21.3实际问题与一元二次方程（3） 导学案 2024--2025学年人教版数学九年级上册

21.3实际问题与一元二次方程（3） 【学习目标】学生经历对现实问题中量的分析，借助用字母表达的未知数，建立量之间关系的过程，知道方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达；建立模型观念。能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。 【学习过程】 1、 自主探究 提出问题：如图，在长为100 m、宽为80 m的矩形地面上要修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化.若要使绿化面积为7644 m2，则道路的宽应为多少米？ 分析问题：在矩形地面上修建宽度相等且互相垂直的道路，则剩余部分可以拼成一个新的矩形。若设道路的宽为x米。则新的矩形的长可以表示为_____；宽可以表示为____；于是面积可以表示为_______.因此，建立方程为_____________，求出方程的解为_______. 2、 独立思考： 为什么说修建两条宽度相等且互相垂直的道路后剩余部分可以拼成一个新的矩形？请画图说明你的拼法？ 三、类比探究： 1.某单位准备将院内一块长 30 m、宽 20 m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示.要使种植花草的面积为 532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注:所有小道进出口的宽度相等.) 2.如图，一长为32 m、宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540 m，求道路的宽。 四、拓展探究： 1. 如果上面的道路要求变成斜的，如图所示，上面的问题能解决吗？如果能，怎样解决；如果不能，请说明理由。 2. 已知一本数学书的长为26cm，宽为18.5 cm，厚为1 cm。一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260cm2。虚线表示的是折痕，由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形，求正方形的边长. 5、 应用探究 1．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）“直田积（矩形面积）八百六十四平方步，阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步” （选自《田亩比类乘除算法》）．设阔为x步，可列出方程（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）   A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·陕西安康·期末）小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个面积为的长方形信封如图所示，信封长和宽的比为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 5.（23-24八年级下·山东威海·期末）有一块长，宽的矩形纸片． (1)如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为，求裁去的小正方形的边长； (2)若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 6.（24-25九年级上·全国·课后作业）用总长的木板制作矩形置物架（如图），已知该置物架上面部分为正方形，下面部分是两个全等的矩形和矩形，中间部分为矩形．已知，设正方形的边长． (1)当时，的长为________ ； (2)置物架的高的长为________ ；（用含x的代数式表示） (3)为了便于置放物品，的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 7．（23-24八年级下·广西南宁·期末）项目化学习： 主题 “校庆主题”草坪设计 情境 为了迎接第60周年校庆，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“校庆主题”草坪设计．以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务1 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案． 驱动问题1 （1）请直接写出小组设计出来的四种方案小路面积，，，的大小关系． 活动任务2 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题2 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 2．C 3．C 4．(1)长方形信封的长宽为2． (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析． 5．(1)； (2)能，． 6．(1)35 (2) (3)75 7．（1）；（2）小路的宽为2m； $$