第2讲 勾股定理的实际应用-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

第2讲 勾股定理的实际应用 教学目标:利用勾股定理及逆定理知识解决简单实际问题。 教学重点:勾股定理的实际问题抽象成数学问题，例题图形转化为平面图形。 教学难点:勾股定理的应用，熟练掌握常考类型。 专题一 路径最短问题 1、 两点之间______最短 2、 ( C ) ( A ) ( D )立体图形_______图形直角三角形问题（如图） ( B ) ( C ) ( D ) ( C ) ( A ) ( D ) ( C B ) ( B ) ( A ) B ( B ) ( B ) ( B ) ( A ) ( A ) ( A ) 一、路径最短问题（圆柱） 例1：在一个圆柱石凳上，地面直径为40cm，高为60cm。若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？最短路程是多少？ 变式练习1：如图，一圆柱高8cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是多少？ 例2：在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为　 　cm．（结果保留π） 变式练习2：（1）某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少　 　米． （2）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是　 　尺． （3）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为　 　m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数） 二、路径最短问题（长方体） 例3：如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　） A．（）cm B． C． D．9cm 变式练习3：（1）如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方一边AB的中点P出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点C′处的最短路径是（　　） A． B． C． D． （2）如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要多少？ 例4：如图是一个长为8m，宽为6 m，高为5 m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（　　） A．m B．m C．5m D．13m 变式练习4：（1）如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是（　　） A．40cm B．20cm C．20cm D．10cm （2）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少？ 专题二：利用勾股定理测距 例5：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高． 变式练习5：如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水的深度是_______尺． 例6：如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了500m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点． （1）求A、C两点之间的距离； （2）确定目的地C在营地A的什么方向？ 变式练习6：如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海城，我海军甲、乙两艘巡逻舰立即从相距5 n mile的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻舰的速度为40 n mile/h，乙巡逻舰的速度为30 n mile/h,且乙巡逻舰的航向为北偏西37°，求甲巡逻舰的航向。 例7：如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　cm． 变式练习7：（1）如图，把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD，N是斜边AC上一动点． （1）若E、F为AC的三等分点，求证：∠ADE=∠CBF； （2）若M是DC上一点，且DM=2，求DN+MN的最小值； （2）如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的和最小值为__________ 例8：某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 变式练习8：（1）如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的途度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km． （1）如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ （2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（结果精确到0.01h） （2）今年第23号台风“菲特”重创浙江，余姚城区70%的面积被淹，余姚市（点A）接到台风警报时，台风中心位于市南偏东30°方向300km的B处，台风正以30km/h的速度沿BC方向（北偏西60°）移动． （1）问经过多长时间，余姚城区受台风影响最大？ （2）如果在距台风中心200km的圆形区域内部将受到台风的影响，那么余姚市（点A）受到台风影响的持续时间是多长？ 例9：如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　 　cm． 变式练习9：（1）如图，把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD，N是斜边AC上一动点． （1）若E、F为AC的三等分点，求证：∠ADE=∠CBF； （2）若M是DC上一点，且DM=2，求DN+MN的最小值； （2）如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的和最小值为 。 课后作业 1、如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　　） A． （3+8）cm B．10cm C．14cm D．无法确定 2、一根电杆在离地面3米处断裂，电杆顶部落在离旗杆底部5米处，电杆折断之前的高度是（　　）米． A．4 B．7 C．3+ D． 3、如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了 米． 4、如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行　 　米． 5、暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？ 6、如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为200cm、30cm、20cm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短的路程是（　　）cm． A．150cm B．200cm C．300cm D．250cm 7、有一块土地形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块地的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$