精品解析：江苏省南通市如皋初级中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题

如皋初中2022～2023学年度第一学期练习 九年级数学 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 如果反比例函数的图象经过点，那么这个函数的解析式为( ) A. y= B. y= C. y= D. y=- 2. 反比例函数上图象上有三个点，其中，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法将二次函数化为的形式为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ） A. B. C. D. 5. 某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ） A. 11分钟 B. 12分钟 C. 15分钟 D. 20分钟 6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 7. 如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=﹣的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（） A. 4 B. ﹣4 C. 8 D. ﹣8 8. 已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（ ） A. 4 B. 2 C. –2 D. -4 9. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 10. 已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题4分，共30分） 11. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______． 12. 如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是______． 13. 如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，S△OAB=6，则k =______________ 14. 若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为6，对称轴为直线x＝﹣2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 _____． 15. 二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下： x … ﹣3 0 1 3 5 … y … 7 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为 _____． 16. 如图，正方形的边长为10，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的解析式为_________． 17. 定义：min{a，b}＝若函数y＝min{x＋1， }，则该函数的最大值为___________. 18. 在直角坐标系中，点的坐标为，若抛物线与线段有且只有一个公共点，则的取值范围为______． 三、解答题（共8小题） 19. 已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． （2）求当，且时自变量x的取值范围． 20. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的函数表达式： （2）直接写出：不等式的解集是______； （3）求的面积． 21. 如图，是反比例函数在第一象限图象上的一点，连接，过点作轴，截取(点在点上方)，连接，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）求的面积． 22. 一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为． （1）求铅球出手时离地面的高度； （2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为时，求此时铅球的水平距离． 23. 用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为米，窗户的透光面积为平方米（铝合金条的宽度不计）． （1）与之间的函数关系式为______（不要求写自变量的取值范围）； （2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积． 24. 为了推进乡村振兴道路，解决特产销售困难的问题，云南某乡政府在芒果成熟后，帮助果农引进芒果经销商．已知某经销商从果农处进购芒果的成本价为4元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分． （1）求每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系； （2）当销售单价为多少时，该经销商每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 定义：对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x⩾0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x−1,它们的相关函数为y= . (1)已知点A(−5,8)在一次函数y=ax−3的相关函数的图象上，求a的值； (2)已知二次函数y=−x+4x− . ①当点B(m, )在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值； ②当−3⩽x⩽3时,求函数y=−x+4x−的相关函数的最大值和最小值. 26. 如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点， 与直线交于点，其对称轴与直线交于点，点是此抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式并直接写出直线的解析式； （2）如图1，若点是直线上方抛物线上的一点，连接、和，当与面积相等时，求点的横坐标； （3）如图2，连接，在此抛物线对称轴右侧的抛物线上是否存在点使得线段最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 如皋初中2022～2023学年度第一学期练习 九年级数学 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 如果反比例函数的图象经过点，那么这个函数的解析式为( ) A. y= B. y= C. y= D. y=- 【答案】C 【解析】 【分析】把代入，得k=（-4）×（-5）=20.可确定函数解析式. 【详解】把代入，得k=（-4）×（-5）=20， 所以，. 故选C 【点睛】本题考核知识点：求反比例函数解析式. 解题关键点：求出比例系数k. 2. 反比例函数上图象上有三个点，其中，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数的图象在二，四象限，在每一象限内随的增大而增大，再结合，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在二，四象限，在每一象限内随的增大而增大， 而， ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握“利用反比例函数的性质比较函数值的大小”是解本题的关键． 3. 用配方法将二次函数化为的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把二次项的系数化为1，再配方，从而可得答案． 【详解】解： ， 故选：D. 【点睛】本题考查的是利用配方法化抛物线为顶点式，熟练掌握“配方法”是解本题的关键． 4. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案． 【详解】解：由题意知，平移后的抛物线解析式为 将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求； 将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求； 将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求； 将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式． 5. 某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ） A. 11分钟 B. 12分钟 C. 15分钟 D. 20分钟 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出和时，关于的函数关系式，再求出时，的值，然后结合函数图象即可得出答案． 【详解】解：当时，设， 将点代入得：，解得， 则此时， 当时，设， 将点代入得：， 则此时， 综上，， 当时，，解得， 当时，，解得， 则当时，， 所以此次消毒的有效时间是（分钟）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象． 【详解】解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限； 当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限． 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标． 7. 如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=﹣的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（） A. 4 B. ﹣4 C. 8 D. ﹣8 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析： 可以设点C的坐标是（m，n），设AB与x轴交于点M，则△BMO∽△BAD， 则，因为AD=2+m，AB=2+n，OM=2，BM=n，因而得到 ， 即mn=4，点（m，n）在反比例函数y=﹣的图象上，代入得到：n=﹣ ， 则k=﹣2mn=﹣8．故选D． 考点：待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；相似三角形的判定与性质． 8. 已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（ ） A. 4 B. 2 C. –2 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】将点（1，m），（-1，3m）代入抛物线，得1+b+c=m，1-b+c=3m，得出b=-m，c=2m-1，再分情况讨论：①对称轴x=-≥1时，最小值在x=1处；②-1＜对称轴x=-≤1时，最小值在x=-处. 【详解】解：将点（1，m），（-1，3m）代入抛物线，得 1+b+c=m，1-b+c=3m， ∴b=-m，c=2m-1 则， 对称轴为， ∵a=1＞0 ∴最小值在x=-处，最小值为-6， ∴=-6， =4c+24， 将b=-m，c=2m-1代入，得 -8m-20=0 解得m=-2或m=10 又 ∴m=-2 故选：C. 【点睛】本题主要考查抛物线的最值问题，通过讨论对称轴的位置进而确定最值，数形结合是解决问题的关键. 9. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案． 【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 故选：C． 10. 已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图，二次函数图像的性质，根据题意得出相应的函数关系式是解答本题的关键．分别求出，，，的函数关系式即可判断． 【详解】解：①当时，， 函数图像为开口方向向上的抛物线； ②当时，如图， 设交于，则， 则， ， 函数图像为开口方向向下的抛物线； ③当时，； ④当时，同理可得， 函数图像为开口方向向下的抛物线； 故只有选项C符合题意． 故选：C． 二、填空题（共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题4分，共30分） 11. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【答案】2019 【解析】 【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果． 【详解】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0， ∴m2-m=1， ∴-3m2+3m+2022 =-3（m2-m）+2022 =-3+2022 =2019． 故答案为：2019． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值． 12. 如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（-1，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0） 而对称轴x＝1 ∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0） 当＞0时，图象在x轴上方 此时x＜﹣1或x＞3 故答案为x＜﹣1或x＞3． 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 13. 如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，S△OAB=6，则k =______________ 【答案】8 【解析】 【分析】过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥x轴，根据A， B是反比例函数 ( k>0)在第一象限内的图象上的两点， ，，再根据S四边形ABCO= +S四边形ADCB=，得=S四边形ADCB，列出方程，解出即可． 【详解】解：过点A作AD⊥x轴，过点B作BC⊥x轴， A， B是反比例函数 ( k>0)在第一象限内的图象上的两点， ， S四边形ABCO= +S四边形ADCB=， =S四边形ADCB． ，S△OAB=6， ， k=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用，其中辅助线的做法是解题关键． 14. 若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为6，对称轴为直线x＝﹣2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 _____． 【答案】x1＝﹣5，x2＝1 【解析】 【分析】根据函数的对称轴为直线x＝﹣2以及抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为6，即可求出两个交点坐标，而抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标即为关于x的方程ax2+bx+c＝0的解． 【详解】解：函数的对称轴为直线x＝﹣2， 抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两个交点之间的距离为6， 则两个交点的坐标分别为：（﹣5，0），（1，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣5，x2＝1． 故答案为：x1＝﹣5，x2＝1． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点与对称轴之间的关系． 15. 二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下： x … ﹣3 0 1 3 5 … y … 7 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为 _____． 【答案】， 【解析】 【分析】从表中找到三对数值，将三对数值分别代入y=ax2+bx+c组成方程组，求出a、b、c的值，然后再运用因式分解法求解方程即可得到结论． 【详解】解：将（-3，7），（0，-8），（1，-9）代入y=ax2+bx+c得， 整理得， ②×3+①，得 ∴ 把代入②得， ∴ 又 ∴一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5可变形为： 即： ∴ ∴，或 解得，， 故答案为：， 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法，从图表中找到相关的量是解题的关键． 16. 如图，正方形的边长为10，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则该反比例函数的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作轴于点E，由“AAS”可证，进而得，，可求点C坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于E， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图象过点C， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查正方形的性质及反比例函数，关键是通过正方形的性质构造三角形全等，进而得到点C的坐标，然后根据求解反比例函数解析式的知识进行求解即可． 17. 定义：min{a，b}＝若函数y＝min{x＋1， }，则该函数的最大值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义画出函数图象，设直线y=x+1，抛物线，联立直线与抛物线方程得抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【详解】解：依题意，设直线y=x+1，抛物线， 联立直线与抛物线方程得 ， 解得或， ∴直线与抛物线交点坐标为（-1，0），（2，3）， 如图， ∴x≤-1时，y=，函数最大值为y=0， -1＜x≤2时，y=x+1，函数最大值为y=3， 当x＞2时，y=，y＜3， ∴x=2时，函数取最大值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．通过数形结合求解． 18. 在直角坐标系中，点的坐标为，若抛物线与线段有且只有一个公共点，则的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：抛物线的顶点在x轴上和抛物线的顶点在x轴下方两种情况求解可得． 【详解】∵点的坐标为，抛物线与线段有且只有一个公共点， ∴抛物线顶点在x轴上，或者当x=0时，y<0；且当x=3时,y>0； ∴或， 解得，或. 故答案为或 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 三、解答题（共8小题） 19. 已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． （2）求当，且时自变量x的取值范围． 【答案】（1）， 反比例函数图象的另一支如图所示． （2）或 【解析】 【分析】（1）将图中给出的点代入反比例函数表达式，即可求出解析式，并画出图象； （2）当时，，解得，结合图象即可得出x的取值范围． 【小问1详解】 解：（1）把点代入表达式， 得， ∴， ∴反比例函数的表达式是． 【小问2详解】 当时，，解得． 由图象可知，当，且时， 自变量x的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 20. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的函数表达式： （2）直接写出：不等式的解集是______； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或． （3）4 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解决本题的关键． （1）用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求出点坐标，再将，点坐标代入一次函数求解即可； （2）根据图象即可得出不等式的解集； （3）先求出点坐标，再分别求出和的面积即可求出的面积． 【小问1详解】 解： 反比例函数的图象过， ， 反比例函数的解析式为：， 点在反比例函数图象上， ， ， 点的坐标为， 将点，坐标代入一次函数中， 得， 解得， 一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：根据图象可知，不等式的解集是：或． 故答案为：或． 【小问3详解】 解：一次函数与轴相交于点， 点坐标为， ， 点坐标为， ， 点坐标为， ， ． 21. 如图，是反比例函数在第一象限图象上的一点，连接，过点作轴，截取(点在点上方)，连接，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式． （1）把代入即可得到反比例函数的解析式为；根据勾股定理得到，求得，于是得到结论； （2）设所在直线解析式为，将点代入得，求得所在直线解析式为；解方程组得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：是反比例函数在第一象限图象上的一点， ， 反比例函数的解析式为； ， ， 轴， ； 【小问2详解】 设所在直线解析式为， 将点代入得， 所在直线解析式为； 联立解析式：， 解得：，， 点在第一象限， ，， ． 22. 一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为． （1）求铅球出手时离地面的高度； （2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为时，求此时铅球的水平距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求得c的值即可； （2）将代入求出x的值即可得． 本题主要考查二次函数的应用，准确理解铅球出手时离地面的高度和高度为时铅球的水平距离在函数解析式中对应的变量是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，将代入， 得：， 解得：， ∴铅球出手时离地面的高度． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的解析式为， 根据题意，将代入， 得：， 整理，得 解得：（舍去）， ∴当它离地面的高度为时，此时铅球的水平距离为． 23. 用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为米，窗户的透光面积为平方米（铝合金条的宽度不计）． （1）与之间的函数关系式为______（不要求写自变量的取值范围）； （2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积． 【答案】（1） （2）窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】（1）根据题意，窗框的高为米，则宽为米，然后根据矩形面积公式列出函数关系式； （2）将函数解析式改为顶点式，然后求最大值. 本题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数关系式并掌握将二次函数一般式转化为顶点式求最值是本题的解题关键． 【小问1详解】 解：根据题意，窗框的高为米，则宽为米， 根据题意，得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∵， ∴当时，y有最大值，且最大值为， 即窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米， 答：窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米． 24. 为了推进乡村振兴道路，解决特产销售困难的问题，云南某乡政府在芒果成熟后，帮助果农引进芒果经销商．已知某经销商从果农处进购芒果的成本价为4元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分． （1）求每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系； （2）当销售单价为多少时，该经销商每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为16时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分段求出二次函数和一次函数解析式合起来即可求出整个函数解析式； （2）设利润为w元，分段表示出利润的表达式，求出各段的利润最大值进行比较即可． 【小问1详解】 当4≤x≤8时，设y与x的函数关系式为， ∵点（4，40）在该函数图象上， ∴，得k＝160， ∴当4≤x≤8时，y与x的函数关系式为， 当8＜x≤28时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b， ， 解得， 即当8＜x≤28时，y与x的函数关系式为， 由上可得； 【小问2详解】 解：设利润为w元， 当4≤x≤8时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝8时，w取得最大值，此时， 当8＜x≤28时，， ∴当x＝16时，w取得最大值，此时w＝144， ∵144＞80， ∴当销售单价为16时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是144元， 答：当销售单价为16时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了分段函数的实际应用，是二次函数和一次函数的综合题，求出分段函数解析式是做出本题的关键． 25. 定义：对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x⩾0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x−1,它们的相关函数为y= . (1)已知点A(−5,8)在一次函数y=ax−3的相关函数的图象上，求a的值； (2)已知二次函数y=−x+4x− . ①当点B(m, )在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值； ②当−3⩽x⩽3时,求函数y=−x+4x−的相关函数的最大值和最小值. 【答案】（1）1；（2）①m=2− 或m=2+或m=2− ；②最大值为 ,最小值为−. 【解析】 【分析】（1）写出y=ax-3的相关函数，代入计算； （2）①写出二次函数y=−x+4x−的相关函数，代入计算； ②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答． 【详解】(1)y=ax−3的相关函数y= ， 将A(−5,8)代入y=−ax+3得：5a+3=8， 解得a=1； (2)二次函数y=−x+4x−的相关函数为y= ， ①当m<0时,将B(m, )代入y=x-4x+ 得m-4m+， 解得：m=2+ (舍去),或m=2−， 当m⩾0时,将B(m, )代入y=−x+4x−得： −m +4m− ， 解得：m=2+或m=2−. 综上所述：m=2− 或m=2+或m=2− ； ②当−3⩽x<0时, y=−x+4x−，抛物线的对称轴为x=2， 此时y随x的增大而减小， ∴此时y的最大值为， 当0⩽x⩽3时,函数y=−x+4x−，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值,最小值为−,当x=2时,有最大值,最大值y= ， 综上所述,当−3⩽x⩽3时,函数y=−x+4x−的相关函数的最大值为 ,最小值为−. 【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于将已知点代入解析式. 26. 如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点， 与直线交于点，其对称轴与直线交于点，点是此抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式并直接写出直线的解析式； （2）如图1，若点是直线上方抛物线上的一点，连接、和，当与面积相等时，求点的横坐标； （3）如图2，连接，在此抛物线对称轴右侧的抛物线上是否存在点使得线段最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）0或3 （3）存在点，坐标 【解析】 【分析】（1）代入、坐标可求答案； （2）用等面积法求出的解析式，再和抛物线联立即可； （3）通过平移将点移到原点，让整个图象的解析式变得简单，再用代数法表示的长度，配方即可． 【小问1详解】 解：把和代入， 得：， 解方程组：， 此抛物线的解析式为：； 设直线的解析式为：， 把两点坐标代入，得， 解得：， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 过点作交轴于点， 由，两点坐标得：， ， ， 与面积相等， ， ， ， 直线的解析式为：，与轴交点为， 点坐标为， 点坐标为， 直线， 直线的关系式为：， 联立方程组：， 解得：或， 点坐标为或， 点横坐标为0或3； 【小问3详解】 存在点，坐标，理由如下： ， 对称轴为直线， 代入解析式求出 点坐标为， 将整个图象整体平移，向左平移1个单位，向下平移个单位，使为原点， 则平移后解析式为， 此时，， ， 时，最小， 或（舍去）， 平移后的， 平移之前的，即， 故存在点，坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法以及与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用平移将复杂的代数计算变得简单化，是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $