广东省广州市各区2023～2024学年七年级下学期期末考试数学真题汇编：压轴题

2023~2024学年广东省广州市各区七年级下学期期末考试数学真题汇编：压轴题 （解析版） 1、 选择题 1. （2023～2024学年广东省广州市天河区）（多选）关于x，y的二元一次方程组，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. x，a满足关系式 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程，一元一次不等式，用代入消元法先求出方程组的解，按照各项的条件逐一验证即可． 【详解】解：， ①②，得， 解得， 将代入①，解得， 原方程组的解为，故B正确； 当时，，故A正确； 当时，即，解得，故C正确； 当，即，解得：，故D错误； 故选：ABC． 2.（2023～2024学年广东省广州市番禺区）如图，把一个含30°角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若∠1＝33°，则∠2的度数为（　　） A．33° B．27° C．25° D．17° 【分析】根据题意可得∠A＝90°，∠ACB＝60°，DE∥CF，∠1＝33°，利用平行线的性质可求解∠2的度数． 【解答】解：如图，∠A＝90°，∠ACB＝60°，DE∥CF，∠1＝33°， ∴∠ACF＝∠1＝33°， ∵∠ACF+∠2＝∠ACB＝60°， ∴∠2＝27°， 故选：B． 3.（2023～2024学年广东省广州市白云区）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元．1角、5角、1元硬币的取法共有（ ） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设1角、5角、1元硬币各取了x枚，y枚，z枚，根据题意可得方程组，求出方程组的非负整数解即可得到答案． 【详解】解：设1角、5角、1元硬币各取了x枚，y枚，z枚， 由题意得，， ∴， ∴， ∵x、y、z都是非负整数， ∴是非负整数， ∴x一定是5的倍数， 当时，，则； 当时，，则，不符合题意； 综上所述，只有一种取法，1角、5角、1元硬币各取了5枚，7枚，3枚， 故选：B． 4. （2023～2024学年广东省广州市海珠区）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分③；④等于．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角相等，正确的识别图形是解题的关键． 根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到，等量代换得到，求得平分；故②正确；根据的余角比大，且根据对顶角相等可得出，可得出，即可求出故③正确；设，得到，根据角平分线的性质进一步得出，代入得，求出即可得到结论． 【详解】∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分；故②正确； ∵的余角比大， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 设，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误， 故选：A． 5. （2023～2024学年广东省广州市黄埔区）如图，点在延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，余角的定义，三角形的内角和定理的应用． 由，可得，故结论①正确；证明，可得，故结论②正确；证明，可得平分，故结论③正确；由，结合是的余角的5倍，可得，进一步可得结论④正确；证明，，进一步可得结论⑤错误； 【详解】解：∵， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵， ∴， ∵是的余角的5倍， ∴， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确； ∵为的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故结论⑤错误； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选：C． 6. （2023～2024学年广东省广州市荔湾区）已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（ ）个．①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． 7. （2023～2024学年广东省广州市越秀区）如图所示，，点E为线段上一点，平分，平分，要求的度数，只需要知道下列哪个式子的值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点E作，根据平行线的性质和传递性得，在依据角平分线的定义得，，依据平角的定义等量代换可得，求得． 【详解】解：如图，过点E作， ， ，， 即 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故选：D． 8. （2023～2024学年广东省广州市花都区）已知关于的方程组，满足，则的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组与解一元一次不等式；由题意把方程组中两方程相关得；由题意得不等式，解不等式即可． 【详解】解： 得：， 而， 即， 解得：； 则的最大值是2． 故选：C． 2、 填空题 1. （2023～2024学年广东省广州市花都区）如图，点为长方形的边上的点，连接，将三角形沿着翻折得到三角形，三角形翻折得到三角形．此时，点恰好落在线段上，且．以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的是______．（填入所有正确的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的判定与性质等知识；由及平行线的性质即可判定①；由折叠的性质即可判定②；由折叠性质及三角形①的结论即可判定③；由折叠性质及平行线性质即可判定④，最后可确定答案． 【详解】解：在长方形中，， ∴； ， ， ； 故①正确； 由折叠知，， ； 由长方形性质得， 则， ， ； 故②正确； ， ，， 由折叠知，， ∴， 当时，， 否则； 故③错误； ， ， 故④正确； 综上，正确的有①②④． 2. （2023～2024学年广东省广州市越秀区）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点M，N之间的“直角距离”为．已知点，，． （1）A与B两点之间的“直角距离”____； （2）点为平面直角坐标系内一动点，且满足，则n的取值范围____． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的两点之间的“直角距离”，考查了绝对值的几何意义，解不等式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“直角距离”的定义即可得出答案； （2）根据“直角距离”的定义可得，分类讨论再化简，借助于绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）A与B两点之间的“直角距离”； （2），且， ①当时，， ∴， 由绝对值的几何意义得：， 解得：，符合题意； ②时，， ∴， 由绝对值的几何意义得：则， 解得：，符合题意； ③时，则， ∴， ∵， ∴， 当点P在点B上方时，则， 解得：（舍）； 当点P在点B和点C之间时，则， ∴， 解得：， 当点P在点C下方时，则， 解得：（舍）， ∴综上：． 故答案为：；． 3. （2023～2024学年广东省广州市荔湾区）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用有序数对表示位置，数字类变化规律．根据题意找出数字之间的联系，得出规律是解题关键．根据图中数的排列可得出至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，从而即可求解． 【详解】解：根据题意，如图： 由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数； …… ∴至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始， ∵，， ∴位于第9行，第7列， ∴数的位置为有序数对． 故答案为：． 4. （2023～2024学年广东省广州市黄埔区）如图，一个粒子按的规律运动，每次运动一个单位长度，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律探究，根据偶数的平方在轴的正半轴上，奇数的平方在的负半轴上，得出，而，据此，即可求解． 【详解】解：观察数据可得在负半轴上， ，，…… ∴ 又∵ ∴ ∴在的右侧1个单位，即 故答案为：． 5．（2023～2024学年广东省广州市番禺区）如图，AF∥CD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠CBE+∠D＝90°；④∠DEB＝2∠BCD．其中正确结论为 　①③④　（只填写序号）． 【分析】根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理进行判断即可． 【解答】解：∵BD平分∠EBF， ∴∠FBD＝∠EBD， ∵BC⊥BD， ∴∠FBD+∠ABC＝90°，∠EBD+∠EBC＝90°， ∴∠ABC＝∠CBE， ∴BC平分∠ABE，①正确； ∵AF∥CD， ∴∠ECB＝∠ABC， ∴∠CBE＝∠ECB， ∵BC⊥BD， ∴∠D+∠ECB＝90°， ∴∠D+∠CBE＝90°，故③正确； ∵∠DEB是△BEC的外角， ∴∠DEB＝∠ECB+∠CBE， ∵∠ABC＝∠ECB＝∠CBE， ∴∠DEB＝2∠ECB＝2∠BCD，故④正确； ∵∠ECB≠∠ACB， ∴∠CBE≠ACB，故②错误． 故正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 6. （2023～2024学年广东省广州市白云区）把一些书分给若干名同学，如果每名同学分3本，那么余8本；如果前面每名同学分5本，那么最后1名同学就分到至少3本；则至多共有______名同学． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式即可求解．设共有x名学生，根据每人分3本，那么余8本，可得书共有本，再由每名同学分5本，那么最后1名同学就分到至少3本，可得出不等式，解出即可． 【详解】解：设共有x名学生，则图书共有本， 由题意得：， 解得：， ∴至多共有5名同学． 故答案为：5． 7.（2023～2024学年广东省广州市海珠区）已知非负数，，满足，设．则的最大值与最小值的和为__． 【答案】 【解析】 【分析】首先设，再根据是非负数求得的取值范围，进而求得的取值范围即可解答． 【详解】解：设， 则，，， ，，均为非负实数， ， 解得：， ∴， ， 即． 的最大值是，最小值是， 的最大值与最小值的和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最值问题，设求出的取值范围是解题的关键． 8.（2023～2024学年广东省广州市天河区）在平面直角坐标系中，已知动点（x是任意实数）和定点，则线段的长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，垂线段最短．画出图形，根据垂线段最短确定点的位置，进行求解． 【详解】解：如图，点，在平行于轴的直线上，根据垂线段最短，可知，当时，最小， ∵，轴，， ∴ 即：线段的最小值为； 故答案为：． 3、 平面直角坐标系型 1. （2023～2024学年广东省广州市天河区）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”例如：的“2属派生点”为，即． （1）求点的“3属派生点”的坐标； （2）若点P的“5属派生点”的坐标为，求点P的坐标； （3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求k的值． 【答案】（1），详见解析 （2），详见解析 （3），详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，解方程（组）等知识点， （1）根据“k属派生点”计算可得； （2）设点P的坐标为，根据“k属派生点”定义及的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得； （3）先得出点的坐标为，由线段的长度为线段长度的2倍列出方程，解之可得； 熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． 【小问1详解】 由题意知：点的“3属派生点”的坐标为：， ∴的坐标为； 【小问2详解】 设，依题意，得方程组： ， 解得：， ∴点； 【小问3详解】 ∵点在x轴的正半轴上， ∴，， ∴点P的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长为点到x轴距离为， ∵P在x轴正半轴，线段的长为a， 根据题意，有， ∴， ∵， ∴， ∴． 2. （2023～2024学年广东省广州市白云区）如图1，已知，，将线段向右平移到交x轴于点M，连接，． （1）点B的坐标为______，点C的坐标为______； （2）求的面积和点M的坐标； （3）如图，若点为四边形内的一点，且，求m，n之间满足的等量关系并直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主题考查了坐标与图形，平移的性质： （1）根据平移的性质得到点D到的距离为3，，进而得到，则，据此可得答案； （2）设与y轴交于F，先证明轴，轴，得到，再根据进行求解即可； （3）过点P作轴分别交于G、H，则，根据得到，据此求解即可. 【小问1详解】 解：∵将线段向右平移到，，， ∴点D到的距离为3，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，设与y轴交于F， ∵将线段向右平移到， ∴轴，轴， ∵ ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴。 【小问3详解】 解：如图所示，过点P作轴分别交于G、H， ∵，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴ 当时，；当时， ∵点P为四边形内部一点， ∴ 3. （2023～2024学年广东省广州市花都区）如图1，在平面直角坐标系中，，点在第一象限，轴，且． （1）点C的坐标为：______； （2）一动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度向左运动． ①如图2，过点作交轴于点与的角平分线相交且交点为与交于点，求的度数； ②点沿射线运动时，射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，记点的横坐标为，当的面积大于6时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由点B的坐标及的长度即可求解； （2）①过点F作轴，由平行线的性质、角平分线的定义即可求解； ②设t秒时，点D的横坐标为m，则；由于射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，则此时点D的坐标为；求出当的面积为6时t的值，得到m的值，则可确定的面积大于6时m的范围． 【小问1详解】 解：，轴， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图，过点F作轴，则； 轴， ，， ； ， ， ； 分别是与的角平分线， ， ， ； ②设t秒时，点D的横坐标为m，则； 由于射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移， 则此时点D的坐标为； ，点D到x轴的距离为， 当的面积为6时，即， 解得：或， 即或； 当的面积大于6时，m的范围为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义及角的运算，掌握这些知识是解题的关键． 4. （2023～2024学年广东省广州市越秀区）如图所示，点，点B在y轴的正半轴上，，点是第一象限内一动点，且三角形的面积为6，线段与交于点D． （1）求三角形的面积； （2）若三角形与三角形的面积相等，求点C的坐标； （3）将线段沿射线平移，得到线段（点B与点A是对应点），连接，设三角形面积为，三角形的面积为，，当时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3），且 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、整式的加减运算以及解不等式组，根据三角形的面积建立关系式是解题的关键． （1）根据题意可得出点B的坐标，再根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据得出，展开即可得出，再根据，将值代入即可得出，从而得出点C的坐标； （3）根据平移可得出，再根据得出，然后根据得出，最后根据列不等式，分类讨论求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：点， 点B在y轴的正半轴上，， ， 三角形的面积为：； 【小问2详解】 解：， 即 即 ， 即 点的坐标为：； 【小问3详解】 解：如图： ，， ， ， ，则 ∵点C在第一象限， ∴，， ∴， ∵存在， ∴， 即， 解得：， ∴，且， ∵， ∴，而， ∴， ①当时，， 由得，， 解得：， ∴； ②当时，， 符合， 综上所述：，且． 5. （2023～2024学年广东省广州市海珠区）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点在线段上运动（点不与、两点重合，题中所有的角均为大于且小于的角） （1）直接写出点的坐标． （2）射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使，求与之间的数量关系． （3）连接，，平分，是的三等分线，且，请判断能否为定值？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或或； （3）当时，为定值． 【解析】 【分析】（）利用非负数的性质求出点的坐标即可求解； （）分点分别在线段上；点在的延长线上，点在线段上和点在线段上，点在的延长上三种情况，画出图形解答即可求解； （）由平分，是的三等分线，可得，，过点作，即到，可得，， 进而得到，同理可得，即可得到，据此即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵轴，轴， ∴， ∴四边形为长方形， ∴， 当点分别在线段上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 当点在的延长线上，点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在线段上，点在的延长上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∴， 即； 综上，与之间的数䞢关系为：当点分别在线段上时，；当点在的延长线上，点在线段上时，；点在线段上，点在的延长上时，； 【小问3详解】 解：能为定值，理由如下： ∵平分，是的三等分线， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， ∴ ， ， ， ∴当，即时，为定值． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，四边形内角和，平行线的性质，角平分线和三等分线的定义，平行公理的推论，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 6. （2023～2024学年广东省广州市荔湾区）已知在平面直角坐标系中有三点，，，，，满足． （1）若，将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，点的对应点为，点是线段上的一个动点，且三角形的面积等于6，求点的坐标； （2）将线段向右平移个单位得到线段，点的对应点为． ①若三角形的面积小于4，求的取值范围； ②已知点，连接，若线段与线段有公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性可得，，从而，当时，，，，根据线段平移得到线段，从而，，，连接，，进而，表示出的面积，列出方程即可求解； （2）①延长交x轴于H，根据平移得出点H的坐标，线段向右平移个单位得到线段，则，，分两种情况，根据图形的关系得出平移后的面积，三角形的面积小于4列出不等式，即可得出结论； （3）先得出当平移后得点C的对应点N在线段上时，平移距离最小，当平移后得点B的对应点M在线段上时，平移距离最大，根据平移求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， 且， ∴，， ∴． 当时，，， 则，，， ∵将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段， ∴，，， 如图，连接，， ∴， 过点作轴于点G， ∵，，， ∴，，，，， ∵ ， ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）有， ∴，，， 如图，延长交x轴于H， ∵，， ∴点B向下平移4个单位，再向左平移2个单位到点C， 又∵点C平移到x轴需要向下平移2个单位， ∴为保证点B到点C与点C到点H的方向一致，点C需要在向下平移2个单位的基础上再向左平移1个单位到点H， ∴， ∵，，， 且线段向右平移个单位得到线段， 则，， 当点N在点G左边时，作图， ， ∵三角形的面积小于4， ∴， 解得：， 当点N在点G右边时， ， ∵三角形的面积小于4， ∴， ∴， 综上所述：n的取值范围是； ②如图，若线段与线段有公共点，则当点C平移后得点N在线段上时，平移距离最小， ∵，， ∴点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F， 又∵点A平移到直线需要向上平移2个单位， ∴为保证点A到点F与点A到点N的方向一致，点A需要在向上平移2个单位的基础上再向右平移2个单位到点N， ∴， 又∵， ∴线段向右平移4个单位，即； 如图，当点B平移后的对应点M在线段上时，平移距离最大， ∵点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F， 又∵点A平移到直线需要向上平移6个单位， ∴为保证点A到点F与点A到点M的方向一致，点A需要在向上平移6个单位的基础上再向右平移6个单位到点M， ∴， 又∵， ∴线段向右平移6个单位，即； 综上所述，线段与线段有公共点，则． 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，解不等式，找出分界点是解本题的关键。 4、 平行线综合型 1. （2023～2024学年广东省广州市黄埔区）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，若，，则________度，________度； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的一条边，请求出所有满足条件的的值． 【答案】（1）；； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）延长交于G，设交于点H，设，则，根据题意可推出，结合即可求解； （2）由题意可推出，结合，即可求解； （3）分类讨论时，时 ，时，三种情况即可求解． 【小问1详解】 解：延长交于G，设交于点H，如图所示： 设，则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 和中， ∵， ∴， 即：， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，理由如下： 设，则则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ， ∴， 即： ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）得， 又， ∴， ∴， ∴， 由题意得，则，则设与的交点为I，则 如图①：时， 即： 解得：； 如图②：时， 同理 即： 解得：； 如图③：时， ，则 同理 即： 解得：； 综上所述：或或 【点睛】本题考查了根据平行线的性质探究角度的关系，涉及了角平分线的定义，熟记相关结论，学会举一反三是解题关键. 2. （2023～2024学年广东省广州市天河区）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板开展数学活动，其中和分别为含和含的直角三角板，其中，，，且．通过操作发现： （1）如图1，将沿方向移动，得到，若，，，求四边形周长； （2）将这副三角板如图2放置，点与点重合，并过点作直线平行于边所在的直线，求的度数； （3）在（2）的条件下，固定，将绕点A逆时针以的速度旋转秒，求当为何值时，直线与的任意一条边所在直线垂直． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质与判定，一元一次方程的应用； （1）根据平移的性质可得，，进而求得四边形的周长； （2）根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解． （3）当，，，分别画出图形，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴四边形的周长为 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：如图所示，当时， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 如图所示，当时，设直线交于点， ∴ ∴, ∴ 则， 解得： 如图所示，当时， 又∵，则 ∴ 解得：； 综上所述，或或 3.（2023～2024学年广东省广州市番禺区）如图，已知直线BC平分∠ABD交AD于点E，且∠2＝∠3． （1）判断直线AB与CD是否平行？并说明你的理由； （2）若AD⊥BD于D，∠CDA＝α，求∠2的度数（用含α的代数式表示）． （3）连接AC，以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B、C的坐标分别为、（2，0），且△ABD的面积等于△BDC的面积与△ADC的面积之和，求点A的坐标． 【分析】（1）先由BC平分∠ABD得∠1＝∠2，再根据∠2＝∠3得∠1＝∠3，据此即可得出答案； （2）由（1）可知AB∥CD，则∠A＝∠CDA＝α，再根据AD⊥BD得∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣α，然后根据交平分线的定义可得∠2的度数； （3）过点B作BF⊥x轴于F，设AB交y轴于H，根据点B（﹣1，）、C（2，0）得DF＝，BH＝1，DC＝2，则S△BDC＝CD•BF＝，再根据（1）可知AB∥CD，则S△ADC＝CD•BF＝，则S△ABD＝，即AB•BF＝，由此得AB＝4，进而可得点A的坐标． 【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下： ∵BC平分∠ABD， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∵AB∥CD； （2）由（1）可知：AB∥CD， ∴∠A＝∠CDA＝α， ∵AD⊥BD， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣α， ∵BC平分∠ABD， ∴∠2＝∠ABD＝（90°﹣α）＝45°﹣α； （3）依题意建立直角坐标，过点B作BF⊥x轴于F，设AB交y轴于H，如图所示： ∵点B、C的坐标分别为（﹣1，）、（2，0）， ∴DF＝，BH＝1，DC＝2， ∴S△BDC＝CD•BF＝×2×＝， 由（1）可知：AB∥CD， ∴S△ADC＝CD•BF＝×2×＝， ∴S△ADC+S△BDC＝， ∵△ABD的面积等于△BDC的面积与△ADC的面积之和， ∴S△ABD＝， ∴AB•BF＝， 即×AB×＝， ∴AB＝4， ∴AH＝AB﹣BH＝3， ∴点A的坐标为． 5、 新定义型 1. （2023～2024学年广东省广州市黄埔区）在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．给出如下定义：①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段；②将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“青一对称点”．例如：点关于轴和直线的“青一对称点”为点． （1）点关于轴和直线“青一对称点”的坐标是________； （2）点关于轴和直线的“青一对称点”的坐标是，求和的值； （3）若点关于轴和直线的“青一对称点”在第二象限，且满足条件的的整数解有且只有一个，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的值为2，的值为3； （3） 【解析】 【分析】（1）依照新定义计算即可； （2）依照新定义计算出，根据题意列出关于m和n的方程组，解方程组即可； （3）依照新定义计算出，根据在第二象限求出x的取值范围，再由满足条件的的整数解有且只有一个，列不等式组得出m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图， ∴点关于轴和直线的“青一对称点”的坐标是； 【小问2详解】 解：点关于y轴的点为，再关于直线对称的点为， ∴点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是， 的坐标是， 解得，， ∴的值为2，的值为3； 【小问3详解】 ∵点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是， 在第二象限， ，解得， 且满足条件的的整数解有且只有一个， ， 解得，． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化，方程组与不等式组的应用，解题的关键是对新定义“青一对称点”的理解． 2. （2023～2024学年广东省广州市海珠区）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可求解； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得，由根据方程和不等式组有有“梦想解”可得，解得解得，综上进而可得的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； 【小问2详解】 解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； 【小问3详解】 解：由方程得，， 解不等式组得， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴， 解得， 又∵方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 3. （2023～2024学年广东省广州市花都区）本学期我们学习了无理数，数系则从有理数扩充到了实数．在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立． 阅读材料：当时，是非负数的算术平方根，也是一个实数，这类实数可以进行如下乘法运算：．如：．但任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，如：． 根据以上材料，解决下列问题：实数与满足． （1）写出与的取值范围； （2）若为有理数8，求此时的值； （3）已知是有理数，且满足等式：，求和的值． 【答案】（1） （2）29 （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算与性质，理解题意是关键； （1）根据被开方数非负可确定a的取值范围，根据算术平方根非负可确定b的取值范围； （2）由，即可确定b的值，从而可确定a的值； （3）由a的值可得b的值，然后代入等式中，根据x、y为有理数即可求得x、y的值． 【小问1详解】 解：由于， 则； 【小问2详解】 解：， ； ∵，即， ∴， 即； 【小问3详解】 解：， 则， 整理得：， ∴， 即． 6、 复杂应用题。 1. （2023～2024学年广东省广州市荔湾区）如图，某化工厂与，两地有公路、铁路相连，这家工厂从地购进一批每吨1600元的原料运回工厂，制成产品运到地销售．已知3吨产品的销售款比2吨原料的进货款多20800元． （1）求每吨产品的销售款是多少元； （2）已知公路运价为元，铁路运价为元，且这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费89100元，求这批原料比产品多多少吨； （3）工厂原计划从地购进的原料和送往地的产品一共有20吨，若要增加吨的产品，就要再购进吨的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购进多少吨的原料． 【答案】（1）每吨产品的销售款是8000元 （2）这批原料比产品多100吨 （3）至少需要再购进6.875吨的原料 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设每吨产品的销售款是m元，根据题意可列出关于m的等式，解之即可； （2）设这批原料x吨，产品y吨，根据题意可列出关于x，y的等式，解之即可； （3）设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨．根据原料总重量是产品总重量的2倍，可求出，再根据题意可列出关于a的一元一次不等式，解之即可． 【小问1详解】 解：设每吨产品的销售款是m元， 根据题意有：， 解得：， 答：每吨产品的销售款是8000元； 【小问2详解】 解：设这批原料x吨，产品y吨， 根据题意有：， 解得：． 吨， 答：这批原料比产品多100吨； 【小问3详解】 解：设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨． ∵原料总重量是产品总重量的2倍， ∴， ∴． ∵此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元， ∴ 解得：， 答：至少需要再购进6.875吨的原料． 2. （2023～2024学年广东省广州市越秀区）某班同学对七巧板拼图游戏产生了浓厚的兴趣．受此启发，他们自己动手设计并制作了一个全新的正方形拼图游戏．如图，用若干A型正方形纸板和B型长方形纸板，可以拼成Ⅰ型或Ⅱ型的正方形纸板（为分米）． （1）若要做Ⅰ型和Ⅱ型纸板共35张，且Ⅰ型纸板的数量不少于Ⅱ型纸板数量的两倍，则至少制作Ⅰ型纸板多少张？ （2）学校现有库存A型纸板210张，B型纸板65张，若用这批纸板制作Ⅰ型和Ⅱ型纸板，并且恰好将库存纸板用完，求可制作出Ⅰ型和Ⅱ型纸板各多少张？ （3）现有C型长方形纸板a张，已知A，B型纸板均是由C型纸板裁剪而成．其中第1张C型纸板被裁剪成了3张A型和3张B型纸板．为简化操作，剩余的C型纸板中的b张全部裁剪成B型纸板，其余全部裁剪成A型纸板．若裁剪得到的纸板恰好拼成若干张Ⅰ型和25张Ⅱ型纸板，求a的最小值，并求此时b的值． 【答案】（1）24张 （2）Ⅰ型纸板各20张，Ⅱ型纸板25张 （3）a的最小值是21， b的值为7． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程和一元一次不等式的应用，找准数量关系，准确列出二元一次方程组或不等式是解题的关键； （1）设至少制作Ⅰ型纸板x张，则制作Ⅱ型纸板张，根据Ⅰ型纸板的数量不少于Ⅱ型纸板数量的两倍，列不等式计算最小整数即可 （2）设可制作出Ⅰ型纸板各x张，Ⅱ型纸板y张，根据制作出一张Ⅰ型纸板需A型纸板3张，B型纸板2张；Ⅱ型纸板需要A型纸板6张，B型纸板1张，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）根据题意可知1张C型纸板可裁剪成了12张A型或4张B型纸板，然后根据裁剪的张数和拼成的方式得出，然后根据，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设制作Ⅰ型纸板x张，则制作Ⅱ型纸板张，根据题意得 解得：， x为整数， ， 至少制作Ⅰ型纸板24张； 【小问2详解】 解：设可制作出Ⅰ型纸板各x张，Ⅱ型纸板y张，根据题意得： 解得： 答：可制作出Ⅰ型纸板各20张，Ⅱ型纸板25张， 【小问3详解】 A型正方形纸板尺寸为、B型长方形纸板尺寸为和C型长方形纸板尺寸为， 1张C型纸板可裁剪成了12张A型或4张B型纸板， 根据题意得： 第1张C型纸板被裁剪成了3张A型和3张B型纸板，b张全部裁剪成张B型纸板，剩下了张A型纸板， 一张Ⅰ型纸板需要3张A型和2张B型纸板， 一张Ⅱ型纸板需要6张A型和1张B型纸板， 拼成若干张Ⅰ型和25张Ⅱ型纸板， 拼成25张Ⅱ型纸板，需要150张A型和25张B型纸板， C型长方形纸板a张，共裁剪张A型和张B型纸板， ， 解得：， 裁剪得到的纸板恰好拼成若干张Ⅰ型和25张Ⅱ型纸板， ， 解得：， a，b为正整数， 当时，代入得 （舍去） 当时，代入得 ， 答：a的最小值是21，此时b的值为7． 3.（2023～2024学年广东省广州市番禺区）某书店用3000元首次购进了甲、乙两种图书，甲种图书每本进价为18元，乙种图书每本进价为15元，书店在销售时甲种图书每本售价为26元，乙种图书每本售价为20元，全部售完后共获利润1200元． （1）求书店购进甲、乙两种图书各多少本？ （2）若书店以原进价再次购进甲、乙两种图书，购进甲种图书的数量是第一次的2倍，而购进乙种图书的数量比第一次增加了50%．现在甲种图书降价出售，而乙种图书按原售价打九折出售．当两种图书销售完毕时，要使再次获利不少于1560元，求甲种图书每本最低售价应为多少元？ （3）某活动中心计划用300元购买甲、乙两种图书，购买单价是（2）的条件下的最低售价，在300元恰好用完的条件下，有哪些可行的购买方案？哪种方案书店获利较少？ 【分析】（1）设书店购进x本甲种图书，y本乙种图书，利用总价＝单价×数量结合总利润＝每本书的销售利润×购进数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲种图书每本售价为m元，利用总利润＝每本书的销售利润×购进数量，结合总利润不少于1560元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （3）设购进a本甲种图书，b本乙种图书，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案书店获得的利润，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设书店购进x本甲种图书，y本乙种图书， 根据题意得：， 解得：． 答：书店购进100本甲种图书，80本乙种图书； （2）设甲种图书每本售价为m元， 根据题意得：（m﹣18）×100×2+（20×0.9﹣15）×80×（1+50%）≥1560， 解得：m≥24， ∴m的最小值为24． 答：甲种图书每本最低售价应为24元； （3）设购进a本甲种图书，b本乙种图书， 根据题意得：24a+20×0.9b＝300， ∴a＝． 又∵a，b均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种可行的购买方案， 方案1：购进11本甲种图书，2本乙种图书； 方案2：购进8本甲种图书，6本乙种图书； 方案3：购进5本甲种图书，10本乙种图书； 方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书． 方案1书店可获利（24﹣18）×11+（20×0.9﹣15）×2＝72（元）； 方案2书店可获利（24﹣18）×8+（20×0.9﹣15）×6＝66（元）； 方案3书店可获利（24﹣18）×5+（20×0.9﹣15）×10＝60（元）； 方案4书店可获利（24﹣18）×2+（20×0.9﹣15）×14＝54（元）． ∵72＞66＞60＞54， ∴方案4：购进2本甲种图书，14本乙种图书，书店获利最少． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年广东省广州市各区七年级下学期期末考试数学真题汇编：压轴题 （原卷版） 1、 选择题 1. （2023～2024学年广东省广州市天河区）（多选）关于x，y的二元一次方程组，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. x，a满足关系式 C. 若，则 D. 若，则 2.（2023～2024学年广东省广州市番禺区）如图，把一个含30°角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若∠1＝33°，则∠2的度数为（　　） A．33° B．27° C．25° D．17° 3.（2023～2024学年广东省广州市白云区）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共7元．1角、5角、1元硬币的取法共有（ ） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 4. （2023～2024学年广东省广州市海珠区）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分③；④等于．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ①②③④ 5. （2023～2024学年广东省广州市黄埔区）如图，点在延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. （2023～2024学年广东省广州市荔湾区）已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（ ）个．①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. （2023～2024学年广东省广州市越秀区）如图所示，，点E为线段上一点，平分，平分，要求的度数，只需要知道下列哪个式子的值（ ） A. B. C. D. 8. （2023～2024学年广东省广州市花都区）已知关于的方程组，满足，则的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2、 填空题 1. （2023～2024学年广东省广州市花都区）如图，点为长方形的边上的点，连接，将三角形沿着翻折得到三角形，三角形翻折得到三角形．此时，点恰好落在线段上，且．以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的是______．（填入所有正确的序号） 2. （2023～2024学年广东省广州市越秀区）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点M，N之间的“直角距离”为．已知点，，． （1）A与B两点之间的“直角距离”____； （2）点为平面直角坐标系内一动点，且满足，则n的取值范围____． 3. （2023～2024学年广东省广州市荔湾区）观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对______． 4. （2023～2024学年广东省广州市黄埔区）如图，一个粒子按的规律运动，每次运动一个单位长度，则点的坐标是________． 5．（2023～2024学年广东省广州市番禺区）如图，AF∥CD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠CBE+∠D＝90°；④∠DEB＝2∠BCD．其中正确结论为 　①③④　（只填写序号）． 6. （2023～2024学年广东省广州市白云区）把一些书分给若干名同学，如果每名同学分3本，那么余8本；如果前面每名同学分5本，那么最后1名同学就分到至少3本；则至多共有______名同学． 7.（2023～2024学年广东省广州市海珠区）已知非负数，，满足，设．则的最大值与最小值的和为__． 8.（2023～2024学年广东省广州市天河区）在平面直角坐标系中，已知动点（x是任意实数）和定点，则线段的长的最小值为______． 3、 平面直角坐标系型 1. （2023～2024学年广东省广州市天河区）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”例如：的“2属派生点”为，即． （1）求点的“3属派生点”的坐标； （2）若点P的“5属派生点”的坐标为，求点P的坐标； （3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求k的值． 2. （2023～2024学年广东省广州市白云区）如图1，已知，，将线段向右平移到交x轴于点M，连接，． （1）点B的坐标为______，点C的坐标为______； （2）求的面积和点M的坐标； （3）如图，若点为四边形内的一点，且，求m，n之间满足的等量关系并直接写出m的取值范围． 3. （2023～2024学年广东省广州市花都区）如图1，在平面直角坐标系中，，点在第一象限，轴，且． （1）点C的坐标为：______； （2）一动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度向左运动． ①如图2，过点作交轴于点与的角平分线相交且交点为与交于点，求的度数； ②点沿射线运动时，射线同时以每秒1个单位长度的速度向下平移，记点的横坐标为，当的面积大于6时，求的取值范围． 4. （2023～2024学年广东省广州市越秀区）如图所示，点，点B在y轴的正半轴上，，点是第一象限内一动点，且三角形的面积为6，线段与交于点D． （1）求三角形的面积； （2）若三角形与三角形的面积相等，求点C的坐标； （3）将线段沿射线平移，得到线段（点B与点A是对应点），连接，设三角形面积为，三角形的面积为，，当时，求m的取值范围． 5. （2023～2024学年广东省广州市海珠区）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点在线段上运动（点不与、两点重合，题中所有的角均为大于且小于的角） （1）直接写出点的坐标． （2）射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使，求与之间的数量关系． （3）连接，，平分，是的三等分线，且，请判断能否为定值？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 6. （2023～2024学年广东省广州市荔湾区）已知在平面直角坐标系中有三点，，，，，满足． （1）若，将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，点的对应点为，点是线段上的一个动点，且三角形的面积等于6，求点的坐标； （2）将线段向右平移个单位得到线段，点的对应点为． ①若三角形的面积小于4，求的取值范围； ②已知点，连接，若线段与线段有公共点，请直接写出的取值范围． 4、 平行线综合型 1. （2023～2024学年广东省广州市黄埔区）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，若，，则________度，________度； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的一条边，请求出所有满足条件的的值． 2. （2023～2024学年广东省广州市天河区）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板开展数学活动，其中和分别为含和含的直角三角板，其中，，，且．通过操作发现： （1）如图1，将沿方向移动，得到，若，，，求四边形周长； （2）将这副三角板如图2放置，点与点重合，并过点作直线平行于边所在的直线，求的度数； （3）在（2）的条件下，固定，将绕点A逆时针以的速度旋转秒，求当为何值时，直线与的任意一条边所在直线垂直． 3.（2023～2024学年广东省广州市番禺区）如图，已知直线BC平分∠ABD交AD于点E，且∠2＝∠3． （1）判断直线AB与CD是否平行？并说明你的理由； （2）若AD⊥BD于D，∠CDA＝α，求∠2的度数（用含α的代数式表示）． （3）连接AC，以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B、C的坐标分别为、（2，0），且△ABD的面积等于△BDC的面积与△ADC的面积之和，求点A的坐标． 5、 新定义型 1. （2023～2024学年广东省广州市黄埔区）在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．给出如下定义：①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段；②将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“青一对称点”．例如：点关于轴和直线的“青一对称点”为点． （1）点关于轴和直线“青一对称点”的坐标是________； （2）点关于轴和直线的“青一对称点”的坐标是，求和的值； （3）若点关于轴和直线的“青一对称点”在第二象限，且满足条件的的整数解有且只有一个，求的取值范围． 2. （2023～2024学年广东省广州市海珠区）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 3. （2023～2024学年广东省广州市花都区）本学期我们学习了无理数，数系则从有理数扩充到了实数．在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立． 阅读材料：当时，是非负数的算术平方根，也是一个实数，这类实数可以进行如下乘法运算：．如：．但任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，如：． 根据以上材料，解决下列问题：实数与满足． （1）写出与的取值范围； （2）若为有理数8，求此时的值； （3）已知是有理数，且满足等式：，求和的值． 6、 复杂应用题。 1. （2023～2024学年广东省广州市荔湾区）如图，某化工厂与，两地有公路、铁路相连，这家工厂从地购进一批每吨1600元的原料运回工厂，制成产品运到地销售．已知3吨产品的销售款比2吨原料的进货款多20800元． （1）求每吨产品的销售款是多少元； （2）已知公路运价为元，铁路运价为元，且这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费89100元，求这批原料比产品多多少吨； （3）工厂原计划从地购进的原料和送往地的产品一共有20吨，若要增加吨的产品，就要再购进吨的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购进多少吨的原料． 2. （2023～2024学年广东省广州市越秀区）某班同学对七巧板拼图游戏产生了浓厚的兴趣．受此启发，他们自己动手设计并制作了一个全新的正方形拼图游戏．如图，用若干A型正方形纸板和B型长方形纸板，可以拼成Ⅰ型或Ⅱ型的正方形纸板（为分米）． （1）若要做Ⅰ型和Ⅱ型纸板共35张，且Ⅰ型纸板的数量不少于Ⅱ型纸板数量的两倍，则至少制作Ⅰ型纸板多少张？ （2）学校现有库存A型纸板210张，B型纸板65张，若用这批纸板制作Ⅰ型和Ⅱ型纸板，并且恰好将库存纸板用完，求可制作出Ⅰ型和Ⅱ型纸板各多少张？ （3）现有C型长方形纸板a张，已知A，B型纸板均是由C型纸板裁剪而成．其中第1张C型纸板被裁剪成了3张A型和3张B型纸板．为简化操作，剩余的C型纸板中的b张全部裁剪成B型纸板，其余全部裁剪成A型纸板．若裁剪得到的纸板恰好拼成若干张Ⅰ型和25张Ⅱ型纸板，求a的最小值，并求此时b的值． 3.（2023～2024学年广东省广州市番禺区）某书店用3000元首次购进了甲、乙两种图书，甲种图书每本进价为18元，乙种图书每本进价为15元，书店在销售时甲种图书每本售价为26元，乙种图书每本售价为20元，全部售完后共获利润1200元． （1）求书店购进甲、乙两种图书各多少本？ （2）若书店以原进价再次购进甲、乙两种图书，购进甲种图书的数量是第一次的2倍，而购进乙种图书的数量比第一次增加了50%．现在甲种图书降价出售，而乙种图书按原售价打九折出售．当两种图书销售完毕时，要使再次获利不少于1560元，求甲种图书每本最低售价应为多少元？ （3）某活动中心计划用300元购买甲、乙两种图书，购买单价是（2）的条件下的最低售价，在300元恰好用完的条件下，有哪些可行的购买方案？哪种方案书店获利较少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$