第五章三角函数章末综合测评卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章　三角函数 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列转化结果错误的是(　　) A.60°化成弧度是 B.-150°化成弧度是- C.-化成角度是-600° D.化成角度是15° 2.sin 40°sin 50°-cos 40°cos 50°等于(　　) A.0 B.1 C.-1 D.-cos 10° 3.已知角θ终边经过点(3,-4),则等于(　　) A. B.- C. D.- 4.[2024北京高一期末]《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题,如图所示,弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分,若弧田所在圆的半径为2,圆心角为,则此弧田的面积为(　　) A. B.-2 C. D.-2 5.若把函数y=f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度,沿y轴向下平移1个单位长度,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y=sin x的图象,则y=f(x)的解析式为(　　) A.y=sin(2x-)+1 B.y=-cos 2x+1 C.y=sin(x+)-1 D.y=cosx-1 6.若0<α<<β<π,且cos β=-,sin(α+β)=,则sin α的值是(　　) A. B. C. D. 7.[2024四川宜宾高一期末]已知cos(+75°)=,则cos(α-30°)的值为(　　) A. B.- C. D.- 8.[2024宁夏银川高三阶段练习]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>1,|φ|≤),其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π,若f(x)>1对于任意的x∈(-)恒成立,则φ的取值范围是(　　) A.[] B.[] C.[] D.(] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的是(　　) A.角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是tan θ<0 B.若某扇形的弧长为,圆心角为,则该扇形的半径是2 C.经过4小时时针转了120° D.若角α与β终边关于y轴对称,则α+β=+2kπ,k∈Z 10.已知函数f(x)=2sin(2x-)+1,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点(,0)对称 B.函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=- C.若x∈[],则函数f(x)的最小值为+1 D.若0<x1<x2<π,则f(x1)<f(x2) 11.已知函数f(x)=tan(2ωx-)(ω>0)的最小正周期是,则(　　) A.ω=2 B.f(-)>f() C.f(x)的图象的对称中心为(,0)(k∈Z) D.f(x)在区间()上单调递增 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若tan α=,则tan(-α)=　　　　　,tan 2α=.  13.已知函数f(x)满足以下两个条件:(1)函数的周期是π;(2)在区间[0,]上单调递增. 满足上述条件的f(x)=　　　　　　　　.  14.函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度,所得图象关于原点对称,则φ的值为　　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知<α<π,sin α=. (1)求的值; (2)求cos 2α+sin(α+)的值. 16.(15分)已知函数f(x)=. (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递减区间. 17.(15分)已知函数f(x)=2cos2(+x)-2sin(π+x)cos x-. (1)当x∈[]时,求f(x)的最大值和最小值,以及相应x的值; (2)若f(x0-)=,x0∈[,π],求sin 2x0的值. 18.(17分)已知函数f(x)=sin(2ωx+)(ω>0),其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,其恰好经过点 (-,0),求当m取得最小值时,g(x)在[-]上的单调递增区间. 19.(17分)已知函数f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx+m(ω>0,m∈R).再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f(x)的解析式的两个作为已知条件. 条件①:函数f(x)的最小正周期T为π; 条件②:函数f(x)的图象经过点(0,); 条件③:函数f(x)的最大值为. (1)求函数f(x)的解析式及最小值; (2)若函数f(x)在区间[0,t](t>0)上有且仅有1个零点,求t的取值范围. 参考答案 1.B　60°=60×,-150°=-150×=-,-=-×180°=-600°, ×180°=15°.故选B. 2.A　sin 40°sin 50°-cos 40°cos 50°=-cos(40°+50°)=0. 3.C　由三角函数的定义可得tan θ=-,因此=-. 4.A　由弧田所在圆的半径为2,圆心角为,如图所示,过点O作OD⊥AB,垂足为D,可得|OD|=|OA|cos=1,|AB|=2|OA|sin=2,可得扇形的面积为S1=×22=,△AOB的面积为S△AOB=×2×1=,所以此弧田的面积为S=S1-S△AOB=.故选A. 5.B　把函数y=sin x图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变),得到y=sin 2x的图象,沿y轴向上平移1个单位长度,得到y=sin 2x+1的图象,沿x轴向右平移个单位长度,得到函数y=sin[2(x-)]+1=sin(2x-)+1=-cos 2x+1的图象. 6.C　由题知<β<π,cos β=-,所以sin β=,又0<α<<β<π,所以<α+β<, 又sin(α+β)=,所以cos(α+β)=-=-, 所以sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=×(-)+. 7.A　因为cos(+75°)=, 所以cos(150°+α)=2cos2(75°+)-1=2×()2-1=-, 所以cos(30°-α)=cos[180°-(150°+α)]=-cos(150°+α)=-(-)=.故选A. 8.C　∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,令f(x)=-1,可得sin(ωx+φ)=-1, 由于f(x)的图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π, ∴T==π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ)+1. 若f(x)>1对任意x∈(-)恒成立,则当x∈(-)时,sin(2x+φ)>0, 因此k∈Z,解得2kπ+≤φ≤2kπ+,k∈Z. ∵|φ|≤,∴≤φ≤,即φ∈[].故选C. 9.AB　对于A,若角θ终边在第二象限或第四象限,则tan θ<0,充分性成立. 若tan θ<0,则角θ终边在第二象限或第四象限,必要性成立,所以角θ终边在第二象限或第四象限是tan θ<0的充要条件,故A正确; 对于B,由弧度数公式|α|=,得r=,即r=2,故B正确; 对于C,经过4小时时针转了-×360°=-120°,故C错误; 对于D,若角α与β终边关于y轴对称,则α+β=π+2kπ,k∈Z,故D错误.故选AB. 10.BC　令2x-=kπ(k∈Z),知函数f(x)的图象关于点(,1) (k∈Z)对称,所以A不成立; 令2x-+kπ(k∈Z),知函数f(x)的图象关于直线x=(k∈Z)对称, 当k=-1时,x=-,所以B成立; 若x∈[],则2x-∈[],函数f(x)的最小值为+1,所以C成立; 由于当0<x<π时,-<2x-,易知f(x)不具有单调性,所以D不成立.故选BC. 11.BCD　因为函数f(x)=tan(2ωx-)(ω>0)的最小正周期是,所以T=. 又ω>0,得ω=1,所以f(x)=tan(2x-),故选项A错误. 易知f(-)=tan(-)=-tan,f()=tan=-tan.又0<, 由y=tan x的性质知,tan<tan,所以f(-)>f(),故选项B正确. 由2x-(k∈Z),得到x=(k∈Z), 所以f(x)=tan(2x-)的对称中心为(,0)(k∈Z),故选项C正确. 当x∈()时,2x-∈(0,). 由y=tan x的性质知,f(x)在区间()上单调递增,故选项D正确.故选BCD. 12.　由题意知tan(-α)=,tan 2α=. 13.f(x)=|sin x|(答案不唯一) 14.　∵函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π, ∴ω==2,即f(x)=cos(2x+). 将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位长度, 所得函数为g(x)=cos[2(x+φ)+]=cos(2x+2φ+), ∵所得函数图象关于原点对称,∴2φ+=kπ+,k∈Z,即φ=,k∈Z.又0<φ<,∴φ=. 15.解 (1)∵<α<π,且sin α=,∴cos α=-, ∴tan α=-. . (2)cos 2α+sin(α+)=1-2sin2α+cos α=1-2×=-. 16.解(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. 因为f(x)==2cos x(sin x-cos x)=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1, 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)令2kπ+≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z), 得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). 17.解 (1)由题得,f(x)=2cos2(+x)-2sin(π+x)cos x-3 =2sin2x+2sin xcos x-=2sin xcos x-(1-2sin2x)=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-). ∵≤x≤,令t=2x-∈[]. 当t=,即x=时,(sin t)min=sin,此时f(x)min=1; 当t=,即x=时,(sin t)max=sin=1,此时f(x)max=2. (2)∵f(x0-)=2sin[2(x0-)-]=2sin(2x0-)=, ∴sin(2x0-)=. ∵≤x0≤π,∴≤2x0-, ∴cos(2x0-)=-=-, sin 2x0=sin[(2x0-)]=sin(2x0-)cos+cos(2x0-)sin×(-)-=-. 18.解 (1)由已知得函数f(x)的周期T=π,即=π,解得ω=1,∴f(x)=sin(2x+). (2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到g(x)=sin(2x+2m+)的图象. 又函数g(x)的图象经过点(-,0),∴sin[2×(-)+2m+]=0,即sin(2m-)=0, ∴2m-=kπ,k∈Z,∴m=,k∈Z. ∵m>0,∴当k=0时,m取得最小值,即mmin=,此时g(x)=sin(2x+). 又-≤x≤,∴≤2x+. 当≤2x+,即-≤x≤-时,函数g(x)单调递增; 当≤2x+,即≤x≤时,g(x)单调递增, ∴g(x)在[-]上的单调递增区间为[-,-],[]. 19.解 (1)由题可知,f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx+m =sin 2ωx+cos 2ωx+m+=sin(2ωx+)+m+. 选择①②: 因为T==π,所以ω=1. 因为f(0)=1+m=,所以m=-, 所以f(x)=sin(2x+). 当2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z时,f(x)取得最小值,且最小值f(x)=-1. 选择①③: 因为T==π,所以ω=1. 因为函数f(x)的最大值为1+m+, 所以m=0, 所以f(x)=sin(2x+)+. 当2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z时,f(x)取得最小值,且最小值f(x)=-1+=-. 选择②③: 因为f(0)=+m+,所以m=-. 因为函数f(x)的最大值为1+m+, 所以m=0. 因为m的取值不可能有两个,所以无法求出解析式,故不能选②③作为已知条件. (2)选择①②: 由(1)知f(x)=sin(2x+),令sin(2x+)=0, 则2x+=kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z. 当k=0,1,2时,函数f(x)的零点分别为-. 由于函数f(x)在区间[0,t]上有且仅有1个零点, 所以≤t<,即t的取值范围是[). 选择①③: 由(1)知f(x)=sin(2x+)+,令sin(2x+)+=0, 则2x+=2kπ+,k∈Z,或2x+=2kπ+,k∈Z, 所以x=kπ+,k∈Z,或x=kπ+,k∈Z. 当k=0时,函数f(x)的零点分别为; 当k=-1时,函数f(x)的零点分别为-,-. 由于函数f(x)在区间[0,t]上有且仅有1个零点,所以≤t<,所以t的取值范围是[). 3 学科网（北京）股份有限公司 $$