精品解析：浙江省金华市东阳市江北初级中学等4校2022-2023学年八年级上学期月考数学试题

2022年下学期八年级数学练习（三） 试题卷 本卷考试范围：八年级上册全册 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须填写在答题纸的相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么点A与点B之间的距离可能是（　　） A. B. C. D. 2. 下列描述不能确定具体位置的是（ ） A. 某电影院6排7座 B. 岳麓山北偏东40度 C. 劳动西路428号 D. 北纬28度，东经112度 3. A疫苗冷库储藏温度要求为，疫苗冷库储藏温度要求为，若需要将A，两种疫苗储藏在一起，则冷库储藏温度要求为（    ） A. B. C. D. 4. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D. 5. 若关于的函数是一次函数，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 下列命题的逆命题不正确的是（ ） A. 直角三角形的两锐角互余 B. 相等的两个角就一定是对顶角 C. 若，则 D. 全等三角形的三个对应角相等 7. 把一些书分给若干名同学，若______；若每人分11本，则不够，依题意，设有x名同学，列不等式．则根线上的信息可以是（ ） A. 每人分7本，则可多分9个人 B. 每人分7本，则剩余9本 C. 每人分9本，则剩余7本 D. 其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 8. 如图，点是平分线上的一点，点、点分别在射线、射线上，满足，若的面积是2，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（　　）． A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，．O为中点，交于点E，于点F，交于点M，的延长线交于点G．若，则下列结论正确的（　　） ①； ②； ③； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卷的相应位置上． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在Rt△ABC中，锐角∠A＝37°，则另一个锐角∠B＝_____． 12. 若点P（2，-3）向左平移5个单位后点的坐标为______． 13. 量角器的中心记为点O，测角度时摆放的位置如图所示，点A、B在以O为圆心的半圆上，OA、OB、OC分别与0°、140°、60°刻度线重合．射线OC交AB于点D，则∠ADC＝_______°． 14. 若关于x的不等式的最大整数解为1，则a的取值范围是 ___________． 15. 定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM=2，MN=3，则BN的长为______． 16. 如图已知为射线上一动点（不与重合），，，当以，，三个点中的某两个点与点为顶点的三角形是等腰三角形时，的度数为 ___________________． 三、解答题（共题共8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17. 按要求答题． （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题（仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹）： （1）在上找一点D，使； （2）在上找一点E，使平分． 19. 已知点根据下列要求，回答问题： （1）若轴，则a的取值范围是___________，___________． （2）若轴，线段的长为5，则___________，___________；线段上任意一点的坐标怎么表示？ 20. 如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 21. 如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A(6，0)、B(0，8)，M是OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，则点B恰好落在x轴上的点B′处．求： （1）点B′的坐标； （2）求△ABM的面积. 22. 某校为“防疫知识小竞赛”准备奖品，购进A，B两种文具共40件作为奖品，设购进A种文具x件，总费用为y元．已知A、B文具的费用与x的部分对应数据如下表． x（件） 8 10 12 A种文具费用（元） 120 150 b B种文具费用（元） 640 a 560 （1）将表格补充完整：a＝　　；b＝　　； （2）求y关于x的函数表达式； （3）当A种文具的费用不大于B种文具的费用时，求总费用y的最小值． 23. 问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　； 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 24. 在平面直角坐标系中，直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点． （1）求直线与轴的交点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段围成的区域（不含边界）为． ①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数； ②若区域内没有整点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年下学期八年级数学练习（三） 试题卷 本卷考试范围：八年级上册全册 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须填写在答题纸的相应位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷Ⅰ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么点A与点B之间的距离可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以确定的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故点A与点B之间的距离可能是． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边关系，解题的关键是明确三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 2. 下列描述不能确定具体位置的是（ ） A. 某电影院6排7座 B. 岳麓山北偏东40度 C. 劳动西路428号 D. 北纬28度，东经112度 【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、某电影院6排7座能确定具体位置； B、岳麓山北偏东40度不能确定具体位置； C、劳动西路428号能确定具体位置； D、北纬28度，东经112度能确定具体位置； 故选B． 【点睛】本题考查坐标确定位置，理解确定坐标的两个数据是解题的关键．是数学在生活中应用． 3. A疫苗冷库储藏温度要求为，疫苗冷库储藏温度要求为，若需要将A，两种疫苗储藏在一起，则冷库储藏温度要求为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将A，两种疫苗储藏在一起，冷库储藏温度正好是A疫苗冷库储藏温度的最低度数和疫苗冷库储藏温度的最高度数． 【详解】解：∵A疫苗冷库储藏温度要求为，疫苗冷库储藏温度要求为， ∴A，两种疫苗储藏在一起，冷库储藏温度要求为． 故选：C． 【点睛】此题考查了不等式，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解题的关键是读懂题意，搞懂A疫苗冷库储藏温度和疫苗冷库储藏温度的要求． 4. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM， A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意； D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 5. 若关于的函数是一次函数，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：B． 6. 下列命题的逆命题不正确的是（ ） A. 直角三角形的两锐角互余 B. 相等的两个角就一定是对顶角 C. 若，则 D. 全等三角形的三个对应角相等 【答案】D 【解析】 【分析】将原命题的条件和结论互换位置，即可得到其逆命题，再进行判断即可． 【详解】A. 直角三角形的两锐角互余，其逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题为真命题； B. 相等的两个角就一定是对顶角，其逆命题为：对顶角是相等的两个角，逆命题为真命题； C. 若，则，其逆命题为：若，则，逆命题为真命题； D. 全等三角形的三个对应角相等，其逆命题为：三个对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题； 故答案选：D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是知道如何写出一个命题的逆命题． 7. 把一些书分给若干名同学，若______；若每人分11本，则不够，依题意，设有x名同学，列不等式．则根线上的信息可以是（ ） A. 每人分7本，则可多分9个人 B. 每人分7本，则剩余9本 C. 每人分9本，则剩余7本 D. 其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式表示的意义解答即可． 【详解】解：由不等式可得，把一些书分给几名同学，若每人分7本，则可多分9个人； 若每人分11本，则不够， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 8. 如图，点是平分线上的一点，点、点分别在射线、射线上，满足，若的面积是2，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作于 作于再证明再结合三角形的面积可得答案． 【详解】解：如图，过作于 作于 ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵的面积是2， ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解本题的关键． 9. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质可计算出的度数． 【详解】解：由作法得，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理． 10. 如图，在四边形中，．O为中点，交于点E，于点F，交于点M，的延长线交于点G．若，则下列结论正确的（　　） ①； ②； ③； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形得性质和平行线得性质得出，，即可证明，得，即可判断①；由，，， 可证明，得，则，所以，即可判断②；由，即可判断③；连接，设，由， 可推导出，，则，得，所以,即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵O为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵于点F， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 连接，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形得判断和性质、同角的余角相等，全等三角形得判断和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卷的相应位置上． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在Rt△ABC中，锐角∠A＝37°，则另一个锐角∠B＝_____． 【答案】53° 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，锐角∠A＝37°， ∴另一个锐角∠B =90°-∠A=90°-37°＝53°， 故答案为：53° 【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键． 12. 若点P（2，-3）向左平移5个单位后点的坐标为______． 【答案】（-3，-3） 【解析】 【分析】点P（2，-3）沿x轴方向向左平移5个单位后点的横坐标减去5，纵坐标不变，所以Q点坐标为（-3，-3）． 【详解】解：点P（2，-3）向左平移5个单位得到点Q，点Q的坐标为（2-5，-3）． 即点Q的坐标为（-3，-3）． 故答案为：（-3，-3）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）． 13. 量角器的中心记为点O，测角度时摆放的位置如图所示，点A、B在以O为圆心的半圆上，OA、OB、OC分别与0°、140°、60°刻度线重合．射线OC交AB于点D，则∠ADC＝_______°． 【答案】80 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵OA=OB，∠AOB=140°， ∴， ∵∠AOC=60°， ∴∠ADC=∠A+∠AOC=20°+60°=80°， 故答案为：80． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 14. 若关于x的不等式的最大整数解为1，则a的取值范围是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】先解出不等式的解集，再根据最大整数解为1列出关于a的不等式，求出a的范围即可. 【详解】解不等式，得：， ∵最大整数解为1， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含有参数的不等式，熟练掌握解不等式(组)是解题的关键. 15. 定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM=2，MN=3，则BN的长为______． 【答案】或． 【解析】 【详解】解：分两种情况： ①当MN为最大线段时．∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，∴BN= = =； ②当BN为最大线段时．∵点M、N是线段AB的勾股分割点，∴BN===； 综上所述：BN的长为或． 故答案为或． 点睛：本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键． 16. 如图已知为射线上一动点（不与重合），，，当以，，三个点中的某两个点与点为顶点的三角形是等腰三角形时，的度数为 ___________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：分为以下5种情况： ①， ∵， ∴； ②， ∵， ∴ ∴； ③， ∵， ∴， ∴； ④， ∵， ∴， ∴； ⑤， ∵， ∴， ∴， ∴； 所以当或或时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形， 故答案为：或或． 三、解答题（共题共8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17. 按要求答题． （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（1）运用一元一次不等式的知识即可求解； （2）运用一元一次不等式组的知识即可求解． 【小问1详解】 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得， ； 【小问2详解】 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组无解． 【点睛】本题考查一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握一元一次不等式及一元一次不等式组的解法． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题（仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹）： （1）在上找一点D，使； （2）在上找一点E，使平分． 【答案】（1） 如图，点D即为所求； （2）如图，点E即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点T，连接交于点D，构建，得到，点D即为所求； （2）取格点P，连接，得到，取的中点Q，连接交于点E，利用等腰三角形的性质得到平分，则点E即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的高，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 19. 已知点根据下列要求，回答问题： （1）若轴，则a的取值范围是___________，___________． （2）若轴，线段的长为5，则___________，___________；线段上任意一点的坐标怎么表示？ 【答案】（1）； （2）或8；；，其中（或） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可直接得到答案； （2）根据线段的长为5，分两种情况进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵且轴， ∴，且， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵轴，线段的长为5， ∴或，， 则线段上任意一点的坐标为，其中（或）， 故答案为：或8；；，其中（或）． 【点睛】本题考查平行直线的性质和直角坐标系，解题的关键是熟练掌握直角坐标系的相关知识． 20. 如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质： （1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形的定义证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A(6，0)、B(0，8)，M是OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，则点B恰好落在x轴上的点B′处．求： （1）点B′的坐标； （2）求△ABM的面积. 【答案】（1）（-4，0）；（2）15. 【解析】 【分析】（1）由A、B坐标先确定OA、OB的长，再由勾股定理求出AB的长，由折叠的性质可得AB'的长度，求出OB'的长度，即可得出点B'的坐标； （2）设MO=m，则MB=MB′=8-m，在Rt△OMB′中，利用勾股定理可求得m的值，继而求得BM长，再利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）∵A（6，0），B（0，8）， ∴OA=6，OB=8 ， 又∵∠AOB=90°， ∴AB==10， ∵将△ABM沿AM折叠，则点B恰好落在x轴上的点B′处, ∴A B'=AB=10， ∴O B'=AB′-OA=10-6=4， ∴B'的坐标为：（-4，0）； （2）设MO=m，则MB=MB′=8-m， 在Rt△OMB′中，OM 2 +OB′ 2 =B′M 2 ， 即m 2 +4 2 =（8-m） 2 ， 解得：x=3， ∴BM=BO-OM=8-3=5， ∴S△ABM===15. 【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用． 22. 某校为“防疫知识小竞赛”准备奖品，购进A，B两种文具共40件作为奖品，设购进A种文具x件，总费用为y元．已知A、B文具的费用与x的部分对应数据如下表． x（件） 8 10 12 A种文具费用（元） 120 150 b B种文具费用（元） 640 a 560 （1）将表格补充完整：a＝　　；b＝　　； （2）求y关于x的函数表达式； （3）当A种文具的费用不大于B种文具的费用时，求总费用y的最小值． 【答案】（1）600；180； （2）； （3）690． 【解析】 【分析】（1）A文具的单价：120÷8=15元，B文具的单价：640÷(40-32)=20元，计算b=12×15，a=(40-10)×20填入表格中即可，注意a，b的位置； （2）根据总费用=购进A文具总费用+购进B文具总费用列解析式并化简即可； （3）利用A种文具的费用不大于B种文具的费用列为不等式，后利用一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：∵买卖8件A文具时，种文具费用120元，种文具费用640元， ∴ A文具的单价为：120÷8=15(元)， B文具的单价：640÷(40-8)=20(元) ， ∴，． 填入表格如下： x（件） 8 10 12 A种文具费用（元） 120 150 180 B种文具费用（元） 640 600 560 故答案为：600；180． 【小问2详解】 由 (1)得，A种文具15元/件，种文具20元/件， 设购进A种文具件，则种文具数量为件， ∴； 【小问3详解】 ∵A种文具的费用不大于B种文具的费用 ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∵，， ∴随着的增大而减小， ∴当时，， 答：总费用最少为690元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，一次函数的增减性，不等式的构造与求解，熟练运用生活经验，把生活问题准确转化为函数模型求解是解题的关键． 23. 问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　； 探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】问题背景：EF=BE+DF； 探索延伸：EF=BE+FD仍然成立． 理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADG， 又∵AB=AD， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， 又∵∠EAF=∠BAD， ∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF， =∠BAD﹣∠BAD=∠BAD， ∴∠EAF=∠GAF． 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF(SAS)， ∴EF=FG， 又∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+FD． 实际应用：此时两舰艇之间的距离为320海里 【解析】 【分析】问题背景：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF，证明EF=FG，得到答案； 探索延伸：连接EF，延长AE，BF相交于点C，利用全等三角形的性质证明EF=AE+FB． 实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，首先证明，∠FOE=∠AOB，利用结论EF=AE+BF求解即可． 【详解】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF， ∴BE=DG，EF=GF， ∴EF=FG=DF+DG=BE+FD． 故答案为：EF=BE+FD． 探索延伸：略； 实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C， 在四边形AOBC中， ∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，∠FOE=70°=∠AOB， 又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°，符合探索延伸中的条件， ∴结论EF=AE+FB成立． 即，EF=AE+FB=2×(70+90)=320(海里) 答：此时两舰艇之间的距离为320海里． 【点睛】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用． 24. 在平面直角坐标系中，直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点． （1）求直线与轴的交点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段围成的区域（不含边界）为． ①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数； ②若区域内没有整点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）直线与轴交点坐标为（0,1）；（2）①整点有（0，-1），（0,0），（1，-1），（1,0），（1,1），（1,2）共6个点，②-1≤k＜0或k=-2. 【解析】 【分析】（1）令x=0，y=1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）； （2）①当k=2时，A（2，5），B，C（2，-2），在W区域内有6个整数点；②当x=k+1时，y=-k+1，则有k2+2k=0，k=-2，当0＞k≥-1时，W内没有整数点； 【详解】解：（1）令x=0，y=1， ∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）； （2）由题意，A（k，k2+1），B，C（k，-k）， ①当k=2时，A（2，5），B，C（2，-2）， 在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，-1），（1，0），（1，-1），（1，1），（1，2）； ②直线AB的解析式为y=kx+1， 当x=k+1时，y=-k+1，则有k2+2k=0， ∴k=-2， 当0＞k≥-1时，W内没有整数点， ∴当0＞k≥-1或k=-2时W内没有整数点； 【点睛】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $