精品解析：广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

2023—2024学年度第二学期期中考试 高二数学 本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑；如需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ） A 7 B. 9 C. 12 D. 16 2. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A. 2 B. C. 10 D. 5 3. 用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有（ ）种不同的涂色方案． A 180 B. 360 C. 64 D. 25 4. 气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为 A B. C. D. 5. 垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级分别有名、名、名同学获一等奖．若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天等可能的随机选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ） A 0.75 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38 7. 将6名优秀教师分配到5个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（ ） A. 2400种 B. 1800种 C. 1200种 D. 1600种 8. 设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为 A. B. C. D. 二､多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分． 9. 若随机变量服从两点分布，且，记的均值和方差分别为和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为1 C. 二项式系数最大的项为第5项 D. 有理项共4项 11. 对于函数图象上的任意一点，都存在另外一点，使得的图象在这两个不同点处的切线互相平行，则称函数具有性质，下列函数中不具有性质的有（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，含的项的系数是______． 13. 从这5个数中任取2个不同的数，已知取到的两数之积为正数，则取到的两数均为负数的概率是__________． 14. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________． 四､解答题本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 16. 已知函数在处的切线方程为． （1）求、的值； （2）求的极值点，并计算两个极值之和． 17. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． （1）求的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 18. 《中华人民共和国老年人权益保障法》规定，老年人的年龄起点标准是60周岁．为解决老年人打车难问题，许多公司均推出老年人一键叫车服务．某公司为调查老年人对打车软件的使用情况，在某地区随机抽取了100位老年人，调查结果整理如下： 年龄/岁 80岁以上 使用过打车软件人数 41 20 11 5 1 未使用过打车软件人数 1 3 9 6 3 （1）从该地区的老年人中随机抽取1位，试估计该老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率； （2）从参与调查的年龄在且使用过打车软件的老年人中，随机抽取2人进一步了解情况，用X表示这2人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望； （3）为鼓励老年人使用打车软件，该公司拟对使用打车软件老年人赠送1张10元的代金券，若该地区有5000位老年人，用样本估计总体，试估计该公司至少应准备多少张代金券． 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调区间； （2）若，证明：； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期中考试 高二数学 本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑；如需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先确定从A地到C地有3种不同的走法，再确定从C地到B地有4种不同的走法，最后求从A地到B地不同的走法种数. 【详解】解：根据题意分两步完成任务： 第一步：从A地到C地，有3种不同的走法； 第二步：从C地到B地，有4种不同的走法， 根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种， 故选：C. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理，是基础题. 2. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A. 2 B. C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合导数的定义分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 3. 用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有（ ）种不同的涂色方案． A. 180 B. 360 C. 64 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】采用分步乘法计数原理进行分析即可. 【详解】第一步涂A，有种涂法， 第二步涂B，和A不同色，有种涂法， 第三步涂C，和AB不同色，有种涂法， 第四步涂D，和BC不同色，有种涂法， 由分步乘法技术原理可知，一共有种涂色方案， 故选：A. 4. 气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB，由题得，化简即得解. 【详解】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB， 由题得, 所以, 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5. 垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级分别有名、名、名同学获一等奖．若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】将各年级的学生进行捆绑，然后考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”， 考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序， 由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种. 故选：A. 6. 第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天等可能的随机选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38 【答案】A 【解析】 【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”， “第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥， 根据题意得：，，， 则. 故选：A. 7. 将6名优秀教师分配到5个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（ ） A. 2400种 B. 1800种 C. 1200种 D. 1600种 【答案】B 【解析】 【分析】将6名教师分组，只有一种分法，即1,1,1,1,2，然后按照分组组合的方式即可. 【详解】将6名教师分组，只有一种分法，即1,1,1,1,2，共有 ， 再排列得， 故选：B. 8. 设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的极大值点为求出参数的值，然后再根据函数的单调性求出函数的极小值即可． 【详解】∵， ∴， ∵是函数的极大值点， ∴，解得， ∴， ∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； ∴当时，有极小值，且极小值为． 故选A． 【点睛】解答类似问题时常犯的错误是误认为导函数的零点即为函数的极值点，解题时，在求得导函数的零点后，还要判断出导函数在零点两侧的符号是否相反，若不相反则可得该零点不是函数的极值点． 二､多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分． 9. 若随机变量服从两点分布，且，记的均值和方差分别为和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两点分布的性质求出，从而求得和，再根据方差和均值的性质即可判断BD的正误. 【详解】解：因为随机变量服从两点分布，且， 所以， 所以，， ，. 故选：AB. 10. 已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为1 C. 二项式系数最大的项为第5项 D. 有理项共4项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据展开式的性质先求出，然后利用二项式系数的性质、赋值法、通项法逐项加以判断． 【详解】解：由已知得，展开式共有项，故，故二项式为， 所以二项式系数之和为，故A正确； 令，可知所有项的系数之和为，故B正确； 二项式系数的最大的项的上标为， 故二项式系数最大的项为第4，5项，故C错误； 通项为，，1，，7， 当，2，4，6时为有理项，共4项，故D正确． 故选：ABD． 11. 对于函数图象上任意一点，都存在另外一点，使得的图象在这两个不同点处的切线互相平行，则称函数具有性质，下列函数中不具有性质的有（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由至少有两个不同的解对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数具有性质，等价于对于导函数值域中任意值，至少有两个不同的解． 对于A，，当时，只有唯一的解，故函数不具有性质； 对于B，只有唯一的解，故函数不具有性质； 对于C，是周期函数，对于任意的，有无数个解，故函数具有性质； 对于D，在上单调递减，当时，不存在两个解，故函数不具有性质． 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，含的项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式的展开式即可求得答案. 【详解】因为，所以含的项为：， 所以含的项的系数是． 故答案为：． 13. 从这5个数中任取2个不同的数，已知取到的两数之积为正数，则取到的两数均为负数的概率是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求出，再由条件概率的概率公式计算即可. 【详解】从这5个数中任取2个不同的数有种取法， 其中满足两数之积为正数的有种取法， 满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法， 记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件, 所以， 所以， 所以已知取到的两数之积为正数，则取到的两数均为负数的概率是. 故答案为：. 14. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造，利用的性质解． 【详解】解：构造， 则当时，， 在上递增， ∵ 奇函数， ∴ 为偶函数， 在上递减，， 当时，， ； 当时，， ， 综上：使得成立的的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题解题的关键是构造，这样可以使用这个条件，进而得到的单调性，再结合的奇偶性解决问题．一般在已知条件中出现原函数与导函数结合的式子时，想到构造函数． 四､解答题本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）类． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为 （2）由（1）知，． 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以． 因为，所以小明应选择先回答类问题． 16. 已知函数在处的切线方程为． （1）求、的值； （2）求的极值点，并计算两个极值之和． 【答案】（1）， （2）极大值点为，极小值点为，极大值与极小值的和为 【解析】 【分析】（1）求得，利用导数的几何意义可得出关于实数、的方程组，即可解得、的值； （2）利用导数分析函数的单调性，可求得函数的极大值点、极小值点以及极大值与极小值之和. 【小问1详解】 解：因为的定义域为，， 因为，曲线在处的切线方程为， ，可得，，可得. 【小问2详解】 解：由，得， 列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的极大值点为，极大值为， 极小值点为，极小值为， 所以，函数的极大值和极小值为. 17. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． （1）求的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【答案】（1） （2）当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为万元 【解析】 【分析】（1）由建造费与能源消耗费求和可得； （2）利用基本不等式求解即可 【小问1详解】 每年能源消耗费用为，建造费用为， ∴. 【小问2详解】 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值， ∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元. 18. 《中华人民共和国老年人权益保障法》规定，老年人的年龄起点标准是60周岁．为解决老年人打车难问题，许多公司均推出老年人一键叫车服务．某公司为调查老年人对打车软件的使用情况，在某地区随机抽取了100位老年人，调查结果整理如下： 年龄/岁 80岁以上 使用过打车软件人数 41 20 11 5 1 未使用过打车软件人数 1 3 9 6 3 （1）从该地区的老年人中随机抽取1位，试估计该老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率； （2）从参与调查的年龄在且使用过打车软件的老年人中，随机抽取2人进一步了解情况，用X表示这2人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望； （3）为鼓励老年人使用打车软件，该公司拟对使用打车软件的老年人赠送1张10元的代金券，若该地区有5000位老年人，用样本估计总体，试估计该公司至少应准备多少张代金券． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）3900张 【解析】 【分析】（1）求出调查的100位老年人中年龄在且未使用过打车软件的人数，再利用频率估计概率，即可估计该老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率； （2）求出X的所有可能取值，并分别求出X取每个值时对应的概率，即可写出X的分布列，然后利用定义或超几何分布的期望公式得其数学期望； （3）先求出随机抽取的100位老年人中使用过打车软件的人数，即可估计该公司至少应准备代金券的数量． 【小问1详解】 在随机抽取的100位老年人中，年龄在且未使用过打车软件的人数为， 所以随机抽取的这1位老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率． 【小问2详解】 由题可知，X的所有可能取值为0，1，2， 且， ， ． 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故X的数学期望． 【小问3详解】 在随机抽取的100位老年人中，使用过打车软件的共有（人）， 所以估计该公司至少应准备张代金券． 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调区间； （2）若，证明：； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可求出结果； （2）利用指对同构，化为证明，再构造函数，利用导数可证； （3）转化为在上恒成立，再构造函数设，利用其单调性化为恒成立，再构造函数，利用导数可求出结果. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，得，由，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 若，，要证，即证 ，只要证， 设，， 由，得，由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，即， 因为时，，所以. 所以. 【小问3详解】 当时，，即， 即，即恒成立， 设， 因为， 设，， 当时，，当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以，在上为增函数， 所以由，即由可得，即在上恒成立， 设，， 由，得，由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以. 所以的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，总有成立，故； （2）若，总有成立，故； （3）若，使得成立，故； （4）若，使得，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$