2025届高三数学一轮复习阶段性测试卷(函数、导数、立几、集合与命题）

高三一轮复习阶段性测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则的真子集个数为（    ） A．7 B．4 C．3 D．2 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（    ）（参考数据：） A．70天 B．80天 C．90天 D．100天 4．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 5．心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．设，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．在上单调递减 10．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（    ） A．与平面的夹角的正弦值为 B．点到的距离为 C．线段的长度的最大值为 D．与的数量积的范围是 11．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，在上单调递增 C．若关于的方程有两个不等实根，则 D．对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题 12．已知函数是定义在R上的奇函数，且，则 ． 13．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，则这个问题回答正确的概率为 ． 14．定义区间，其中，则满足的m的最大值为 . 四、解答题 15．已知集合，其中实数是常数. (1)求集合A与集合； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 16．一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等． (1)求该款行李箱密码的不同种数； (2)记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望． 17．已知命题，命题. (1)若当时，命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围； (2)若“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 18．如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19．黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（为常数）密切相关，请解决下列问题： (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明有唯一极值点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C【详解】由集合，，得， 所以的真子集个数为.故选：C 2．B【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定义分析即得解 【详解】由，解得， 由且，解得， 故，充分性不成立； ，必要性成立故是成立的必要不充分条件 故选：B. 3．B【详解】设天后的“进步值”是“退步值”的5倍，则，即，两边同时取对数得，化简得， 所以． 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天．故选:B． 4．C 【详解】设为圆锥高，为圆锥母线长   以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则，在中，，可得， 且，则，解得， 所以圆锥的侧面积为.故选：C. 5．C【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则，故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误.故选：C. 6．B【详解】依题意，，又， ，所以.故选：B 7．A【详解】令得；令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确.故选：A 8．C【详解】由，得， 则当时，得， ， 则当时，，得函数在上单调递增， 因为，所以， 由于是偶函数，则， 而函数在上单调递增，得，得，得，故选：C 9．ABC【详解】令，因为是奇函数， 所以， 即的图象关于点对称． 令，因为是偶函数， 所以， 即的图象关于直线对称． A选项，由，令，可得， 由，令，可得，故A正确． B选项，由，令，可得，故B正确． C选项，由，令，可得，故C正确． D选项，由在上单调递减，结合的图象关于点对称，可知在上单调递减，由可知在上单调递减，又的图象关于直线对称，则在上单调递增，故D错误．故选:ABC． 10．ABD 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量，则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值；当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确；故选：ABD. 11．AB 【详解】对于A，当时，， 显然或，故A正确； 对于B，当时，， 显然时，，故B正确； 对于C，易知， 则在上单调递减，在上单调递增， 即，且时，，， 所以要满足题意，需，故C错误； 对于D，由上及题设，易知， 构造， 则 ， 因为，所以，故， 即在上单调递增，， 即，则， 而在上单调递增，且，， 所以，故，故D错误.故选：AB 12．/ 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以， 又，所以，解得， 经检验符合题意，所以，则. 故答案为：. 13． / 【详解】根据题意，设甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件， 则，，， 所以，，若规定三名同学都回答这个问题， 则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率， 若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，， 则这个问题回答正确的概率．故答案为：；． 14．4【详解】依题意，，，则， ，而，，则， ，由，得，因此， ，而，于是， 即，，所以.故答案为：4 15．(1)，(2) 【详解】（1）因为，且在上单调递增， 可得，解得，所以； 又因为，且在上单调递增， 可得，解得，所以. （2）若对任意的，都有，可知，则，解得， 所以实数的取值范围为. 16．(1)(2)分布列见解析；期望为 【详解】（1）当密码中只有一个数字出现三次且其余两个数字各出现一次时，其不同种数为， 当密码中有两个数字各出现两次且另一个数字出现一次时，其不同种数为， ∴该款行李箱密码的不同种数为． （2）由题意得X所有可能的取值为1，2，3， ，， ， ∴X的分布列为 X 1 2 3 P ∴X的数学期望． 17．(1)(2) 【详解】（1）若命题p为真命题，则有，即，解得或； 当时，命题q为真命题，则，即在区间上恒成立， 令，则， 所以在区间上单调递增，最小值为，故. 因此当命题p和q都是真命题时，实数a的取值范围是. （2）当命题q为真命题时，在上恒成立，由（1）可知； 当命题p为假命题时，由（1）可知. 因为“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件，则，解得. 故实数k的取值范围是. 18．(1)证明见解析(2) 【详解】（1）过作于点，由平面平面， 平面平面平面，平面， 又底面平面，，平面， 所以底面平面，，又为的中点； （2）设， ， ， 如图建系，， ， 设平面的一个法向量，，令，得，所以， 设直线与平面所成角为，. 19．(1)．(2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 此时，又， 所以在点处的切线方程为，即． （2）由题意得， 令， ，令，可得，依题意得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，所以，又因为， 所以，存在唯一． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以存在唯一极大值点，且． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$