2024年九年级中考数学专项复习讲义 函数与图象、正比例函数、一次函数

专题07 函数与图象、正比例函数、一次函数 考点解读 中考中，主要以选择题、填空题和解答题形式出现，主要考查一次函数的图象与性质，确定一次的数的解折式，一次函数与方程（组）、不等式的关系．一次函数与二次函数、反比例函数综合也是中考重点之一． 【考纲要求】 1．结合具体情景体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式． 2．利用待定系数法确定一次函数的表达式． 3．根据一次函数画出图象，探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况． 4．体会一次函数与二元一次方程的关系． 考 向 目 录 考向01 函数的自变量取值范围 考向02 函数解析式及函数值 考向03 函数的图象 考向04 动点问题的函数图象 考向05 一次函数的图象和性质 考向06 一次函数图象与几何变换 考向07 用待定系数法确定一次函数解析式 考向08 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系 01 函数的自变量取值范围 揭秘 母题 【母题1】函数的自变量的取值范围是　　 A． B． C．且 D． 【母题2】函数中，自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【母题3】在函数中，自变量的取值范围是 　 　． 方法技巧 函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况综合时，自变量的取值范围一定要满足每一种情况，不要出现遗漏． 02 函数解析式及函数值 揭秘 母题 【母题1】已知一个函数的因变量与自变量的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是　　 0 1 2 0 2 4 A． B． C． D． 【母题2】汽车油箱中有汽油．如果不再加油，那么油箱中的油量（单位：随行驶路程（单位：的增加而减少，平均耗油量为．当时，与的函数解析式是　　 A． B． C． D． 方法技巧 （1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是一种对应关系，是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的． （2）一个函数的函数值一般是随着自变量的变化而变化的． （3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可． 03 函数的图象 揭秘 母题 【母题1】已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是　　 A． B． C．D． 【母题2】如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是　　 A． B． C． D． 【母题3】折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次的折返跑，用时．在整个过程中，他的速度大小随时间变化的图象可能是　　 A． B． C． D． 方法技巧 （1）函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式． （2）满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上． （3）利用函数国象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势． 04 动点问题的函数图象 揭秘 母题 【母题1】如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是　　 A． B． C． D． 【母题2】如图1，点从等边三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点．设点运动的路程为，图2是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形的边长为　　 A．6 B．3 C． D． 【母题3】如图，正方形的边长为4，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是　　 A． B． C． D． 方法技巧 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 05 一次函数的图象和性质 揭秘 母题 【母题1】关于一次函数，下列说法正确的是　　 A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．函数值随自变量的增大而减小 D．当时， 【母题2】已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【母题3】在同一平面直角坐标系中，函数和为常数，的图象可能是 　　 A．B．C． D． 方法技巧 直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的．k决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越缓；b决定直线与y轴交点的位置，b>0，直线交y轴上方，b<0，直线交y轴下方．若两直线的k相同，则两直线互相平行． 06 一次函数图象与几何变换 揭秘 母题 【母题1】将直线向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【母题2】在平面直角坐标系中，直线为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为　　 A． B．3 C． D．6 【母题3】在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为　　 A． B． C． D． 方法技巧 1．平移变换 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． 直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上（b>0时）或向下（b<0时）平移|b|个单位长度得到． 2．对称变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 07 用待定系数法确定一次函数解析式 揭秘 母题 【母题1】象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为　　 A． B． C． D． 【母题2】如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【母题3】在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的值． 方法技巧 运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设：设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0）； （2）代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代人解析式得到关于k，b的二元一次方程组； （3）解：解方程组，求出k，b的值； （4）回代：将求出的k，b的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式． 08 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系 揭秘 母题 【母题1】如图，直线过点，，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【母题2】直线过点，，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【母题3】如图，直线与直线交于点．当时，的取值范围是 　　． 方法技巧 1．一次函数与一元一次方程： 方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时x的值； 方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 2．一次函数与一元一次不等式 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，能直观地看到怎样用图形来表示不等式的解集，体现了数形结合和转化思想的应用． 模拟 中考 一、选择题 1．如图，将一圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则水杯内水面的高度（单位：与注水时间（单位：的函数图象大致为　　 A． B． C．D． 2．如图矩形中，，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点向对角线作垂线，垂足为，设，的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是　　 A． B． C． D． 3．如图，某通信公司就使用宽带网推出了、、三种月收费方式，这三种收费方式每月上网时间与所需费用（元的函数关系如图所示，则下列判断错误的是　　 A．每月上网时间不足时，选择方式最省钱 B．每月上网费用为70元时，方式上网时间比方式多 C．每月上网时间为时，选择方式最省钱 D．每月上网时间超过时，选择方式最省钱 4．下表反映的是某地区电的使用量（千瓦时）与应缴电费（元之间的关系： 用电量（千瓦时） 1 2 3 4 5 应缴电费（元 0.55 1.1 1.65 2.2 2.75 以下说法错误的是　　 A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元 C．若用电量为8千瓦时，则应缴电费4.4元 D．若所缴电费为3.75元，则用电量为7千瓦时 5．如图，菱形中，，，点，分别是边，的中点，动点从点出发，按逆时针方向，沿，，匀速运动到点停止，设的面积为，动点运动的路径总长为，能表示与函数关系的图象大致是 　　 A． B． C． D． 6．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是　　 A．甲种消费卡为20元次 B． C．点的坐标为 D．洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游泳馆消费，选择甲种消费卡划算 7．一次函数的图象过点，，，，，，则　　 A． B． C． D． 8．在全民健身越野比赛中，乙选手匀速跑完全程，甲选手1.5小时后的速度为每小时10千米，甲、乙两选手的行程（千米）随时间（时变化的图象（全程）如图所示．下列说法： ①起跑后半小时内甲的速度为每小时16千米； ②第1小时两人都跑了10千米； ③两人都跑了20千米； ④乙比甲晚到0.3小时．其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 10．如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为　　 A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，在直线与直线之间，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二、填空题 12．已知某直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是　　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，的中点的坐标为．若一次函数的图象经过点，且将分成的两个部分面积之比为，则的值为 　　 ． 14．如图1，中，，点为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为　　 ． 三、解答题 15．物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． 0 2 5 15 19 25 （1）求与的函数关系式； （2）当弹簧长度为时，求所挂物体的质量． 专题07 函数与图象、正比例函数、一次函数 精选好题 一、选择题 1．在全民健身越野赛中，甲、乙两选手的行程随时间变化的图象（全程）如图所示．给出下列四种说法： ①起跑后内，甲在乙的前面； ②第两人都跑了； ③甲比乙先到达终点； ④两人都跑了． 其中正确的是　　 A．① B．①② C．①②④ D．②③④ 2．函数中，自变量的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 3．函数中自变量的取值范围是　　 A．且且 B．且且 C． D． 4．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升分钟，则油箱中剩余油量（升与流出时间（分钟）的函数关系是　　 A． B． C． D． 5．把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度与注水时间之间的函数关系图象大致是　　 A． B． C． D． 6．下表反映的是某地区电的使用量（千瓦时）与应缴电费（元之间的关系： 用电量（千瓦时） 1 2 3 4 5 应缴电费（元 0.55 1.1 1.65 2.2 2.75 以下说法错误的是　　 A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元 C．若用电量为8千瓦时，则应缴电费4.4元 D．若所缴电费为3.75元，则用电量为7千瓦时 7．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的一元一次不等式的解集为　　 A． B． C． D． 8．一次函数，为常数，且与一次函数关于轴对称，则一次函数的表达式为　　 A． B． C． D． 9．如图，、、，动点从点出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向右移动，且过点的直线也随之平移，设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线分别与轴、直线交于点、，则的面积为　　 A．3 B．6 C．9 D．12 11．如图，是边长为的等边三角形，动点从点出发，以的速度沿运动，到达点即停止运动，过点作于点，设运动时间为，的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是　　 A． B． C．D． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，点，，点，点从点出发沿路线以每秒1个单位的速度运动，点从点出发沿路线以每秒个单位的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设，运动时间为秒，则正确表达与的关系图象是　　 A． B． C．D． 二、填空题 13．已知，那么　　． 14．若直线与两坐标轴围成的三角形的面积是6个平方单位，则　 　． 15．在平面直角坐标系中，将向下平移3个单位，所得函数图象过，则的值为 　　． 16．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为 　　． 17．目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，请写出与之间的函数关系式是　 　 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为 　　． 19．一次函数的图象过轴上一点，且随的增大而减小，则　　． 20．如图①，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图②，则的长为 　　． 21．在函数中，自变量的取值范围是 　　． 22．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，弩马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？“如图是两匹马行走路程（里关于行走时间（日的函数图象，则两个函数图象交点的坐标是　　． 三、解答题 23．经过实验获得两个变量，的一组对应值如表． 1 2 3 4 5 6 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式． （2）点，，，在此函数图象上．若，则，有怎样的大小关系？请说明理由． 24．如图1，在平行四边形中，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒4个单位的速度从点出发，沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图象，求值． 25．如图，在长方形中，，，点是边上与点不重合的动点，过点的直线交的延长线于点，交于点（点与点不重合），且．设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 26．周末，李叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5小时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时之间的关系如图所示． （1）求汽车修好后与之间的函数关系式； （2）在距离安康60千米的地方有一个服务区，求李叔叔从西安出发后多长时间到达服务区？ 27．“五一”劳动节到了，为在学生中弘扬劳动精神，让学生在做中学、学中做、家校合力共推劳动教育．五一假期老师布置了与父母互换身份，做一天父母的工作，体会劳动并感受父母的艰辛，理解、感恩父母，小李和妈妈互换身份，帮妈妈卖干果，他上午卖出甲种类和乙种类干果获得利润为85元，下午卖出甲种类和乙种类干果获得利润为145元． （1）求每千克甲种类干果和乙种类干果的销售利润各是多少； （2）小李的妈妈想一次购进两种干果共用于销售，其中乙种类干果的进货量不超过甲种类干果的进货量的，请你帮小李妈妈设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值． 28．广州某商店准备购进一批洗发水和电池，每件洗发水的进价比每件电池的进价多4元，商店用800元购进洗发水的数量与用640元购进电池的数量相等． （1）求每件洗发水与每件电池的进价分别是多少？ （2）已知洗发水的销售价为每件26元，电池的销售价为每件20元．若该商店准备购进这两种用品共100件，其中购进洗发水件，那么该商店要获得最大利润应如何进货？ 29．在如图的平面直角坐标系中，直线过点，且与直线交于点，直线与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）若的面积为9，求点的坐标； （3）若是等腰三角形，求直线的函数表达式． 30．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 小明和小亮相约到公园游玩．已知小明家，小亮家到公园的距离相同，小明先骑车到达超市，购买了一些食物和饮用水，然后再骑车到达公园，小明出发后，小亮骑车从家出发直接到达公园，给出的图象中（单位：反映了这个过程中小明骑行的路程，请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 小明离开家的时间 4 6 20 31 小明骑行的路程 1500 （Ⅱ）填空： ①小明购物的超市到公园的距离是 　　； ②小亮骑车的速度为 　　； ③在小明和小亮从各自的家到公园的途中，当两人到公园的距离相同时，小明离开家的时间为 　　； ④当小亮到达公园时，小明距公园还有 　　． （Ⅲ）当时，请直接写出关于的函数解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$