绝对值、二次根式、分式裂项讲义-2024-2025学年初高中教材衔接

初高中数学衔接教材 第四节 绝对值、二次根式、分式裂项 1、 绝对值的意义 1.代数意义 2.几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3.两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，表示数和数的两个点之间的距离． 二、的意义 例1 化简：（1）（2） 分析：二次根式的化简，需要将被开方数进行配方，再利用，然后根据的符号去掉绝对值符号，这类题型往往需要积累经验. 解：（1）原式 ； （2）原式=， ∵， ∴， 所以，原式＝． 练习1: 化简：（1）； （2）． 练习2： 已知，求下列各式的值：（1）；（2）. 二次根式练习答案： 练习1（1）原式 ； （2）原式=， ∵， ∴， 所以，原式＝． 练习2【答案】（1）7；（2）47. 【分析】 （1）对等式两边同时平方即可得解； （2）根据（1）对两边同时平方即可得解. 【详解】（1），∴两边平方得，得； （2）由（1）知，两边平方得. 三、 分式的裂项 高中数学数列求和内容中，需要对一个分式进行裂项，如，分式裂项是通分的逆运算.常见的裂项公式有 ①； ②； ③； ④； ⑤ 例2求和 解：因为 所以 例3（1）证明（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有． （1）证明：∵， ∴（其中n是正整数）成立． （2）解：由（1）可知 ＝． （3）证明：∵ ＝ ＝， 又n≥2，且n是正整数， ∴一定为正数， ∴＜． 分式的裂项练习： 1．填空题：对任意的正整数n， ()； 2．求和：． 3．对任意大于1的正整数n， 证明： 分式裂项练习答案： 1． 2． 原式=； 3．提示：因为， 所以原式 ， 又n≥2，且n是正整数， ∴，一定为正数， 所以， 即证. 四、只有二次项的二元二次方程 一个只有二次项的二元二次方程，有时候我们需要从这个方程求得两个未知数的比值. 例4 已知，求的值. 分析：可以对这个式子进行因式分解，从而得到和的的比值，也可以式子两边同除以 ，将视作一个整体，解关于的一元二次方程即可. 解法一：利用十字相乘法对进行因式分解可得， ，由，得； 由， 得，故. 解法二：式子两边同除以，得， 解这个关于的一元二次方程可得. 练习：若，则 . 答案：2或3. 二次根式、分式——2024初高中数学衔接教材LSR第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$