精品解析：黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体2023-2024学年高三下学期第一次模拟数学试题

2024年黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体高考数学一模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是 A. B. C. D. 3. 一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 为虚数单位，复数， ，且满足，求点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若关于实数 的不等式恒成立，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，．若有5个零点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 某射击运动员在一次训练中次射击成绩单位：环如下：， ， ，，， ，，， ， ，这组数据的上四分位数为 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，且，则 D. 对一组样本数据，，，进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 10. 已知为函数的一个对称中心，则（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 曲线关于对称 D. 函数在单调递增 11. 如图，已知正方体的棱长为 ， 为底面 内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）． A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点 ，使得 C. 若，则 点在正方形底面 内的运动轨迹长为 D. 若点 是 的中点，点是的中点，过 ，作平面平面，则平面 截正方体的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，点在终边上，则__________． 13. 已知，则 ______用数字作答 14. 设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线上任意一点， 是线段上的点，且，则直线 的斜率的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设，若数列的前 项和为，且是 与的等差中项； （1）求数列的通项公式； （2）若是以 为首项， 为公差的等差数列，求数列的前 项和． 16. 某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从 类 道题中任选 道进行答题，答完后正确数超过两道 否则终止比赛 才能进行第二轮答题；第二轮答题从 类 道题中任选 道进行答题，直到答完为止． 类题每答对一道得10分， 类题每答对一道得 分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分分或分为三等奖，分为二等奖， 分为一等奖．某班小张同学 类题中有5道会做， 类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． （1）求小张同学被终止比赛的概率； （2）现已知小张同学第一轮中回答的 类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望； （3）求小张同学获得三等奖的概率． 17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，，，，为的中点，点 在 上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）设点 在上，且判断直线是否在平面内，说明理由． 18. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D． （1）求双曲线C的标准方程； （2）求证：直线m与直线的斜率之积为定值； （3）求的最小值． 19. 设， . （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明：； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年黑龙江省牡丹江市普通高中协同发展共同体高考数学一模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，即可由交集的定义即可求解. 【详解】解：因为，， 所以， 因为， 所以． 故选：B． 2. 五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，每个人可以报任何一所院校，则结合乘法原理可得： 不同的报名方法的种数是. 本题选择D选项. 3. 一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件 表示“考生答对”， 设事件 表示“考生选到有思路的题”. 则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为： 故选：C. 4. 已知 为虚数单位，复数，，且满足，求点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据模长求出轨迹方程再求出圆心和半径，最后应用圆心到直线距离求出距离的最大值. 【详解】，， 则，即，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 故点到直线距离的最大值为． 故选：． 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设经过 个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得. 【详解】设经过 个小时才能驾驶，则即. 由于在定义域上单调递减，. 他至少经过4小时才能驾驶. 故选：D. 6. 已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加法法则，结合投影向量的求解即可求解. 【详解】由可得， 又，如图所示，由平行四边形法则可得四边形为菱形， 故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量为， 故选：D． 7. 已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用奇函数化简再结合不等式得出对数不等式，最后结合对数的单调性解不等式. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以是偶函数，， 所以可化为： ，又在区间上单调递减，所以在上递增， 所以，即或， 即或． 故选：． 8. 已知函数，．若有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当 时，对求导，得到的单调性和最值再结合二次函数的性质画出的图象，令，将函数的零点个数问题转化为方程根的问题，结合图象求解即可. 【详解】由题意可知当 时，， 令 可得：；令 可得：；， 故在上单调递减，在上单调递增， ，且当 时，， 当 趋近于负无穷时，趋近于0； 当时，图象的对称轴为直线，． 故作出的大致图象如图所示． 令，数形结合可知要使有5个零点， 需使方程有2个不同的实数根，且，或． ①若，，则，不成立，舍去． ②若，，则，解得． 当时，方程为，解得或，不符合方程2个根的取值范围，舍去． 故实数的取值范围为． 故选：A． 【点睛】方法点睛：对于求解函数零点个数问题，由以下的方法：（1）函数单调性与零点存在性定理得到函数零点个数；（2）参变分离后构造函数进行求解零点个数；（3）转化为两函数交点个数问题. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 某射击运动员在一次训练中次射击成绩单位：环如下：，， ，，， ，，， ，，这组数据的上四分位数为 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，且，则 D. 对一组样本数据，，，进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据百分位数即可求解A，根据二项分布的期望和方差公式即可求解B，根据正态分布的对称性即可求解C，根据回归直线的定义即可求解D. 【详解】对于A，把次射击成绩从小到大排列为，，，， ， ， ，，，. 由，可得这组数据的上四分位数为第 个数，等于，故A正确； 对于B，若随机变量，且，则， ，故B正确； 对于C，若随机变量，且，则， ，故C正确； 对于D，对于线性回归方程为：，其中的样本数据可能都不在回归直线上，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知为函数的一个对称中心，则（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 曲线关于对称 D. 函数在单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对称可得，即可由辅助角公式求解，结合选项，即可逐一代入求解. 【详解】解：因为为函数的一个对称中心， 所以， 即，解得，故A错误； 所以， ，显然为奇函数，故B正确； ，是最小值， 所以曲线关于对称，故C正确； 当时，，所以函数在单调递增，故D正确． 故选：BCD． 11. 如图，已知正方体的棱长为 ， 为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）． A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点 ，使得 C. 若，则 点在正方形底面内的运动轨迹长为 D. 若点 是 的中点，点是的中点，过 ，作平面平面，则平面 截正方体的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等体积法可计算出三棱锥的体积，可判断选项A，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设，根据垂直得向量数量积为 列式，从而判断选项B，C，利用线面垂直的判定定理得平面，再证明四点共面，从而得平面 ，再由面面平行的性质可得平面 截正方体的截面为正六边形，根据正六边形的性质计算面积即可判断选项D. 【详解】对于A，由等体积法，三棱锥的高为， 底面积，所以， 所以三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，，， ，， 若，则， 即，取，此时点 与点 重合，满足题意， 所以存在点 ，使得，B正确； 对于C，，若， ，即， 所以点 的轨迹就是线段 ， 轨迹长为，C错误； 对于D，如图取 中点，连接， 由题可得， 平面， 连接 ，因为，平面， 则，，又， 平面，则平面， 又取中点为，则， 有四点共面，则平面即为平面 ， 又由两平面平行性质可知，，，， 又都是中点，故 是中点，是中点， 则平面 截正方体的截面为正六边形， 又正方体棱长为 ，则， 故截面面积为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，点在终边上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出，再由余弦的二倍角公式：即可求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故答案为： 13. 已知，则 ______用数字作答 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征，即可求解. 【详解】解：由二项式定理可得展开式中含的项为， 所以． 故答案为：． 14. 设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线上任意一点， 是线段上的点，且，则直线 的斜率的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的共线关系可得，即可由斜率公式得斜率表达式，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】解：根据题意可设， ，， 又，，， ，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 直线 的斜率的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设，若数列的前 项和为，且是 与的等差中项； （1）求数列的通项公式； （2）若是以 为首项， 为公差的等差数列，求数列的前 项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，在根据，作差得到，结合等比数列的定义计算可得； （2）依题意可得，则，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 因为是 与的等差中项，可得， 当 时，可得，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得， 即为， 可得数列是首项和公比均为 的等比数列， 所以； 【小问2详解】 若是以 为首项， 为公差的等差数列， 则， 可得， 数列的前 项和， ， 两式相减可得 ， 化简可得． 16. 某高中举办诗词知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从 类 道题中任选 道进行答题，答完后正确数超过两道否则终止比赛才能进行第二轮答题；第二轮答题从 类道题中任选 道进行答题，直到答完为止． 类题每答对一道得10分， 类题每答对一道得 分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分分或分为三等奖，分为二等奖， 分为一等奖．某班小张同学 类题中有5道会做， 类5题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． （1）求小张同学被终止比赛的概率； （2）现已知小张同学第一轮中回答的 类题全部正确，求小张同学第二轮答完题后总得分的分布列及期望； （3）求小张同学获得三等奖的概率． 【答案】（1） （2） ． （3） 【解析】 【分析】． （1）根据题意，第一轮中小张只答对2道则被终止比赛，计算概率即可； （2）分析得的所有可能取值，分别求出概率，即可得出分布列，进而得出数学期望； （3）分析出小张同学获得三等奖的所有情况，再计算概率即可． 【小问1详解】 从 类 道题中任选 道，其中2道会做，2道不会做，则被终止比赛， 所以小张同学被终止比赛的概率为． 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为40,60,80,100， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 所以． 【小问3详解】 小张获得三等奖，共有两种情况， ①第一轮得30分（答对3道），则第二轮得40分（对2道）， 概率为； ②第一轮得40分（答对4道），则第二轮得40分（对2道）， 概率为， 所以小张同学获得三等奖的概率为． 17. 如图，在四棱锥 中， 平面，，，，为的中点，点 在 上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）设点 在上，且判断直线是否在平面内，说明理由． 【答案】（1）因为 平面，又平面，则， 又，且，，平面，故CD平面； 又面， ， ， 为中点， ， ， ，面， 面； （2） （3）直线不在平面内，理由如下： 因为点 在上，且，又， 故， 则， 由（2）可知，平面的法向量为， 因为，所以直线不在平面内． 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直判定定理证明即可； （2）结合线面垂直建系，空间向量法求出二面角余弦值； （3）先判断关系，再求出向量坐标，最后空间向量法证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点A作 的垂线交 于点 ， 因为 平面，且 ，平面，则，， 故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， GSP 则， 因为 为的中点，则， 所以， 又，所以，故， 设平面的法向量为，则，即， 令 ，则，，故， 又因为平面的法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 略 18. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D． （1）求双曲线C的标准方程； （2）求证：直线m与直线的斜率之积为定值； （3）求的最小值． 【答案】（1）； （2）证明：由题意，点A与点P关于原点对称． 设，则． 由题意可知直线m的斜率存在，设直线m的斜率为k， 记直线m的方向向量为，又直线m为的平分线， 则． 因为， 所以， 同理， 又，代入得， ，化简得． 所以，即直线与直线m的斜率之积为定值； （3）3 【解析】 【分析】（1）根据虚轴长和渐近线求出即可； （2）设，则，记直线m的方向向量为，利用坐标运算求解，整理即可得答案； （3）设出直线方程，和双曲线联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式得到，然后利用基本不等式求的最值. 【小问1详解】 因为虚轴长为2，即，所以． 又因为有一条渐近线方程为，所以， 所以双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知． 又，所以， 将代入得， ， 所以． 设直线m的方程为， 将代入得， 所以直线m的方程为． 由点到直线距离公式得， ． 又直线 的斜率为，设直线 的方程为， 将代入得， 所以直线 的方程为． 将其与联立得． 设，则． 由得， 所以． 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当且仅当时，的最小值为3． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 19. 设，. （1）当时，求函数的最小值； （2）当时，证明：； （3）证明：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知为定义在上的偶函数，下取， 可知，令， 因为，则， 则在内单调递增，可得， 即在内恒成立，可知在内单调递增， 所以在内的最小值为， 结合偶函数性质可知：. （3）证明：由（2）可得：当时，，当且仅当 时，等号成立， 即，令，则， 当时，， 即，则有： ，，，， 相加可得：， 因为，则，所以， 即. 【解析】 【分析】（1）由题意可知：为偶函数，所以仅需研究的部分，求导，分和两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值； （2）由题意可知：为偶函数，所以仅需研究的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明； （3）由（2）可得：，分和两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】 因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 下取， 当时，，则， 当时，则，可知在内单调递增， 当时，令，则， 可知在内单调递增， 因为，则，使得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 则在内恒成立，可知在内单调递减； 综上所述：在内单调递减，在内单调递增， 所以在内的最小值为， 又因为为偶函数，所以在内的最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $