精品解析：吉林省长春市第五十二中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

九年级第二阶段验收数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟． 注意事项: 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列选项中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，故A选项不符合题意； B、，故不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、是最简二次根式，故C选项符合题意； D、，故不是最简二次根式，故D选项不符合题意； 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2， ∴此函数的顶点坐标是（1，2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法． 3. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的定义判断即可． 【详解】因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等边三角形一定相似， 故A不符合题意； 因为两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等腰直角三角形一定相似， 故B不符合题意； 因为两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， 所以两个菱形不一定相似， 故C符合题意； 因为两个正方形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个正方形一定相似， 故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形即对应边成比例，对应角相等的两个多边形，熟练掌握定义是解题的关键． 4. 若，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可设，，代入原式，计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，， 将，代入中，得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，运用分式基本性质进行正确运算是解题的关键． 5. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】计算判别式即可判断一元二次方程的跟的情况． 【详解】解： ， 有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题主要考查利用判别式判断一元二次方程根的个数： ，方程有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，方程没有实数根，掌握利用判别式来判断一元二次方程根的个数是解题的关键． 6. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 购买二张彩票，一定中奖 B. 打开电视，正在播放极限挑战 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 任意一个五边形的外角和等于360° 【答案】D 【解析】 【分析】根据购买彩票不一定中奖，判断A，再根据打开电视，不一定播放极限挑战，判断B，然后抛硬币，不一定正面朝上，判断C，最后根据任意多边形的外角和等于360°，判断D即可． 【详解】因为购买彩票不一定中奖，所以是随机事件，则A不符合题意； 因为打开电视，不一定播放极限挑战，所以是随机事件，则B不符合题意； 因为抛一枚硬币，不一定正面朝上，所以是随机事件，则C不符合题意； 因为任意一个五边形的外角和等于360°，所以是必然事件，则D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了事件的判断，掌握事件分为随机事件和必然事件是解题的关键． 7. 如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平行线分线段成比例性质得到，整理得，结合题意解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 8. 如图所示，在四边形ABCD中，，∠C=30°，M为AD中点，动点P从点B出发沿BC向终点C运动，连接AP，DP，取AP中点N，连接MN，求线段MN的最小值（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位线的性质可知MN等于DP的一半，求DP的最小值即可． 【详解】解：∵M为AD中点，N为AP中点， ∴， 当DP⊥BC时，DP长最小，如图所示， ∵DP⊥BC， ∴， ∵∠C=30°，， ∴， ∴， 即线段MN的最小值为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质、直角三角形的性质，垂线段最短，解题关键是明确中位线的性质和垂线段最短的性质，根据直角三角形性质求出最小值． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若抛物线L：有最高点，则的取值范围______． 【答案】m＜2 【解析】 【分析】根据题意，抛物线有最高点可知二次函数图像开口向下，由此解出答案． 【详解】解：由抛物线有最高点， 则可知有最大值， ∴二次函数图像开口向下，所以该二次函数解析式的二次项系数m－2＜0， 解得m＜2． 故答案为：m＜2 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数图像和性质是解题关键． 10. 如果线段，那么它们的比例中项是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主考查比例的基本性质，运用方程思想解决问题，根据比例中项的概念结合比例的基本性质得，比例中项的平方等于两条线段的乘积，由此即可求解． 【详解】解：设比例中项为， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到二次函数的表达式为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的二次函数表达式为， 即二次函数的表达式为． 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，掌握其平移规律是关键． 12. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作的垂线，与的延长线交于点D，在中，由，，可得是等腰直角三角形，计算即可得出答案． 【详解】解：过点A作的垂线，与的延长线交于点D． 如图，在中， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造直角三角形进行求解是解决本题的关键． 13. 如图，在矩形中，，．若矩形与矩形位似，点F在矩形的内部，且相似比为，则点C、F之间的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，先由勾股定理求得AC=4，再根据矩形与矩形位似，点F在矩形的内部，且相似比为，得，即可求出AF长，然后由CF=AC-A即可求解． 【详解】解：如图，连接AC， ∵矩形， ∴∠B=90° ∴AC=， ∵矩形与矩形位似，点F在矩形的内部，且相似比为， ∴点F在AC上， ∴，即， ∴AF=3， ∴CF=AC-AF=4-3=， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 14. 如图，点A在x轴正半轴上，点B在第二象限内，直线交y轴于点F，轴，垂足是C，反比例函数的图象分别交，于点，E，若，则的面积为________． 【答案】9 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，过点E作轴于H，则轴，得到，由，进一步求出，求出，得到点，．再证，，即，求出，进一步即可求得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，轴， ∴，， ∴，， 过点E作轴于H，则轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点E的横坐标为﹣2， 又E在反比例函数的图象上， ∴时，， ∴，． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故答案为：9 【点睛】此题考查了坐标与图形性质，待定系数法求反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值计算． 16. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】（1）整理成一般形式后用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 原方程整理得，， 则， ∵， ∴， 即，； 【小问2详解】 则， ∵， ∴， 即，． 【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键． 17. 春开学，为防控新冠病毒，学生进校必须戴口罩，测体温，某校开通了、、三条人工测体温的通道，在三个通道中，可随机选择其中的一个通过，求甲、乙两学生在进校园时，在同一通道过的概率．（用画“树状图”或“列表格”） 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和甲、乙两学生在进校园时，在同一通道过的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲、乙两学生在进校园时，在同一通道过的结果有种， 甲、乙两学生在进校园时，在同一通道过的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数的比值． 18. 如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米，求小路的宽． 【答案】小路的宽为2米 【解析】 【分析】设小路宽为x米，则非阴影部分可合成长为米，宽位米的矩形，根据非阴影部分的面积是230平方米，即可列出关于x的一元二次方程，解之即可． 【详解】解：设小路宽为x米，则非阴影部分可合成长为米，宽位米的矩形， 依题意可得： ， 解得（不符合题意，舍去）， ∴小路的宽为2米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2） 如图，即为所作， 【解析】 【分析】（1）利用点关于y轴对称的性质得出的坐标，顺次连接点即可得出所求图形； （2）利用关于原点位似图形的性质得出，的坐标，顺次连接点即可得出所求图形． 【小问1详解】 利用点关于y轴对称的性质得出坐标， 顺次连接点即可得； 【小问2详解】 ∵位似比为， 又要求在y轴的左侧， ∴得到点， 顺次连接点即可得． 【点睛】本题考查了作图—位似变换和轴对称变换，理解轴对称图形与位似图形的画法是解题的关键． 20. 如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿方向前进到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，若建筑物高度，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，，在Rt中，求得，设，则，在Rt中，得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 在Rt中，， 解得， 设，则， 在Rt中，， 解得． 经检验是原方程的解且符合题意． ∴CD的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 21. 推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长t（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组组组组组进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： 所抽取学生周锻炼时长的频数直方图所抽取学生周锻炼时长的扇形统计图 （1）这次抽样调查的样本容量是______，A组所在扇形的圆心角的大小是______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若该市共有5万名初中生，请你估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生人数． 【答案】（1）500， （2） 补全频数分布直方图如图所示； （3）19000人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是解题的关键． （1）由组人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以A组人数所占百分比即可求解； （2）根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，即可补全图形； （3）用总人数乘以样本中、组人数和所占比例即可； 【小问1详解】 解：这次抽样调查的样本容量是． A组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：组的频数为； 【小问3详解】 解：(人)． 答：该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生人数约为19000人． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象恰好经过，两点． （1）求该抛物线解析式． （2）用配方法把这个二次的数化成的形式； （3）当时，直接写出y的取值范围________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把A、B点的坐标分别代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可； （2）利用配方法把一般式化为顶点式； （3）先计算出和所对应的函数值，然后根据二次函数的性质得到当时所对应的y的取值范围． 【小问1详解】 根据题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由题意得 ； 【小问3详解】 当时，， 当时，， 而时，y有最小值， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求解二次函数解析式和二次函数的图象和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 23. 【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图，在中，点D为边上的中点，，，求线段长的取值范围．我们采用的方法是延长线段到点E，使得，连结，可证，可得，根据三角形三边关系可求的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”，则的范围是：________． 【拓展应用】 （1）如图，在中，，，，，求的长． （2）如图，在中，D为边的中点，分别以为直角边向外作直角三角形，且满足，连结，若，则________．（直接写出） 【答案】问题探究：；拓展应用：（1）；（2）4 【解析】 【分析】问题探究：根据三角形三边关系求出的范围，进而得到的范围； 拓展应用： （1）延长到点E，使，连接，先证，得到，，在中，根据勾股定理求即可得到的值； （2）延长到点G，使，连接，根据，得到，证明，得到，进而得到的值． 【详解】解：问题探究： 在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展应用： （1）如图，延长到点E，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴； （2）如图，延长到点G，使，连接， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形综合题，判定并利用相似三角形的性质求线段的长度是解决本题的关键． 24. 已知中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D为BC中点，连接AD．一动点P从点A出发，沿折线AB－BC向终点C运动，在AB边上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC边上以每秒2个单位长度的速度运动．连接PD，以PA、PD为邻边构造平行四边形APDQ．设运动时间为t（t>0）． （1）________． （2）用含t的代数式表示线段BP． （3）当平行四边形APDQ与重叠部分图形是轴对称图形时，求t的值． （4）当0<t<3时，平行四边形APDQ被三角形ABC的边分成两部分的图形面积比为1:7时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）当0<t<1时，PB＝5－5t；当时，PB＝2t－2 （3）或或或． （4）或 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的“三线合一”证明，则，根据勾股定理求出的长，再求出的值即可； （2）根据题意，点在上的速度为每秒5个单位长度，点在上的速度为每秒2个单位长度，先确定点在上、点在上运动时的取值范围，即可得到，当时，如图1，；当时，； （3）分四种情况，当时，，此时平行四边形与重叠部分图形是矩形，则，列方程求出的值；当时，，此时平行四边形与重叠部分图形是菱形，可证得，即可列方程求出的值；当时，，此时平行四边形与重叠部分图形是等腰梯形，可列方程；当时，，此时平行四边形与重叠部分图形是等腰梯形，可列方程； （4）设交于点，作于点，由平行四边形被分成两部分的图形面积比为求得，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求出的值即可． 【小问1详解】 如图1，，，点为中点， ，， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 当点与点重合时，则，解得； 当点与点重合时，则，解得， 当时，如图1，； 当时，如图3，． 【小问3详解】 当时，如图1，，此时平行四边形与重叠部分图形是矩形， ， ， ， 解得； 当时，如图2，，此时平行四边形与重叠部分图形是菱形， ，，且， ， ， ， ， 解得， 当时，如图3，，此时平行四边形与重叠部分图形是轴对称图形， 解得； 当时，如图4，，此时平行四边形与重叠部分图形是轴对称图形， ， ， 综上所述，的值为或或或． 【小问4详解】 当时，如图5，设交于点，作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 当时，如图6，设交于点，作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定、等腰三角形的判定与性质、动点问题的求解、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二阶段验收数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟． 注意事项: 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列选项中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 4. 若，则＝（　　） A. B. C. D. 5. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 6. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 购买二张彩票，一定中奖 B. 打开电视，正在播放极限挑战 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 任意一个五边形的外角和等于360° 7. 如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在四边形ABCD中，，∠C=30°，M为AD中点，动点P从点B出发沿BC向终点C运动，连接AP，DP，取AP中点N，连接MN，求线段MN的最小值（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若抛物线L：有最高点，则的取值范围______． 10. 如果线段，那么它们的比例中项是______． 11. 将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到二次函数的表达式为________________________． 12. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为___________． 13. 如图，在矩形中，，．若矩形与矩形位似，点F在矩形的内部，且相似比为，则点C、F之间的距离为_________． 14. 如图，点A在x轴正半轴上，点B在第二象限内，直线交y轴于点F，轴，垂足是C，反比例函数的图象分别交，于点，E，若，则的面积为________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 16. 解方程 （1）； （2） 17. 春开学，为防控新冠病毒，学生进校必须戴口罩，测体温，某校开通了、、三条人工测体温的通道，在三个通道中，可随机选择其中的一个通过，求甲、乙两学生在进校园时，在同一通道过的概率．（用画“树状图”或“列表格”） 18. 如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米，求小路的宽． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标． 20. 如图，为了测量某建筑物的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿方向前进到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，若建筑物高度，求的长度． 21. 推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长t（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组组组组组进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： 所抽取学生周锻炼时长的频数直方图所抽取学生周锻炼时长的扇形统计图 （1）这次抽样调查的样本容量是______，A组所在扇形的圆心角的大小是______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若该市共有5万名初中生，请你估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生人数． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象恰好经过，两点． （1）求该抛物线解析式． （2）用配方法把这个二次的数化成的形式； （3）当时，直接写出y的取值范围________． 23. 【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图，在中，点D为边上的中点，，，求线段长的取值范围．我们采用的方法是延长线段到点E，使得，连结，可证，可得，根据三角形三边关系可求的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”，则的范围是：________． 【拓展应用】 （1）如图，在中，，，，，求的长． （2）如图，在中，D为边的中点，分别以为直角边向外作直角三角形，且满足，连结，若，则________．（直接写出） 24. 已知中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D为BC中点，连接AD．一动点P从点A出发，沿折线AB－BC向终点C运动，在AB边上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC边上以每秒2个单位长度的速度运动．连接PD，以PA、PD为邻边构造平行四边形APDQ．设运动时间为t（t>0）． （1）________． （2）用含t的代数式表示线段BP． （3）当平行四边形APDQ与重叠部分图形是轴对称图形时，求t的值． （4）当0<t<3时，平行四边形APDQ被三角形ABC的边分成两部分的图形面积比为1:7时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $