精品解析：山西大学附属中学校2024～2025学年高三上学期开学考试数学试题

山西大学附中 2024-2025学年第一学期高三开学考试 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（其中是虚数单位），则的虚部是（    ） A. 1 B. C. D. 3. 已知函数的部分图像如图所示，则函数 的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ） A. B. C. D. 9 5. 已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 6. 基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（    ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分） 9. 已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 向量，在上的投影向量相等 D. 10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ） A. 关于的函数是偶函数 B. 若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30 C. 摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟 D. 若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米 11. 已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A. B. C. D. 三、填空题：（本题共3 小题，每小题5分，共．） 12. 的展开式中常数项为______.（用数字作答） 13. 意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波拉契数列”.那么是斐波拉契数列中的第_____________项. 14. 已知函数，则方程恰好有6个不同的解，则实数的取值范围为______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知递增的等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且. （1）证明：平面； （2）若平面为的中点，，求二面角的正切值. 17. 在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点． （1）若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程； （2）探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数. （1）求函数的周期和对称轴方程； （2）将的图象上的所有点向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上的零点从小到大依次为，求的值； （3）若方程在上的解为，求. 19. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”. （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2024-2025学年第一学期高三开学考试 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 故选：A 2. 若复数满足（其中是虚数单位），则的虚部是（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的运算法则化简，然后根据虚部的概念求解即可. 【详解】依题意，，的虚部是. 故选：B 3. 已知函数的部分图像如图所示，则函数 的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、定义域以及三角函数的性质来逐一分析选项，从而确定函数的解析式. 【详解】对于A选项：已知，， 因为，所以， 又因为（为任意角），这里， 所以，故是奇函数， 而题目所给函数图象关于轴对称，是偶函数，所以A选项不符合，排除. 对于B选项：对于，同样根据奇函数的定义计算：， 由于，所以， 又因为（为任意角，这里）， 所以，即是奇函数， 不符合函数图象为偶函数这一条件，排除. 对于C选项：对于，， 因为，且（为任意角，这里）， 所以，所以是偶函数. 对于D选项：对于，， 因为，所以， 所以是偶函数. 此时C、D选项函数均为偶函数，还需结合定义域进一步判断.  对于C选项：正切函数的定义域为，， 对于，其自变量需满足有意义， 所以的定义域为，，不是. 而从题目所给图象来看，函数的定义域是，所以C选项不符合，排除. 对于D选项：对于，因为余弦函数的定义域是， 且，的值在正切函数的定义域内， 所以的定义域是，符合图象所给信息. 故选：D. 4. 我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ） A. B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出扇形的面积，再求出，相减得到答案. 【详解】由题意得，劣弧， 故扇形的面积为， 设圆心角为，则， 故， 故圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积为. 故选：A 5. 已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分不必要条件的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，令，显然有，而，A不是； 对于B，当，时，，B不是； 对于C，当，时，由，得， 当且仅当时取等号，反之取，满足，而不成立， 因此是成立的一个充分不必要条件，C是； 对于D，令，不等式成立，而，D不是. 故选：C 6. 基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（    ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解. 【详解】先将五门课程分成3,1,1和2,2,1这样两种情况，再安排到三个学年中， 则共有种选修方式 故选：A 7. 在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求，进而利用线面垂直可判断点轨迹为，求解周长即可． 【详解】连接、，交于点，连接， 为菱形，， 所以，，， 所以为二面角的平面角， 于是， 又因为， 所以， 取中点，取中点，连接、、，所以、， 所以、，，相交， 所以平面， 所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为， 因为，，， 所以的周长为， 所以点轨迹的长度为． 故选：A． 8. 已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围. 【详解】由题设有， 令，则有即. 因为在区间内没有零点， 故存在整数，使得， 即，因为，所以且，故或， 所以或， 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题. 二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分） 9. 已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 向量，在上的投影向量相等 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得. 【详解】作向量，在中，，， 由向量平分与的夹角，得是菱形，即， 对于A，与不一定垂直，A错误； 对于B，，即，B正确； 对于C，在上的投影向量， 在上的投影向量，C正确； 对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误. 故选：BC 10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ） A. 关于的函数是偶函数 B. 若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30 C. 摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟 D. 若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B，根据代入解析式可得，或，进而可判断；对C，求解即可；对D，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，进而可得劣弧的弧长. 【详解】对A，由题意，， 所以，当时，可得，所以， 故，所以是非奇非偶函数，故A错误； 对B，由题意，即， 即，所以，或， ，即或，，故B正确； 对C，由题意，即，即， 所以，，解得. 所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确； 对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱， 故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为， 因为两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是， 故（m）.故D正确. 故选：BCD 11. 已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据为奇函数可求出判断A，再由为奇函数，为偶函数求出可得周期，据此可判断B，根据函数的周期可求的周期判断CD. 【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为， 若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误； 因为为偶函数，所以，即， 则，又，所以， 所以，即，所以， 故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确； 对两边同时求导，得， 所以导函数的周期为8，所以，故C正确； 由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：（本题共3 小题，每小题5分，共．） 12. 的展开式中常数项为______.（用数字作答） 【答案】84 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】根据通项公式, 令 ,解得,所以, 故答案为:84. 13. 意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波拉契数列”.那么是斐波拉契数列中的第_____________项. 【答案】2024 【解析】 【分析】利用代入原式计算即可. 【详解】由已知 ， . 即是斐波拉契数列中的第2024项. 故答案为：2024. 14. 已知函数，则方程恰好有6个不同的解，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，，作出图象，作出图像，通过图象分析解的各种情况． 【详解】令，， 作出图象，作出图像， 时， 有两根，设为，， 则，， 即，此时有2个根， ，此时有2个根， 共4个根，不满足条件. 时，， 解得或或6， 即，无解， ，2解， ，2解， 共4个解，不满足条件. 时，， 有四个根，设为，，，， 其中，，，， 即，无解， ，无解， ，2解， ，2解， 共4个解，不满足条件. 时，有4个根，0，2，，（）， ，1解， ，1解， ，2解， ，2解， 共6解，满足条件. 时，， 有3个根，设为，，， 其中，，， 即有2解， 有2解， 有2解， 共6解，满足条件. 时，， 有两根和3， 有2个根， 有2个根， 共4个根，不满足条件， 综上. 故答案为. 【点睛】本题考查函数与方程根的分布问题，解题时可把复杂的方程简单化，如设，方程化为，，这样可作出两个函数和的图象，由图象分析方程根的所有可能情形，从而得出结论．数形结合思想是解这类问题的重要思想方法． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知递增的等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解首项和公比即可， （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 设等比数列公比为， 由题意有，解得， 所以． 【小问2详解】 ， 所以， ， ． 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且. （1）证明：平面； （2）若平面为的中点，，求二面角的正切值. 【答案】（1）证明：如图，在上取一点，使得，连接，，， 因为底面是平行四边形，所以，所以， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以 平面， 又因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以 平面， 又因为，平面，所以平面 平面， 因为平面，所以 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行，然后得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解面面夹角，从而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当为中点，，，易知，为中点， 又因为平面，所以两两垂直， 则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如（1）图， 设，则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 故二面角的正弦值为， 所以正切值为. 故二面角的正切值为. 17. 在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点． （1）若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程； （2）探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）总有，即直线与直线的倾斜角互补，即恒有，联立直线与抛物线方程，得到韦达定理代入运算，判断得解. 【小问1详解】 由已知，得，因为，所以，斜率， 因此，切线方程为，即． 【小问2详解】 存在符合题意的点，理由如下： 设点为符合题意的点，，直线的斜率分别为． 联立方程，得， 因为，则，可得， 从而 ， 因为不恒为0，可知当且仅当时，恒有， 则直线与直线的倾斜角互补，故， 所以点符合题意． 18. 已知函数. （1）求函数的周期和对称轴方程； （2）将的图象上的所有点向右平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上的零点从小到大依次为，求的值； （3）若方程在上的解为，求. 【答案】（1），对称轴方程； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的周期性和对称性求解即可. （2）先根据平移变换和周期变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质求解即可. （3）由题意可得为方程在上的两解，不妨设，求出，再根据二倍角的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 依题意，函数， 所以函数的周期； 令，得 所以函数图象的对称轴方程. 【小问2详解】 依题意，，由，得， 由，得，令，，， 设，直线与函数在上的图象有四个交点， 点关于直线对称，点关于直线对称， 点关于直线对称，则，，， 即，则 所以. 【小问3详解】 方程在上的解为，则为方程在上的两解，当， 当时，，，， ，，，， ，，则， ， 于是，所以. 同理当时，. 综上. 19. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”. （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围. 【答案】（1） 函数不是“旋转函数”，理由如下： 逆时针旋转后与轴重合， 当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾， 因此函数不是“旋转函数”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可. （2）将已知条件转化为函数与直线最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离，构造新函数，转化为新函数在上单调，进而求解. （3）同问题（2）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得 函数与函数最多有1个交点， 且， 所以最多有一个根， 即最多有一个根， 因此函数与函数R最多有1个交点， 即函数在上单调， 因为，且， 所以，所以， 即，，即的最大值为. 【小问3详解】 由题意可得函数与函数最多有1个交点， 即， 即函数与函数最多有1个交点， 即函数在上单调， ，当时， 所以， 令，则， 因为在上单调减，且， 所以存在，使， 即， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即. 【点睛】方法点睛：利用函数的零点与对应方程的根的关系，我们经常进行灵活转化： 函数的零点个数方程的根的个数函数与图象的交点的个数； 另外，恒成立求参数范围问题往往分离参数，构造函数，通过求构造函数的最值来求出参数范围，例：若恒成立，只需，恒成立，只需. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $