9.3 向量基本定理及坐标表示同步练习-2023-2024学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

9.3 向量基本定理及坐标表示——2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第二册 一、单选题 1．已知向量 ， ，则 与 （　　） A．垂直 B．平行且同向 C．平行且反向 D．不垂直也不平行 2．已知向量 ，且 ，则x＝（　　） A．-2 B． C． D．2 3．已知，且，则（　　） A． B．2 C． D．8 4．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列说法正确的是（　　） A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．基底 中基向量与基底 基向量对应相等 6．设平面向量 ， ，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．在△ABC中，点E满足 ，且 ，则m﹣n=（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，分别在上，且，点为的中点，则下列各值中最小的为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知，，下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 11．已知向量，，，，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是 三、填空题 12．已知向量与共线，则　 　. 13．已知向量 ， ，若 // ，则 　 　. 14．已知向量 ，向量 满足 ，则 用基底 的线性表示为　 　 四、解答题 15．已知 ， . （1）若 ，求证： ； （2）设 ，若 ，求 ， 的值. 16．已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求的最小值. 17．已知两个单位向量与的夹角为60°. （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值. 18．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ， ， ． （1）若 ∥ ，求证：△ABC为等腰三角形； （2）若 ⊥ ，边长c=2，角C= ，求△ABC的面积． 19．如图，在正六边形中，，为上一点，且，，交于点 （1）当时，试用，表示； （2）求的取值范围． 答案 1．【答案】C 【解析】 向量 ， ， ，因此， 与 平行且反向. 故答案为：C. 【点评】根据平面向量的坐标关系得出，由此可得出结论。 2．【答案】C 【解析】由向量 ， 由 ，可得 ，所以 故答案为：C 【点评】根据向量平行的坐标公式直接计算即可得到答案. 3．【答案】B 【解析】，且， 则，解之得，则。 故答案为：B 【点评】利用已知条件结合向量共线的坐标表示，进而得出x，y的值，从而得出xy的值。 4．【答案】D 【解析】由 得： ，解得： 故答案为： 【点评】根据平面向量共线的坐标表示，解方程，求出x的值即可. 5．【答案】C 【解析】A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底， 所以A错. B项，空间基底有无数个， 所以B错. D项中因为基底不唯一，所以D错. 故答案为：C. 【点评】利用已知条件结合平面向量基本定理中基底的判断方法和向量相等的判断方法，从而找出说法正确的选项。 6．【答案】B 【解析】因为 与 的夹角为锐角， 所以 ， 向量 ， ， 所以 ， 整理得 ， ， 所以 的范围为 . 故答案为：B. 【点评】根据 与 的夹角为锐角，得到 ，再由向量的夹角公式将其夹角余弦值表示出来，得到关于 的不等式，解出 的范围，从而得到答案. 7．【答案】B 【解析】解：∵点E满足 ， ∴ = + = + = + （ ﹣ ）= + =m +n ， ∴m= ，n= ， ∴m﹣n=﹣ ， 故选：B 【点评】根据向量的加减的几何意义即可求出答案 8．【答案】D 【解析】由题意可得：， ， ， 对A：； 对B： 因为，则，可得， 即； 对C： 因为，则，可得， 即； 对D：， 因为，则，可得， 即； 综上所述：最小的. 故答案为：D. 【点评】以为基底向量表示，根据题意结合数量积的运算律分析判断. 9．【答案】A,B,C 【解析】，A符合题意；，B符合题意； ，则，C符合题意； ，D不符合题意. 故答案为：ABC. 【点评】按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断即可. 10．【答案】A,B 【解析】因为，， 所以，A符合题意； ，B符合题意； ，C不符合题意； ，D不符合题意. 故答案为：AB. 【点评】利用已知条件结合向量的坐标运算，进而找出计算正确的选项。 11．【答案】A,B,C 【解析】对于A，因为，，，所以，解得，所以A符合题意. 对于B，由，得， 则解得，故，所以B符合题意. 对于C，因为， 所以， 则当时，取得最小值，为，所以C符合题意. 对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角， 所以，解得； 当向量与向量共线时，，解得， 所以的取值范围是，所以D不正确. 故答案为：ABC. 【点评】利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，进而得出实数的值；利用已知条件 结合向量的坐标运算，从而结合对应相等得出实数的值，进而得出的值；利用已知条件结合向量的坐标运算和向量的模的坐标表示，再结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出 的最小值；利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积求向量夹角的公式，进而得出实数的取值范围，从而找出正确的选项。 12．【答案】 【解析】由题意知， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点评】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出x的值，从而得出向量的坐标，再结合向量的坐标运算和向量的模的坐标表示，进而得出的值。 13．【答案】 【解析】解：由题意得(-2)×1-3m=0，解得 故答案为： 【点评】根据向量平行的坐标表示求解即可. 14．【答案】 【解析】解：∵向量 满足 ，则 ， ⇒ ，（ ） ）=0， ⇒λ + ﹣ ﹣ =0， ⇒﹣4λ+13λ﹣5+4=0， ⇒λ= ． ∴ = ， 故答案为： ． 【点评】由已知可得 ， ⇒ ，（ ） ）=0，⇒λ + ﹣ ﹣ =0⇒λ= ，即可得 = ． 15．【答案】（1）解：由题意， ，即 ，又因为 ，∴ ，即 ，∴ （2）解： ，∴ ，由此得 ，由 ，得 ，又 ，故 ， 代入 得 ，而 ，∴ ， . 【解析】【点评】 （1）证明 即可； （2）根据向量相等列出方程组，解出α，β． 16．【答案】（1） （2） 17．【答案】（1）解：因为两个单位向量与的夹角为60° 所以 所以 （2）解：因为， 所以 【解析】【点评】（1）先由已知求出，再由可求得结果； （2）先求出，再利用向量夹角公式求解即可. 18．【答案】（1）证明：∵m∥n ∴asinA=bsinB 即a• =b• ．其中R为△ABC外接圆半径． ∴a=b ∴△ABC为等腰三角形 （2）解：由题意，m•p=0 ∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0 ∴a+b=ab 由余弦定理4=a2+b2﹣2ab•cos ∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab ∴（ab）2﹣3ab﹣4=0 ∴ab=4或ab=﹣1（舍去） ∴S△ABC= absinC = ×4×sin = 【解析】【点评】（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积． 19．【答案】（1）当时，为中点， 所以 ． （2）因为， ， 联立可得， ， 所以 ， 易得， 同理可得 ， 所以 ， 因为，所以， 又在上单调递减， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$