a(a>0)对称,求a的最小值; (2)若函数g(x)=f(x)-log2m在[0,]上有零点,求实数m的取值范围. 参考答案 1.B　对于A,阴影部分表示的集合为A∩B={0,1,2},元素个数为3,故A错误;对于B,阴影部分表示的集合为{4,8},元素个数为2,故B正确;对于C,阴影部分表示的集合为{3},元素个数为1,故C错误;对于D,阴影部分表示的集合为{4,8,3},元素个数为3,故D错误.故选B. 2.A　由于a>0,当b>a时,b2>a2.当b2>a2时,b可能是负数,因此不能得出b>a.故“b>a”是“b2>a2”的充分不必要条件.故选A. 3.B　角α与角β终边关于原点O对称,且若角α的终边与单位圆☉O交于点P(,-), 所以角β的终边与单位圆☉O交于点(-),故cos β=-.故选B. 4.C　因为函数f(x)=ex+4x-3在R上连续单调递增, 且 所以函数的零点在区间()内.故选C. 5.A　函数的定义域为{x|x≠0},易得该函数为奇函数,可排除C,D, 又y==1+,其在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,故选A. 6.B　∵log2<0,∴f(log2)+f(3)=+f(2-3)=+f(-1)=3+21=5.故选B. 7.C　因为任意x1≠x2,都有>0, 所以f(x)在R上单调递增, a=f(-log2)=f(log25). 因为log25>log24.1>log24=2>20.8, 所以f(log25)>f(log24.1)>f(20.8), 即c<b<a.故选C. 8.B　由题意,∵sin(α-β)=,cos αsin β=, ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sin αcos β-,解得sin αcos β=. ∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=, ∴cos(2α+2β)=cos [2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×()2=.故选B. 9.ABD 10.AC　对于A,函数f(x)=4sin(2x+)+1的对称轴方程为2x++kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),当k=-1时可得x=-,所以图象C关于直线x=-对称,故正确. 对于B,函数f(x)=4sin(2x+)+1的对称中心为2x+=kπ(k∈Z),解得x=-(k∈Z), 当k=0时可得x=-,所以图象C关于点(-,1)对称,而不是关于点(-,0)对称,故错误. 对于C,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 当k=0时,-≤x≤,所以函数f(x)在[-]上单调递增,故正确. 对于D,把函数f(x)=4sin(x+)+1的图象上点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得到函数4sin(2x+)+1的图象,不是图象C,故错误. 综上,AC正确. 11.BCD　画出函数f(x)的大致图象如图,得出x1+x2=-2,-log2x3=log2x4,则x3x4=1,故A错误,B正确;由图可知1<x4<2,故C正确;因为-2<x1<-1,x1x2=x1(-2-x1)=--2x1=-(x1+1)2+1∈(0,1),所以x1x2x3x4=x1x2∈(0,1),故D正确. 12.f(x)=　当x<0时,-x>0,故f(-x)=-2x(-x+4)=2x(x-4),所以f(x)=f(-x)=2x(x-4),所以f(x)= 13.24　由正数m,n满足2m+3n-mn=0,可得=1, 所以2m+3n=(2m+3n)()=+12≥2+12=24, 当且仅当=1,即m=6,n=4时取等号,所以2m+3n的最小值为24. 14.[2,3)　由题意可知,要使函数f(x)=cos ωx-1在[0,2π]上有且仅有3个零点,即函数y=cos ωx的图象在[0,2π]上有且仅有3个最高点,设y=cos ωx的最小正周期为T,如图(草图), 要满足题意,需要2T≤2π<3T,即<T=≤π,解得2≤ω<3. 15.解 (1)=-. (2)sin2α-3sin αcos α+1=sin2α-3sin αcos α+(sin2α+cos2α) ==2. 16.解 (1)≥1,-1=≥0,则解得0≤x<2,故A={x|0≤x<2}. 因为m=2,所以集合B={x|x2-2x-3<0},x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3, 所以B={x|-1<x<3},所以∁RA={x|x<0或x≥2},(∁RA)∩B={x|-1<x<0或2≤x<3}. (2)若选①,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则A是B的真子集. 而x2-2x-(m-1)(m+1)<0⇒(x+m-1)(x-m-1)<0,显然m≠0,否则B=⌀. 当m>0时,B={x|1-m<x<m+1},所以⇒m>1. 当m<0时,B={x|m+1<x<1-m},所以⇒m<-1. 综上,m的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞). 若选②,因为A∩B=B,所以B⊆A. ①若m=0,则B=⌀,符合. ②若m>0,则B={x|1-m<x<m+1},所以⇒0<m≤1. ③若m<0,则B={x|m+1<x<1-m},⇒-1≤m<0. 综上,实数m的取值范围为[-1,1]. 17.解 (1)f(x)=,因为y=在[2,8]上单调递增,y=-在[2,8]上单调递增, 所以f(x)=在[2,8]上单调递增,所以①满足. 对于②,f(x)=≥5%·x,即, 整理可得x2-2x+2≤0, 又x2-2x+2=(x-1)2+1>0,则不满足②的条件. 故a=b=不满足条件. (2)当b=时,函数f(x)=,因为a>0, 由(1)知f(x)在[2,8]上单调递增,奖金发放方案满足条件①. 由条件②可知f(x)≥,即在[2,8]上时恒成立, 所以a≤-x2+x=在x∈[2,8]时恒成立. y=在x∈[2,8]上单调递增, 当x=2时,取得最小值,∴a≤, ∴要使奖金发放方案满足条件,a的取值范围为(0,]. 18.解 (1)函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,则f(0)=b=0,f()=,解得a=2, 故f(x)=.x∈(-1,1)时,f(-x)==-f(x),函数为奇函数,综上所述,f(x)=. (2)当x∈(-1,1)时,函数f(x)单调递增, 设-1<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=, 因为-1<x1<x2<1,故(+1)(+1)>0,x2-x1>0,1-x1x2>0,故f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1), 故f(x)在(-1,1)上单调递增. (3)f(t2-1)<-f(t),即f(t2-1)<f(-t), f(x)在(-1,1)上单调递增,故解得t∈(-1,0)∪(0,). 19.解 (1)f(x)=2sin(x+)sin(-x)+2cos2(x-)-1 =2sin(x+)cos(x+)+2cos2(x-)-1 =sin(2x+)+cos(2x-)=cos 2x+sin 2x=2sin(2x+), 由2x++kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z, 即函数的对称轴为x=,k∈Z. ∵y=f(x)的图象关于直线x=a(a>0)对称, ∴当k=0时,a有最小值. (2)若函数g(x)=f(x)-log2m在[0,]上有零点,即g(x)=f(x)-log2m=0在[0,]上有解, 即f(x)=log2m在[0,]上有解, 当0≤x≤≤2x+,即-≤sin(2x+)≤1,-1≤2sin(2x+)≤2, 由-1≤log2m≤2,解得≤m≤4,故实数m的取值范围是[,4]. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$