第四章 指数函数与对数函数章末综合测评-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章　指数函数与对数函数 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知关于x的不等式>3-2x,则该不等式的解集为(　　) A.[4,+∞) B.(-4,+∞) C.(-∞,-4) D.(-4,1] 2.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(　　) A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 3.设f(x)=3x-x2,则在下列区间上,使函数f(x)有零点的区间是(　　) A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] 4.下列函数中,是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增的为(　　) A.y=x-2 B.y=|x| C.y=2|x| D.y=x3 5.已知a=,b=log2,c=lo,则(　　) A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a 6.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则7年后它们的数量为(　　) A.300只 B.400只 C.600只 D.700只 7.在直角坐标系中,函数y=的图象大致是(　　) 8.已知函数f(x)=若正实数a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围为(　　) A.(e,e2) B.(1,e2) C.(,e) D.(,e2) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.[2024江苏高一阶段练习]下列等式不成立的是(　　) A.log2(8-4)=log28-log24 B.=log2 C.log38=3log32 D.log2(8+4)=log28+log24 10.已知函数f(x)=的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　) A.a=1 B.a=-1 C.函数y=f(x+1)是偶函数 D.关于x的不等式f(x)>的解集为(0,2) 11.关于函数f(x)=|ln |2-x||,下列描述正确的有(　　) A.f(x)在区间(1,2)上单调递增 B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称 C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4 D.f(x)有且仅有两个零点 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.[2024广东云浮高一期末]若3a=6,b=log26,则=　　　　　.  13.写出一个同时具有下列三个性质的函数:f(x)=　　　　　.  ①函数g(x)=f(x)-1为指数函数; ②f(x)在R上单调递增; ③f(1)>3. 14.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x+a,若函数g(x)存在3个零点,则实数a的取值范围为　　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(1)求值:6+(; (2)若xlog32=1,求2x+2-x的值; (3)已知a=lg 2,b=lg 3,用a,b表示log518. 16.(15分)设函数f(x)=求函数g(x)=f(x)-的零点. 17.(15分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2). (1)求实数a的值; (2)若g(x)=f(2-x)+f(2+x),求g(x)的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间. 18.(17分)[2024广东惠州高一期末]随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习,已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中第4年为预估人数,仅供参考): 建立平台第x年 1 2 3 4 会员个数y/千人 14 20 29 43 (1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台第x(x∈N*)年后平台会员人数y(单位:千人),并求出你选择模型的解析式: ①y=+b(t>0);②y=d·logrx+s(d≠0,r>0且r≠1);③y=m·ax+n(m≠0,a>0且a≠1). (2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定会员人数不得超过k·(k>0)千人,依据(1)中你选择的函数模型求k的最小值. 19.(17分)已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域. (2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域. (3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间(b,a)内的值域为(1,2)?若存在,求实数a,b的值;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.B　依题意可知,原不等式可转化为, 由于指数函数y=3x为增函数,所以-x+4>-2x,解得x>-4.故选B. 2.C　由x2-x>0,得x>1或x<0,故选C. 3.D　显然,函数f(x)的图象是连续的. ∵f(-2)=3-2-(-2)2=-<0,f(-1)=3-1-(-1)2=-<0,f(0)=30-02=1>0,f(1)=3-1=2>0,f(2)=32-22=5>0,∴f(-1)·f(0)<0, ∴使函数f(x)有零点的区间是[-1,0]. 4.A　y=x3为奇函数,y=|x|,y=2|x|为偶函数, 但在(0,+∞)单调递增,所以在(-∞,0)单调递减, 而y=x-2为偶函数且在(-∞,0)单调递增.故选A. 5.A　因为函数y=3x为单调递增函数,所以a=>30=1,即a>1. 因为y=log2x为单调递增函数,所以b=log2<log21=0,即b<0. 因为y=lox单调递减,所以lo1<lo<lo,即0<c<1,故a>c>b.故选A. 6.A　将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)中,得100=alog2(1+1),解得a=100. 所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300. 7.A　令f(x)=,∵f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.当x>0时,f(x)>0,故选A. 8.A　由题意,函数f(x)= 画出函数的图象,如图所示. 设a<b<c,则|ln a|=|ln b|,即ln a+ln b=0,可得ab=1, 当x>e时,y=2-ln x单调递减,且其图象与x轴交于点(e2,0),所以abc=c,且e<c<e2, 所以abc的取值范围为(e,e2).故选A. 9.ABD　解析 对于A,因为log2(8-4)=log24=log222=2,log28-log24=log223-log222=3-2=1, 所以log2(8-4)≠log28-log24,所以A错误; 对于B,因为,log2=log22=1,所以≠log2,所以B错误; 对于C,因为log38=log323=3log32,所以C正确; 对于D,因为log2(8+4)=log212=log23+log24=log23+2,log28+log24=log223+log222=3+2=5,所以log2(8+4)≠log28+log24,所以D错误.故选ABD. 10.ACD　由函数图象可知直线x=1为函数f(x)的图象的对称轴,即函数满足f(2-x)=f(x), 则当x>1时,2-x<1,故22-x-a=2a-x,∴2-x-a=a-x,则a=1. 同理当x<1时,2-x>1,故2a-2+x=2x-a,∴a-2+x=x-a,则a=1. 综上,a=1,故A正确,B错误; 将f(x)=的图象向左平移1个单位长度,即得函数y=f(x+1),x∈R的图象,易知y=f(x+1)的图象关于y轴对称,故y=f(x+1)为偶函数,故C正确; 当x≥1时,f(x)=21-x,令21-x>,解得x<2,故1≤x<2; 当x<1时,f(x)=2x-1,令2x-1>,解得x>0,故0<x<1,综上,0<x<2,即不等式f(x)>的解集为(0,2),故D正确.故选ACD. 11.ABD　根据图象变换画出函数f(x)的图象如图, 由图象知f(x)在(1,2)上单调递增,故A正确;函数图象关于直线x=2对称,故B正确; f(x1)=f(x2)=k,直线y=k与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如果最左边两个交点横坐标分别是x1,x2,则x1+x2=4不成立,故C错误; f(x)的图象与x轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D正确.故选ABD. 12.1　因为3a=6,所以a=log36, 所以=log63+log62=log66=1. 13.3x+1(答案不唯一) 14.[0,)　函数g(x)=f(x)-x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与直线y=x-a有3个交点. 画出函数f(x)和y=x-a的图象,如下图. 由图知,要使函数f(x)的图象和直线y=x-a有3个交点,则-<-a≤0,即0≤a<. 15.解 (1)6+(=(43+(32+(()3)=16+=18. (2)∵xlog32=1,∴x=log23, ∴2x+2-x==3+. (3)∵a=lg 2,b=lg 3, ∴log518=. 16.解 求函数g(x)=f(x)-的零点,即求方程f(x)-=0的实数根. 当x≥1时,由2x-2-=0得x=; 当x<1时,由x2-2x-=0得x=(舍去)或x=.所以函数g(x)=f(x)-的零点是. 17.解 (1)由条件知f(9)=loga9=2,即a2=9,又a>0且a≠1,∴a=3. (2)g(x)=f(2-x)+f(2+x)=log3(2-x)+log3(2+x).由得-2<x<2, ∴g(x)的定义域为(-2,2). ∵g(-x)=log3(2+x)+log3(2-x)=g(x), ∴g(x)是偶函数.g(x)=log3(2-x)+log3(2+x)=log3(4-x2), ∵函数y=log3u单调递增,函数u=4-x2在区间(-2,0)内单调递增,故g(x)的单调递增区间为(-2,0). 18.解 (1)从表格数据可以得知,函数是一个增函数,故不可能是①. ∵函数增长的速度越来越快, ∴选择③y=m·ax+n(a>0且a≠1). 代入表格中的三个点可得解得 ∴y=8·+2,x∈N*. (2)由(1)可知y=8·+2,x∈N*, 故不等式8·+2≤k·对x∈[1,+∞)恒成立, ∴k≥=2·+8·对x∈[1,+∞)恒成立.令=t,则t∈(0,], ∴g(t)=2t2+8t,t∈(0,], ∵g(t)在(0,]单调递增,∴g(t)≤g()=, ∴k≥,∴kmin=. 19.解 (1)由>0,解得f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). (2)当a=2时,f(x)=log2,y=f(2x)=log2=log2(1+). 因为f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞),所以2x>1, 所以∈(0,+∞),1+∈(1,+∞), 所以log2(1+)∈(0,+∞), 所以y=f(2x)的值域是(0,+∞). (3)因为函数f(x)在(b,a)内的值域为(1,2),又a>0,且a≠1, 由f(x)的定义域得(b,a)⊆(1,+∞),所以a>b>1. ①当0<a<1时,因为y=1+在(1,+∞)上单调递减, 所以函数f(x)=loga(1+)在(b,a)上单调递增, 所以 因为b>1,所以1+>1,所以1+=a无解. (或者因为a>1,所以1+>1,所以1+=a2无解),故此时不存在实数a,b满足题意. ②当a>1时,因为y=1+在(1,+∞)上单调递减, 所以函数f(x)=loga(1+)在(b,a)内单调递减, 所以解得a=2或a=-(舍去),b=.综上,存在实数a=2,b=. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$