第1讲 勾股定理综合应用-2024-2025学年八年级数学上册（北师大版）

第1讲 勾股定理综合运用 教学目标：应用勾股定理及直角三角形的判别条件（勾股定理逆定理）解决简单的实际问题，结合方程思想求解直角三角形三边等。 教学重点：折叠与方程思想、勾股定理与等面积法、含有线段平方项的证明、直角三角形的证明、旋转问题。 教学难点：旋转问题。 考点一 ：折叠与三角形性质 例1. 如图所示，有一块直角三角形纸片，直角边AC=6cm，直角边BC=8cm，现在将直角边AC沿着AD所在的直线折叠，使得C点落在斜边AB上的点E处，试求CD的长。 变式练习1：（1）如图，在△ABC中∠B=22.5°，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于点D，。 （2）如图所示，一张直角三角形的纸片ABC，AC=6cm，BC=8cm沿着DE折叠后，恰好点B和点A重合，（1）BE的长；（2）CD的长 方法总结：做三角形的折叠，看清楚折叠的位置，找准折叠前后的对应角对应边沿着边折叠注意是否形成直角，等腰三角形底边上的高为折叠为折叠位置，等特殊性质会成为我们解决这类问题的突破口。三角形中连接边的中垂线与另一边的中点，其实也可以转化为折叠问题。角平分线也可以建立折叠模型. 考点二：折叠与四边形性质 例2. 如图，把矩形ABCD沿着直线BD向上折叠，使得点C落在的位置上，已知AB=3，BC=7，求：（1）AE的长（2）△BDE的面积 变式训练2：把一张矩形纸片ABCD按照如图所示的方式折叠，使得顶点B和顶点D重合，折痕为EF，若AB=3cm，BC=5cm，重叠部分DEF的面积。 方法总结：矩形的翻折利用好矩形的性质，对边平行，矩形的每个内角等于90°等特殊条件！翻折前后的对应边和对应角，翻折前后两边形成了等腰三角形，翻折前后对应点的连线与对称轴垂直。这些概念都是我们解决问题的突破口，请大家务必谨记。 考点三：等面积法 例3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=6m，AC=8cm，你会求斜边上的高吗？ ⑴利用　 　 定理，可求出AB=　 cm； ⑵利用等面积法可知S△ABC = = = cm2； ⑶可求出斜边上的高CD = cm。 变式训练3：（1）大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，P是底边BC上的任意一点，P到腰AB、AC的距离分别为h1、h2． 1、请你结合图形来证明：h1+h2=h； 2、当点P在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请写出这个结论并证明。 （2）如图，在△ABC中，AB=3cm,BC=4cm，D为BC中点，E为AB中点，且AD⊥CE，垂足为F，求AC的长。 （3） 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：． 证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC= ∵S=S+S=． 又∵S=S+S= ∴= ∴ 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：． 证明：连结 ，过 ，则 ， ∵S= ， 又∵S= ， ∴ ， ∴ ． 考点四：见到平方项，联想勾股定理 例4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为E，求证：. 变式训练4:（1）如图，已知：在△ABC中，CD是AB边上的高，且，求证：△ABC是直角三角形。 （2）如图，在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于点D，，AE⊥BC于E，求的值。 方法总结：证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过做垂线的方法，构造直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件。 考点五：勾股数 —— 一定是整数，并且三角形的满足勾股数对应的比例也可以构成直角三角形 例5.线段是的三边，则他们边长可能是（ ） 变式训练5：在下列长度为三角形的边长的线段中，不能组成直角三角形的是（ ） 方法总结：在形成三角形的过程中我们发现，只要满足勾股数或者勾股数的比值的边长，这样的三角形它必然是直角三角形，其中勾股数一定是整数。 比如：勾股数组①（3、4、5）；6、8、10；9、12、15；12、16、20； 勾股数组②（5、12、13）；10、24、26； 勾股数组③（7、24、25）； 勾股数组④（8、15、17）； 勾股数组⑤（9、40、41）； 勾股数组⑥（11、60、61）；……还有很多勾股数大家就自己去发现吧！ ***除了勾股数还有一些常见的边的比值也能构成直角三角形，也需要大家深刻记忆：；；； 考点六：直角三角形的证明（勾股定理逆定理） （一）利用三边的数量关系说明直角 例6：如图，在正方形ABCD中，点F为CD的中点，E为BC上一点，.求证：. 变式训练6：如图所示，在△ABC中，AC=8cm，BC=6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE=12cm，△ABE的面积S=60cm2．求证：∠C=90°。 （二）利用转化为三角形法构造直角三角形 例7.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，求四边形ABCD的面积。 变式训练7：（1）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，CB⊥AB，AD=10，BC=15，AB=25，点E在直线AB上运动； （1）求线段CD的长； （2）当EC=ED时，求证：EC⊥ED.（提示：用勾股定理构造方程） （2） 如图，在△ABC中，D为BC边上的中点，AB=5，AD=6，AC=13. 试说明：AB⊥AD。 考点七：旋转问题 例8.如图，在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M、N，使∠MCN=45°，设AM=m,MN=x，BN=n，试判断以x，m，n为边长的三角形的形状。 变式训练8：（1）、如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，且AD=4，BD=3，CD=5. （1） 判断△DEC的形状，并说明理由； （2） 求∠ADB的度数。 （2）、已知△ABC中，AB=AC。 1、如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE； 2、如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长； 课后作业 1．（1）如图1，已知AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则∠EBC等于　 　度． （2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边AC=3，BC=4，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长． 2．小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： （1）如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长． （2）如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=5cm，BC=12cm，求CD的长． 3．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，E为AC的中点，DF⊥AB，垂足为点F，求DE、DF的长． 4．平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）探究发现 如图（1），P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的度数． 解：将△APC绕点A旋转到△APB′的位置，连接PP′，则△APP′是　 　三角形． ∵PP′=PA=3，PB=4，PB′=PC=5， ∴P'P2+PB2=P'B2∴△BPP′为　 　三角形．∴∠APB的度数为　 　． （2）类比延伸 在正方形ABCD内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长； 5.如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN，试说明：   1 学科网（北京）股份有限公司 $$