精品解析：2024届江苏省南京东山外国语学校高考三模数学试卷

2023-2024学年高三下学期南京市江宁区东外五月三模数学试卷 一、单选题 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并补运算即可求得. 【详解】，，所以， 所以， 故选：B. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式和垂直的充要条件即可求解. 【详解】因为，所以，即， 因此. 故选：C. 4. 命题P：，，…，的平均数与中位数相等；命题Q：，，…，是等差数列，则P是Q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由，，…，是等差数列，易推导出，，…，的平均数与中位数相等，所以P是Q的必要条件；举出反例可推翻P是Q的充分条件. 【详解】由，，…，是等差数列，所以， 而中位数也是，所以，，…，的平均数与中位数相等， 即，是的必要条件； 若数据是，则平均数和中位数相等，但，，…，不是等差数列， 所以推不出，所以不是的充分条件； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 5. 如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】按照元素甲、乙所在舱位进行讨论，特殊元素优先考虑即可求解. 【详解】按照甲、乙两人同时在天和核心舱或问天实验舱两种情况讨论： ①若甲、乙两人同时在天和核心舱，则需要从剩余4人中再选1人， 剩下的3人去剩下的两个舱位，则有种可能； ②若甲、乙两人同时在问天实验舱，则剩下的4人选3人去天和核心舱即可， 共有种可能， 根据分类加法计算原理，共有种可能， 故选：B. 6. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的图象，棱台三角函数的性质求得，进而得到，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，解得，所以， 所以，又由，即， 可得，即， 因为，所以，所以， 所以，令， 解得， 所以函数的单调增区间是. 故选：C. 7. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解. 【详解】如图所示： 为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以. 故选：A. 8. 已知函数其中为自然对数的底数.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，由解出的值，函数只有两个零点，舍去；当时，对求导，讨论的单调性和最值，可知数至多两个零点，舍去；当时，当只有一个零点，当，令，要使函数有三个零点，需使函数有两个零点，即即可求出实数的取值范围. 【详解】①当时， 所以由得或， 解得或，函数只有两个零点，舍去； ②当时，当， ；当至多两个零点， 即函数至多两个零点，舍去； ③当时，当只有一个零点， 当， 令， 因此当时， 当时，， 因为要使函数有三个零点，需使函数有两个零点，因此. 综上，取值范围为. 故选：B. 二、多选题 9. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. 中最小为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值可求得，判断A；，可判断B；由展开式的通项公式，可判断C；求导，可得，判断D. 【详解】对于A，当时，， 当时，可得，故，故A不正确； 对于B，， 除最后一项外，其余项都可以被5整除，故余数为1，故B正确； 对于C，二项式系数，可知奇数项小于零，偶数项大于零， 则最小必然在奇数项中产生，， 所以最小的为，故C正确； 对于D，， 则有，故D错误． 故选：BC. 10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D. 【详解】对于A，因为，所以，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确； 对于C，若为锐角三角形，则，， 则，则，即， 由正弦定理可知：，故C错误； 对于D，若D为边上的中点，则， 所以 由余弦定理知，得， 又，所以， 当且仅当时取得等号， 所以， 即，故D正确. 故选：ABD. 11. 在四面体中，是边长为2的正三角形，，二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四面体的体积的最大值为 C. 棱的长的最小值为 D. 四面体的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】假设，然后得出，由此可判断选项A； 要使四面体的体积的最大，只需高最大，根据题意求解即可判断选项B，C； 设的外心为，为的中点，设过与平面垂直的直线为，过作于点，则外接球球心在上，根据即可求出，从而可求出外接球半径，从而判断选项D正确. 【详解】对于：假设，设的中点为，因为为正三角形，所以， 又，，平面，故平面， 又平面，故，而题中并不能得到，故假设不成立， 所以不一定垂直，故选项错误； 对于：要使最大，只需三棱锥高最大，设三棱锥的高为， 易知当为等边三角形时，高最大， 此时的最大值为，故选项正确； 对于：由选项中可知，最大时最小， 故的最小值为，故选项正确； 对于：设的外心为，为的中点， 则由正弦定理得， 设过与平面垂直的直线为，过作于点，则， 则外接球球心在上，只需， 又，， 设，由，可得，解得， 所以， 所以四面体的外接球的表面积为，故选项正确． 故选：BCD． 三、填空题 12. 函数在上的最大值点为________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，即可求出函数最大值点. 【详解】由题意得， 当时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，在处取得极大值， 当时，； 当时，函数取得极大值； 因为，所以最大值点为. 故答案为：. 13. 已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是__________.（写出一个满足条件的即可） 【答案】（写出一个满足条件的即可） 【解析】 【分析】当时设的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求出，若经过的中点，分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论，分别求出切线方程，即可得解. 【详解】若，此时的斜率为. 设的方程为，则点到的距离，解得， 因此的方程为或. 若经过的中点， 当的斜率不存在时，此时的方程为，满足与圆相切； 当的斜率存在时，设其方程为， 则点到直线的距离，解得，此时直线的方程为. 故答案为：（写出一个满足条件的即可）. 14. 已知双曲线与直线交于M，N两点（点M位于第一象限），点P是直线l上的动点，点A，B分别为C的左、右顶点，当最大时，（O为坐标原点），则双曲线C的离心率______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得两点的坐标，分析得到当最大时，最大，利用正切函数的定义及基本不等式求出当最大时点P的位置，根据求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】将代入双曲线方程得，得，所以． 设点P的坐标为，不妨设， 由题意知为锐角，所以当最大时，最大，则最大． 设双曲线C的右焦点为F，因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，最大，即最大． 由可得，所以， 故双曲线C的离心率． 故答案为： 四、解答题 15. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，底面，分别为侧棱的中点，点在上且． （1）求证：四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面是菱形，所以， 由平面，平面，得， 所以两两垂直，建立如图空间直角坐标系， ，则， 由，得， 所以， 则，所以共面， 又直线的公共点为，所以四点共面； （2） 【解析】 【分析】（1）易知，由线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明，即可证明； （2）由（1）求出的坐标，利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 得， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知函数，其中为常数. （1）过原点作图象的切线，求直线的方程； （2）若，使成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值. 【小问1详解】 设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得， 所以切线的斜率为，所以的方程为. 【小问2详解】 ，，即成立， 则得在有解， 故有时，. 令，，， 令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以， 则，故的最小值为. 17. 已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，直线MN过定点． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，确定椭圆C过的三点，再代入方程求解作答. （2）设出直线MN的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合已知及斜率坐标公式列式求解即可. 【小问1详解】 由椭圆的对称性知，，，三点在椭圆C上， 故，，得，从而椭圆C的方程为． 【小问2详解】 直线MN过定点，证明如下： 假设存在，不妨设直线、、MN的斜率分别为，，k，满足， 设直线MN的方程为（），且，， 与椭圆C的方程联立，得， 则，即（*）， 且 那么， 化简得，， 即整理得：， 解得或，当时，中一点与重合，故舍去， 故直线MN过定点． 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设直线MN的方程为（），且，，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再将斜率之间的关系式整理从而将韦达定理代入，最后化简得，解出值并检验. 18. 2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛 （1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. （i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围. 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）6道题中小王能答对4道，答错2道，结合超几何分布计算即可，再结合条件概率计算即可. （2）由，运用导数研究其极大值即可. （3）分析每名进入决赛的大学生获得的奖金的期望，解不等式即可. 【小问1详解】 由题意知，的可能取值为， 则， ， ， 故的分布列为 0 1 2 则. 记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛， 则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率. 【小问2详解】 （i）由题意知，， 则， 令，解得或（舍）， 当时，，当时，， 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以当时，有极大值，且的极大值为. （ii）由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量， 则的可能取值为， ， ， ， ， 所以， 所以， 即，整理得， 经观察可知是方程的根， 故， 因为恒成立， 所以由可得，解得得， 又，所以的取值范围为. 19. 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列. （1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由； （2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围； （3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”. 【答案】（1）是，理由：∵， ∴， 当时，， 故， 那么当时，，符合题意， 故数列是数列； （2）； （3）当是数列时，与满足的条件为或， 证明：①若是数列，则， 若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立， 由，，故，可得； 若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立， 又当时，当时不成立， 故有或，解得， ∴当是数列时，与满足的条件为或； ②假设是数列，则由①可知，，，且中每一项均为正数， 若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知； 若中的每一项都在中，同理可得； 若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中， 设，是将，中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，， 不妨设，中最大的项在中，设为， 则，故，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确. 【解析】 【分析】(1)由数列定义知，仅需验证当时，恒成立即可； (2)写出，的表达式，则对满足的任意都成立，则将此问题转化为不等式恒成立的问题，然后据此去求解的范围； (3)根据数列是数列，可以得到，所以需要分，和，去讨论，和(2)相似，还是去求解使得的取值范围，仍然是将其转化为不等式的恒成立问题，然后在不同的情况下求出对应的的取值范围即可.在证明命题“若且，则不是数列”时，考虑使用反证法：先排除掉数列的项都在数列中、数列的项都在数列中的情况.若数列至少有一项不在数列中，且数列至少有以一项不在数列中,先去掉其公共项得到数列，，设数列的最大项为，且数列的最大项比数列的最大项大，然后根据数列是数列的性质,得到,从而推出矛盾，进而所求证得证. 【详解】(1)略 (2)由题意知，该数列的前项和为，， 由数列是数列，可知，故公差， 对满足的任意都成立，则，解得， 故的取值范围为； (3)略 【点睛】本题考查不等关系、不等式的恒成立及数列的综合知识，属于创新题，同时也是难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高三下学期南京市江宁区东外五月三模数学试卷 一、单选题 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 命题P：，，…，的平均数与中位数相等；命题Q：，，…，是等差数列，则P是Q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 20种 D. 24种 6. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数其中为自然对数的底数.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. 中最小为 D. 10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 11. 在四面体中，是边长为2的正三角形，，二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四面体的体积的最大值为 C. 棱的长的最小值为 D. 四面体的外接球的表面积为 三、填空题 12. 函数在上的最大值点为________. 13. 已知直线是圆的切线，点和点到的距离相等，则直线的方程可以是__________.（写出一个满足条件的即可） 14. 已知双曲线与直线交于M，N两点（点M位于第一象限），点P是直线l上的动点，点A，B分别为C的左、右顶点，当最大时，（O为坐标原点），则双曲线C的离心率______． 四、解答题 15. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，底面，分别为侧棱的中点，点在上且． （1）求证：四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知函数，其中为常数. （1）过原点作图象的切线，求直线的方程； （2）若，使成立，求的最小值. 17. 已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由． 18. 2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛 （1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. （i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围. 19. 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列. （1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由； （2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围； （3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $