1.1.4 等边三角形 课件 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

北师大版 数学 八年级下册 第一章 三角形的证明 1.1.4等边三角形 学习目标 1、探索等边三角形的判定条件并证明正确性，运用所学知识进行相关的证明和计算（重点） 2、探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程（难点） 上面图片是由哪些图形构成的？ 提出问题，导入新课 （1）一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.（判定定理二） ②三个角相等的三角形是等边三角形.（判定定理一） （2）等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 思考 你能证明这些结论吗？ 探求新知 ①三条边相等的三角形是等边三角形（定 义）. 一、等边三角形的判定定理（一） A C B 性质：等边三角形的三个角都相等 三个角都相等的三角形是等边三角形。 互逆 探求新知 证明 A C B ∴ AB=BC=AC ∴ △ABC是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形。 已知：在中△ABC中，∠A=∠B=∠C 求证： △ABC是等边三角形 证明： ∵∠B=∠C ∴ AB=AC ∵∠A=∠B ∴ BC=AC 等腰三角形判定定理： 等角对等边 探求新知 A C B 几何语言： ∵ ∠A=∠B =∠C(已知) ∴ △ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形。). 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 探求新知 归纳 等腰三角形 等边三角形 探求新知 一、等边三角形的判定定理（二 ） 等腰三角形 等边三角形 + ？ 边 + 角 60° 60° 60° 60° 60° 60° 探求新知 一、等边三角形的判定定理（二 ） 等腰三角形 等边三角形 + ？60° 1个60°角 探求新知 证明 A C B ∵ ∠A +∠B+∠C=180° ∴ ∠A +2∠B=180° ∴ 60°+2∠B=180° ∴ ∠B=60° ∴ ∠A =∠B=∠C=60° ∴△ABC是等边三角形 已知：在等腰△ABC中，AB=AC，有一个内角是60° 求证： △ABC是等边三角形 证明： ∵AB=AC (已知), ∴ ∠B=∠C (等角对等边). ① 若顶角∠A=60° ∴ ∠B =∠C=60° ∵ ∠A +∠B+∠C=180° ∴ ∠A +60°+60°=180° ∴ ∠A=60° ∴ ∠A =∠B=∠C=60° ∴△ABC是等边三角形 分类讨论 判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 ②若底角∠B=60° 探求新知 A C B 等边三角形 几何语言： ∵AB=AC ∠B=60°（或∠A=60°或∠C=60°） ∴ △ABC是等边三角形 判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 探求新知 归纳 阶段小结 A C B 判 定 1、三条边都相等的三角形是等边三角形 2、三个角都相等的三角形是等边三角形。 3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 60° 60° 60° 60° A C B A C B 探求新知 证明： ∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60° ∵ED∥BC ∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60° ∴∠A=∠ADE=∠AED ∴△ADE是等边三角形 1、如图，已知△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E，求证：△ADE是等边三角形。 A E D C B 例题 探求新知 等边 三角形 性质 判定的条件 三条边都相等 “三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 归纳总结 探求新知 2024/8/8 15 操作:用两个全等的含有300角的三角尺，拼成一个三角形。（两人合作完成） 思考：直角三角形中是否存在边的数量关系？ （提示：测量直角三角形三边长度） 300 300 300 300 300 300 二、含300角的Rt △定理 探求新知 300 300 二、含300角的Rt △定理 300 转化思想 探求新知 结论: 在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300 求证:BC=AB. 300 A B C D 定理证明 证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD ∵ ∠ACB=900, ∴∠ACD=900 在△ABC与△ADC中 ∵BC=DC ∠ACB=∠ACD AC=AC ∴△ABC≌△ADC（SAS） 探求新知 ∴ AD=AB ∵∠ACB=900,∠A=300 ∴∠B=600 ∴AB=BD ∴BC=AB=BD 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言： 在△ABC中, ∵∠ACB=900,∠A=300. ∴BC=AB. A B C 300 探求新知 归纳 解:∵∠B=∠ACB=150 ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300 ∴在Rt△ADC中， ∠DAC=300 ∴CD= AC=a A C B D 150 150 例3 .已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求:腰上的高. 2a 2a 探求新知 1、在Rt△ABC中，如右图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8 cm，则BC等于（ ） A.3.8 cm B.7.6 cm C.11.4 cm D.11.2 cm C 随堂练习 21 2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°， AB⊥AD，则下列关系式正确的为(　　) A．BD＝CD B．BD＝2CD C．BD＝3CD D．BD＝4CD B 3.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( ) A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元 B 23 √ 4.判断： 1）直角三角形中30º角所对的直角边等于另一 直角边的一半． 2）三角形中30º角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中最小的直角边是斜边的一半。 4）直角三角形的斜边是30º角所对直角边的2倍． 5.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图①,衣架杆OA=OB=18 cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图②,则此时A,B两点之间的距离是　　cm. 18 25 6.如图,AC与BD相交于点O,若OA=OB,∠A=60°,且AB∥CD.求证:△OCD是等边三角形. 证明:∵OA=OB,∠A=60°, ∴∠B=∠A=60°. 又∵AB∥CD, ∴∠C=∠A=60°,∠D=∠B=60°, ∴∠COD=∠D=∠C=60°, ∴△OCD是等边三角形. 本节课我们主要学习了哪些知识? 【课堂小结】 1.等边三角形的判定定理及其证明； 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 1.整理完成导学案； 2.完成《同步》1.1第4课时内容 作业 $$