第二十三章 解直角三角形单元测试2024-2025学年沪科版数学九年级上册

沪科版数学九上 第二十三章 解直角三角形 一、单选题 1．在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．已知在中，．若，则等于（　　） A． B． C． D．1 3．如图，一架飞机在空中处检测到正下方地平面目标，此时飞机的飞行高度米，从飞机上看地平面指挥台的俯角，此时长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，坡面AB=，则堤高的高度是（    ） A． B． C． D． 5．在锐角三角形ABC中，若，则∠C等于（   ） A．60° B．45° C．75° D．105° 6．在中，，下列式子中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，有一斜坡，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度为1：2，则此斜坡AB为(        ) A．m B．60m C．30m D．15m 8．在△ABC中,∠C=90°,若把AB,BC都扩大为原来的m倍,则cos B的值是(　　) A．mcosB B．cos B C． D．不变 9．沈钰琴同学住在第三小学对面的金惠大厦，教学楼与金惠大厦的水平距离为，某日她在自己房间窗口P测得教学楼顶部A的俯角为，教学楼底部B的俯角为，则教学楼的高度为（    ）m    A．50 B． C． D． 二、填空题 10．计算sin60°tan60°－cos45°cos60°的结果为 ． 11．如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = 米； 12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sin的值是 13．已知cosA=，且∠B=90°-∠A，则sinB= ． 14．如图，在中，为边上的中线，，若，的面积为20，则线段的长为 ． 学科网（北京）股份有限公司 15．如图，在高楼AB前D点测得楼顶A的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得楼顶A的仰角为60°，则该高楼AB的高度为 米． 16．泗水泗河大桥采用H型塔型斜拉桥结构(如甲图)，图乙是从图甲抽象出的平面图．测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC为2米，两拉索底端距离BD为10米，则立柱AH的长是 米(结果精确到0.1米)．(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)    17．如图，一根长为100 cm的木棒，斜靠在竖直的墙面上，当木棒与水平地面所成角为50°时，木棒顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处．将木棒底端向外滑动，使木棒与地面所成角为40°，则木棒顶端下降了 cm（结果根据四舍五入法精确到个位，sin40°＝0.6428，sin50°＝0.7660）． 18．如图，点O为坐标系原点，点A为y轴正半轴上一点，点B为第一象限内一点，，，将绕点O顺时针旋转一个锐角度数至，此时反比例函数刚好经过，的中点，则 ． 三、解答题 19．先化简再求值： ，其中． 20．如图，△ACD和△ABE均为等腰直角三角形，其中AC＝AD＝2，AB＝AE＝2，∠BAE＝∠DAC＝90°，点B在CD的延长线上，连接CE． （1）填空：点A到BC的距离为　 　； （2）求△ABC的面积； （3）求tan∠CBE． 21．如图，某数学活动小组用高度为米的测角仪，对垂直于地面的建筑物的高度进行测量，于点C．在B处测得A的仰角，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至处，于点G，测得A的仰角，的延长线交于点E，求建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：） 22．【回顾】 如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于 ． 【探究】 图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°=，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°=，请你写出小明或小丽推出sin75°=的具体说理过程． 【应用】 在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）． （1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值； （2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由． 参考答案： 1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．A 7．A 8．D 9．B 10．1 11．80 12． 13． 14． 15．30. 16．17.0 17．12 18． 19．解：原式 ， ∵， ∴原式 ． 20．解：（1）过点A作AF⊥CD于F， ∵△ACD是等腰直角三角形，AC＝AD＝2， ∴∠ADF=∠DAF=45° ∴AF=DF 又∵AF⊥CD ∴， ∴ ∴ ∴点A到BC的距离为：， （2）在Rt△ABF中， ∵AB＝，AF＝， ∴ ∵△ADC为等腰直角三角形，AF⊥CD， ∴CF＝DF＝AF＝， ∴BC＝BF+CF＝， ∴ （3）∵△ABE、△ADC为等腰直角三角形， ∴∠BAE＝∠DAC＝90°，AB＝AE，AD＝AC， ∴∠BAD+∠DAE＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△EAC中， ∴△BAD≌△EAC（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠AEC， ∵∠1＝∠2，且∠ABD+∠1+∠BAE＝180°，∠AEC+∠2+∠BCE＝180°， ∴∠BCE＝∠BAE＝90°， ∵BD＝BC﹣CD＝BC﹣2CF＝， ∴CE＝， ∴tan∠CBE＝． 21．解：根据题意可知四边形是矩形， ． 如图，． ， ． ， ． （米） 答：建筑物的高度约为米． 22．如图1中，作AH⊥BC． 在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，∴AH=AB•sin30°=，∴S△ABC=•BC•AH=×4×=3，故答案为3． 探究：如图3中， 由题意可知四边形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC=b，∵S四边形ABCD=BC•AB•sin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH ∴b•2a•sin75°=2××a×a+2××b2+（a﹣b）（b﹣a），∴2absin75°=ab+ab，∴sin75°=． 如图4中， 易知四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=75°，∴S四边形EFGH=2S△ABE+2S△ADF+S平行四边形ABCD，∴（a+b）（a+b）═2××a×a+2××b2+b•2a•sin75°，∴sin75°=． 应用：（1）作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，连接BH，EH． 在Rt△DCJ中，JC=CD•sin75°=，∴CH=2CJ=，在Rt△BHC中，BH2=BC2+CH2=36+=86+25，∵EC=EH，∴EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，∴BE+EC的最小值为BH，∴t=BE+CE，t2的最小值为BH2，即为86+25． （2）结论：点G不是AD的中点． 理由：作CJ⊥AD于J，DH⊥CG于H． 不妨设AG=GD=5，∵CD=5，∴DC=DG，∵DH⊥CG，∴GH=CH=3，在Rt△CDH中，DH= ==4，∵S△DGC=•CG•DH=•DG•CJ，∴CJ=，∴sin∠CDJ=，∵∠CDJ=75°，∴与sin75°=矛盾，∴假设不成立，∴点G不是AD的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $$