21.1 二次根式（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

21.1 二次根式 数学（华东师大版） 九年级 上册 第21章 二次根式 学习目标 1.理解二次根式的概念； 2.掌握二次根式有意义的条件； 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题； 　 温故知新 1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是 (a≥0). 正数正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0. 用 (a≥0)表示. 　 温故知新 3.(1)16的平方根是什么？算术平方根是什么？ (2)0的平方根是什么？算术平方根是什么？ (3)-7有没有平方根？有没有算术平方根？ 　 导入新课 根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空： 2cm a cm 1.直角三角形的边长是： . 2.正方形的边长是： . 3.等腰直角三角形的的直角边长是 . (cm2) 你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 讲授新课 知识点一 二次根式的概念 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （1）面积为 3 的正方形的边长为_______，面积为 S 的正方形的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m． 讲授新课 （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的 式子表示 t ，那么 t 为_______． 你发现这些结果有哪些共同特征？ 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： 讲授新课 ， ， ， ；它们表示一些正数的算术平方根． 我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0． 上面问题中，得到的结果分别是： . 讲授新课 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等； 2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”． 讲授新课 典例精析 解：(1)(4)(6) 是二次根式 (2)(3)(5)(7) 均不是二次根式. 【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？并总结一下方法. 讲授新课 练一练 1、下列代数式中哪些是二次根式？ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹     讲授新课 知识点二 二次根式有意义的条件 当x取何值时，下列根式有意义？ 二次根式有意义的条件 被开方数大于或等于0，即a≥0. 解：(1)由x2≥0，得x≥； (2)由-2x+1≥0，得x≤ . 讲授新课 解：由x2≥0，得x是任意实数， ∴当x为任意实数时， 都有意义. 思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 由x3≥0，得x≥0， ∴当x≥0 时， 有意义. 讲授新课 典例精析 【例2】求下列二次根式中字母a的取值范围. 解：(1)由 a+1≥0，得 a≥ -1，所以字母a的取值范围是大于或等于- 1的实数. (2)由 > 0，得 1 - 2a > 0，即 a< .所以字母a的取值范围是小于 的实数. (3)因为无论a取何值，都有(a-3) 2 ≥ 0,所以a的取值范围是全体实数. 讲授新课 练一练 1、当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 讲授新课 （2）∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0， ∴x≥-3. ∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 2、当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解（1）由题意得x-1＞0， ∴x＞1. 讲授新课 知识点三 二次根式的非负性 问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0. 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 讲授新课 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 讲授新课 典例精析 【例3】若 ， 求a -b+c的值. 解： 由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 讲授新课 【例4】已知 y= , 求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 讲授新课 练一练 1.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ， 求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 讲授新课 2.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 讲授新课 知识点四 二次根式的性质 正方形的边长为 ， 用边长表示正方形的面积为 ， 又∵面积为a， 即 . 活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ 这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？ 讲授新课 活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？ ... 算术平方根 平方运算 0 2 4 ... a(a≥0) 02 = 0 ... 观察两者有什么关系？ 22 = 4 讲授新课 4 2 0 根据活动2 直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由： 是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于2的非负数.因此 . 同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式. 讲授新课 的性质： 一般地， ＝a (a ≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件. 讲授新课 ... 平方运算 算术平方根 2 0.1 0 ... a(a≥0) 2 ... 观察两者有什么关系？ 填一填： ＝a (a≥0). 讲授新课 ... 平方运算 算术平方根 -2 -0.1 ... 2 ... 观察两者有什么关系？ a(a＜0) 思考：当a＜0时， = ？ -a 讲授新课 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. a (a≥0) -a (a＜0) 的性质： 讲授新课 典例精析 【例5】计算： 解： 讲授新课 【例6】化简： 讲授新课 练一练 解： 1、化简下列各式 当堂检测 3.若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是___________. 1.下列各式： . 一定是二次根式的有 ( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 2.若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______； x≥1 x≥0 且 x≠2 当堂检测 4.当x 取何值时，下列式子在实数范围内有意义? 分析：(1)由x＋7≥0可得， x ≥－7 ； (2)由 ，且x－1≠0可得， x－1＜0，即x ＜1； (3) x 为任意实数时，＞0， 可得， 在实数范围内有意义. 当堂检测 5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围． 解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2． (2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围． 解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9. 当堂检测 6.若x，y是实数，且y＜ ,求 的值. 解：根据题意得， ∴x=1. ∵y＜ , ∴y＜ ， ∴ . 当堂检测 7.实数a、b在数轴上的对应点如图所示， 化简： . 解：根据数轴可知b＜a＜0， ∴a+2b＜0，a-b＞0， 则 =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b． a b 0 当堂检测 8.已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且a，b 满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴ a = 3. ∴ b = 4. 当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10； 当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11． 课堂小结 带有二次根号 建立不等式求出其解集 被开方数为非负数 多个二次根式 二次根式+分式 分母≠0 并且 被开数≥0 性质 定义 有意义 算术平方根 分式 二次根式 谢 谢~ $$