专题2.8 等腰三角形的轴对称性（专项练习）（培优练）-2024-2025学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

专题2.8 等腰三角形的轴对称性（专项练习）（培优练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（18-19八年级下·全国·课后作业）三角形的三边满足 ，则这个三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点E，D，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·重庆綦江·期中）如图，，平行线间有一点C，使得平分，平分，连接交于点E．若E为的中点，且,则等于（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，交于点D，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（19-20八年级上·河北邢台·期末）已知边、的垂直平分线、相交于，、在边上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·天津和平·期中）如图所示的网格是正方形网格，，，为网格线交点，则(    ) A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·河北张家口·期末）数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A，C，E在同一直线上，，若，则点B，D到直线的距离之和为（    ） A．6 B．8 C． D．10 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，为的中点，，分别在，上，且，若，，则（     ）      A． B． C． D． 10．（2024·河南南阳·一模）如图1，在中，于点D（）．动点M从A点出发，沿折线方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2，则的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则它的周长为 ． 12．（22-23八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，为中点，，则的度数为 ． 13．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，，，，，，则 ． 14．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，，动点在射线上，交于，的平分线交于．则当时， ． 15．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ． 16．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形中，，，，若的面积为32，则长为 ． 17．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中， ，，射线于点．若点，分别是射线，边上的动点，，连接，，连接，当时，则的度数为 ．    18．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，，是内的两点，平分，． （1） °； （2）若，，则的长为 cm． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）19．（22-23八年级上·河南商丘·开学考试）如图，在中，，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接． （1）若，求的度数； （2）猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 20．（8分）（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂是为E． （1）若，求的度数； （2）试说明：． 21．（10分）（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在和中，，，，且点D在线段上 （1）求证：； （2）若，求的度数． 22．（10分）（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点为的中点，且平分． 求证：（1)平分 (2) 23．（10分）（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． （1）求证：： （2）若△APQ为直角三角形，求PQ的值； （3）当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 24．（12分）（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）已知，在中，，，点D为直线上一动点（点D不与点B、C重合），连接，使，． （1）如图1，当点D在线段上时，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ，、、三条线段的数量关系是 ． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，求、、三条线段的数量关系． （3）如图3，当D运动到的延长线上，且A、E分别在直线的两侧，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了因式分解的应用以及等腰三角形的定义，正确的分解因式，熟练掌握因式分解是解题的关键． 先把等式的左边分解因式，再根据几个数相乘得0，至少有一个为0，根据等腰三角形的定义求解即可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴或， ∴或， ∴这个三角形的形状是等腰三角形， 故选：A． 2．D 【分析】题目主要考查线段垂直平分线的性质，等边对等角及一元一次方程的应用，理解题意，根据题意得出相应的方程是解题关键； 设，根据线段垂直平分线的性质及等边对等角确定，再由角平分线及三角形内角和得出方程求解即可 【详解】解：设， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，过点C作交于点N，证明三角形全等，进而判断出，再根据直角三角形两个锐角互余，结合角平分线定义求出，利用两直线平行内错角相等求出，进而求出结果即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点N， ， 为的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出，，可得，即．中，根据角所对直角边等于斜边的一半，可求得，由此可求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．B 【分析】由题意得，则可得是等边三角形，则，进而可得，则可得． 本题主要考查这了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：B 6．A 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得，，利用三角形的内角和定理即可求得，即可求解． 【详解】解：∵、分别垂直平分、， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查直角三角形的性质、三角形外角和内角的关系、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知，再根据等腰三角形的性质，可以得到的度数，从而可以求得的度数． 【详解】解：由图可得， ，，， ， ， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，作于M，于N，由等腰三角形的性质推出，，由余角的性质推出，由证明，得到，，于是得到． 【详解】解：作于M，于N， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点B，D到直线的距离之和为6． 故选：A． 9．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一定理，同角的余角相等，连接，由，为的中点，得，根据同角的余角相等得出，证明即可求解， 熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，如图所示，    ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、判断出和点M和点B重合时，的面积为3是解本题的关键． 先根据结合图2得出，进而利用勾股定理得，再由运动结合的面积的变化，得出点M和点B重合时，的面积最大，其值为3，即，进而建立方程组求解，即可． 【详解】解：由图2知， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，①， 设点M到的距离为h， ∴， ∵动点M从A点出发，沿折线方向运动， ∴当点M运动到点B时，的面积最大，即， 由图2知，的面积最大为3， ∴， ∴②， 得，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴③， 将③代入②得，， ∴或， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 11．27 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 因为边为5和11，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当5为底时，其它两边都为11，而11、5、11可以构成三角形，周长为27；当5为腰时，其它两边为11和5．因为，所以不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有27． 故答案为：27． 12．/65度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，为中点， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角，等边对等角，先证明，得到，三角形的外角求出，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，全等三角形的判定和性质，延长交于点，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，得到，即得，进而得到，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．2 【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可． 【详解】解：∵为，的中点， ∴,，又， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∴，解得， ∴， 故答案为：2． 16．8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，作交的延长线于，连接，则为等腰直角三角形，证明，得出，，证明，结合的面积为32，得出，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交的延长线于，连接，     ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵在，，， ∴， ∴，即， ∵的面积为32， ∴， ∵， ∴ 故答案为：8． 17． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，根据等腰三角形的性质，得出，得出，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，根据即可得出答案，解题的关键是掌握知识点的应用. 【详解】延长交于点，    ∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18． 30 16 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． （1）设与交于，的延长线交于，证为等边三角形得，根据等腰三角形的性质得，，然后再中由三角形的内角和定理可得出的度数，进而可得的度数， （2）先根据等边三角形的性质得，则，在中根据得，由此可得，，由此可得的长． 【详解】解：（1）设与交于，的延长线交于，如图所示： 为等边三角形， ， 在中，，平分， ，， 为直角三角形， ， ， 故答案为：30． （2）为等边三角形，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为：16． 19．(1)； (2)，见解析． 【分析】（）由直角三角形的两锐角互余得，再根据等腰三角形的性质得，最后由三角形的内角和定理即可求解； （）由，得，则，最后由三角形的内角和定理即可得出结论； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角度和差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，由作图痕迹可知， ∴， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 20．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握等边对等角，直角三角形两个锐角互余． （1）根据等腰三角形的性质得出，求出其角度，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求出的度数； （2）根据等腰三角形的性质得出，则，再根据直角三角形两个锐角互余得出，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）由可得，再结合，即可解题； （2）根据，，可得，从而求得的值，再根据可得到，从而求得的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 和均为等腰直角三角形， ， ， ， 由（1）可知：， ， ． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形全等是解此题的关键． （）延长交延长线于点，证明得到，利用等腰三角形判定得，最后由等腰三角形三线合一的性质即可证明平分； （）由（）中得到，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，延长交延长线于点， ∵点为的中点， ∴, 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）证明：∵, ∴， ∵,，， ∴． 23．(1)见解析 (2)2或8 (3)或 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论； （2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论； （3）借助（2）的结论即可得出范围． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴ 在和中， ∴； （2）如图，由（1）知，， ∵为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ②当时，即， ∴， 即是直角三角形时，或8. （3）∵为钝角三角形， ∴当时，， ②当时，． 即：是钝角三角形时，或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出． 24．(1)；； (2) (3)2 【分析】本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由等腰直角三角形的性质可得，可得结论； （2）由“”可证，可得，由线段的关系可得结论； （3）由“”可证，可得，由线段的关系可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， 在和中， ， ． ，， ． ，， ， ， ， 即； 故答案为：；；． （2），理由如下： ， ， ， 在和中， ， ． ， ； （3）， ， 即， 在和中， ， ． ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$