3.2函数的基本性质（周期性、对称性）课时作业-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3.2函数的基本性质提升补充-周期性、对称性课时作业 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知定义在上的奇函数满足，则的值为（    ） A．－l B．0 C．1 D．2 2．已知定义在上的偶函数满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．设是定义在上的周期为的偶函数，已知时，，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（    ） A．2023 B． C．4048 D． 5．已知函数的定义域为，的图象关于中心对称，是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数为偶函数，且，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 7．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（    ） A．1 B． C．0 D． 8．若函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，现有函数，则它的对称中心为（    ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题,每题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ） A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 10．函数的图象关于直线对称，那么（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 11．已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，，则下列结论正确的是（    ） A．奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．若，则 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 把答案填在答题卡中的横线上. 12．函数满足，且，则 ． 13．设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则 ． 14．若函数对于都有，则 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有，当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算． 16．(15分)已知是定义在上的函数，满足. (1)若，求； (2)求证：的周期为4； (3)当时，，求在时的解析式. 17．(15分)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)求证：点是函数图象的对称中心； (2)已知函数，求的值． 18．(17分)已知函数（常数）． 条件：（1）在区间上是严格增函数； （2）在定义域上函数值恒为负值； （3）对称中心为． 问：是否存在整数a，使该函数满足条件（1）（2）（3）中的两个条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 19．(17分)已知函数，对任意的有，且的最大值为． (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围． 参考解析 1．B 【解析】由为定义在上的奇函数，得，得， 由得，所以的周期为4， 所以故选：B. 2．C 【解析】由，所以是函数的一个周期，所以， 又是偶函数且，所以.故选：C 3．C 【解析】是定义在上的周期为的偶函数，时，， 时，， ， 此时， 当时，，， 此时， 所以， 综上可得：时，，故选：C. 4．C 【解析】由是偶函数知，的图象关于直线对称，①, 又的图象关于中心对称，所以②, 则③, 由①②③可得，,故函数的周期为4， 则，，，则， 则．故选：C 5．D 【解析】的图象关于中心对称，则（∗）； 是偶函数，则， 则的图象关于轴对称，则（∗∗）； 令代入（∗）得，，解得，代入 （∗∗）得到. 故选：D. 6．B 【解析】为偶函数，，即关于对称， 则，由，得函数关于对称， 令，得，得，则， 即，即，得， 即是周期为4的周期函数， 令，由得，，即， ，故选：B． 7．D 【解析】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点中心对称，则. 因为为偶函数，所以， 所以的图象关于直线轴对称. 由，得， 所以，则， 则的周期为4，，则.故选：D 8．B 【解析】设的图象关于点成中心对称图形， 所以由题意得为奇函数， 所以， 所以， 因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得， 所以的对称中心为.故选：B. 9．ABC 【解析】对于A：函数为奇函数，则， 则，则的一个周期为4，故A正确； 对于B：，则函数关于对称，故B正确； 对于C：的一个周期为4，， 令中的，则， 函数为定义在上奇函数，，，故C正确； 对于D：的一个周期为4，， 函数为奇函数，，，故D错误； 故选：ABC. 10．AC 【解析】若函数满足，则的图象关于对称， 对A，，则的图象关于对称，符合题意； 对B，，则的图象关于对称，不符合题意； 对C，函数的图象关于直线对称，的图象向左平移一个单位得到的图象，所以的对称轴为轴， 即函数为偶函数，符合题意； 对D，函数的图象关于直线对称，的图象向右平移一个单位得到的图象， 所以的对称轴为，不能判断函数为偶函数，不符合题意； 故选：AC. 11．AD 【解析】对于A中，由的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，则是奇函数，且，所以A正确； 对于B中，因为是奇函数，所以， 所以的图象关于直线对称，所以B不正确； 对于C中，因为，所以， 所以，所以的一个周期为4，不一定为最小正周期，所以C错误. 对于D中，因为，， 所以，， 所以， 所以，所以D正确. 故选：AD 12． 【解析】由，知. 所以，得. 故. 13． 【解析】由的周期为2得，， 14． 【解析】由对于都有，得函数图象的对称中心为， 显然，则，于是， 因此，所以. 15．【解析】（1）， 所以：是以为周期的周期函数； （2）当时，因为函数是定义在R上的奇函数， 所以， 当时，； （3），因为函数的周期为， 所以. 16．【解析】（1）∵，∴. （2）∵对任意的，满足 ∴， ∴函数是以4为周期的周期函数. （3）设，则， ∵当时，， ∴当时，，又∵，∴ ∴. 17．【解析】（1）证明：因为，令， 所以 即，，所以是奇函数． 由题意，点是函数图象的对称中心． （2）由（1）知函数的图像的对称中心为， 所以， 所以， 所以， 所以． 18．【解析】， 当时，函数值域．所以（2）成立只能． 要使得在区间上是严格增函数，则； 因为， 所以函数的对称中心为， 由（1）（3）得，． 由（2）（3）可得． 综上所述，且． 19．【解析】（1）因为，所以的对称轴为， 所以，即，因为的最大值为，所以， 因为，所以，即． （2）由（1）得， 当，不等式恒成立，则，即． 设，对任意的，且， 则， 因为，且，所以， 即，即， 故在上单调递增，同理可证，在上单调递减， 因为恒成立，即， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以．故的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$