江苏省扬州市仪征市精诚高级中学2023-2024学年高二下学期三月月考数学试题

仪征市精诚高级中学高二年级三月考 数 学 注意事项： 1． 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共8小题） 1．若z•（1+i）＝2i，则z的虚部是（　　） A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i 2．从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有（　　） A．4种 B．12种 C．24种 D．64种 3．函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）若，则f′（x0）＝（　　） A．f′（x0）＝1 B．f′（x0）＝2 C．f′（x0）＝4 D．f′（x0）不确定 4．下列求导结果正确的是（　　） A． B．（3x）′＝x•3x﹣1 C． D．（sin2x）′＝cos2x 5．如图，函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是L，则f（2）+f′（2）＝（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣2 D．1 6．已知函数，其导函数记为f'（x），则f（2019）+f'（2019）+f（﹣2019）﹣f'（﹣2019）＝（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 7．若直线ax+y+1＝0与曲线在点（3，2）处的切线垂直，则实数a＝（　　） A． B． C．2 D．﹣2 8．函数g（x）的图象关于y轴对称，x∈（﹣∞，0)时，g′（x）＜0，g（2）＝0．又g（x）＝f（x+1），则（x+1）f（x）＞0的解集为（　　） A．（3，+∞） B．{x|x∈R，x≠1} C．（1，+∞） D．{x|x＜﹣1或x＞3} 二．多选题（共4小题） 9．下列说法正确的是（　　） A．若|z|＝2，则 B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0 C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等 D．“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件 10．如图是函数y＝f（x）的导函数的图象，下列结论中正确的是（　　） A．f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数 B．当x＝3时，f（x）取得最小值 C．当x＝﹣1时，f（x）取得极小值 D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数 11．已知函数f（x）＝x3﹣3lnx﹣1，则（　　） A．f（x）的极大值为0 B．曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为x轴 C．f（x）的最小值为0 D．f（x）在定义域内单调 12．已知函数，当实数a为下列（　　）的值时，函数f（x）在（1，2）上有极值． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题） 三．填空题（共4小题） 13．在复平面内，复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为　 　． 14．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成　 　个三位正整数． 15．已知函数f（x）＝ex﹣，若f（a﹣2）+f（a2）≤0，则实数a的取值范围是　 　． 16．已知直线l：y＝x+b为曲线f（x）＝ex的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为　 　． 四．解答题（共6小题） 17．在①z＜0，②z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知复数：z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i． （1）若______，求实数m的值； （2）若复数z﹣m2（1+i）+8的模为2，求m的值． 18．已知函数f（x）＝x3﹣3x． （1）求曲线y＝f（x）在点P（1，﹣2）处的切线方程； （2）过点P（2，2）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线的方程． 19．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣ax（a∈R），在定义域内恰有三个不同的零点，求实数a的取值范围． 20．已知函数（a为常数）． （Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）若存在x0≥1使得f（x0）＜0，求a的取值范围． 21．已知函数f（x）＝x2﹣alnx+（1﹣a）x． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性： （Ⅱ）若f（x）＞恒成立，求正实数a的取值范围． 22．已知φ（x）＝lnx﹣x2﹣mx． （Ⅰ）当m＝﹣1时，求函数φ（x）的单调区间； （Ⅱ）当m≥2时，证明：关于x的不等式成立． 仪征市精诚高级中学高二年级三月考 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．若z•（1+i）＝2i，则z的虚部是（　　） A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i 【分析】利用复数的除法运算求出z的代数形式，由复数的定义求解即可． 【解答】解：因为z•（1+i）＝2i， 所以， 故z的虚部是1． 故选：B． 2．从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有（　　） A．4种 B．12种 C．24种 D．64种 【分析】分析易得，这是一个分步乘法计数原理问题，由此计算可得答案． 【解答】解：根据题意，从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有4×4×4＝64种． 故选：D． 3．函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）若，则f′（x0）＝（　　） A．f′（x0）＝1 B．f′（x0）＝2 C．f′（x0）＝4 D．f′（x0）不确定 【分析】将已知的等式变形为符合导数定义的形式，利用导数定义得到答案． 【解答】解：， 则2＝2， 即＝1＝f′（x0）， 故选：A． 4．下列求导结果正确的是（　　） A． B．（3x）′＝x•3x﹣1 C． D．（sin2x）′＝cos2x 【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项的函数求导即可． 【解答】解：，，（sin2x）′＝2cos2x． 故选：C． 5．如图，函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是L，则f（2）+f′（2）＝（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣2 D．1 【分析】本题根据导数的基本运算结合函数图象可计算出f′（x）的式子，进而可求出y＝f（x）的式子，即可求得结果． 【解答】解：由图象可得：函数y＝f（x）的图象在点P处的切线是L与x轴交于（4，0），与y轴交于（0，4），则可知 L：x+y＝4，∴f（2）＝2，f′（2）＝﹣1 ∴代入则可得f（2）+f′（2）＝1， 故选：D． 6．已知函数，其导函数记为f'（x），则f（2019）+f'（2019）+f（﹣2019）﹣f'（﹣2019）＝（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】先求出f'（x），得到f′（x）为偶函数，g（x）＝f（x）﹣1＝，则g（x）为奇函数，利用函数奇偶性的性质求解即可． 【解答】解：函数＝， 则， 显然f′（x）为偶函数，令g（x）＝f（x）﹣1＝， 显然g（x）为奇函数，又f′（x）为偶函数， 所以f'（2019）﹣f'（﹣2019）＝0，f（2019）+f（﹣2019）＝g（2019）+1+g（﹣2019）+1＝2， 所以f（2019）+f'（2019）+f（﹣2019）﹣f'（﹣2019）＝2． 故选：A． 7．若直线ax+y+1＝0与曲线在点（3，2）处的切线垂直，则实数a＝（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝3处的导数，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解a值． 【解答】解：由，得y′＝， 则y′|x＝3＝﹣， ∵直线ax+y+1＝0与曲线在点（3，2）处的切线垂直， ∴（﹣a）×（﹣）＝﹣1，得a＝﹣2． 故选：D． 8．函数g（x）的图象关于y轴对称，x∈（﹣∞，0)时，g′（x）＜0，g（2）＝0．又g（x）＝f（x+1），则（x+1）f（x）＞0的解集为（　　） A．（3，+∞） B．{x|x∈R，x≠1} C．（1，+∞） D．{x|x＜﹣1或x＞3} 【分析】根据条件先确定函数g（x）的单调性和对称性，由此得到g（2）＝g（﹣2）＝0，且有当x＜﹣2或x＞2时，g（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，g（x）＜0，将不等式变形为（x+1）g（x﹣1）＞0，分类讨论，分别求解即可得到答案． 【解答】解：因为函数g（x）的图象关于y轴对称， 所以g（x）为偶函数，则g（﹣2）＝g（2）＝0， 当x∈（﹣∞，0]时，g′（x）＜0，故g（x）为单调减函数， 所以当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）为单调增函数， 故当x＜﹣2或x＞2时，g（x）＞0， 当﹣2＜x＜2时，g（x）＜0， 因为g（x）＝f（x+1），则f（x）＝g（x﹣1）， 故不等式（x+1）f（x）＞0即为（x+1）g（x﹣1）＞0， 所以有或， 解得x＞3或x∈∅， 所以（x+1）f（x）＞0的解集为（3，+∞）． 故选：A． 二．多选题（共4小题） 9．下列说法正确的是（　　） A．若|z|＝2，则 B．若复数z1，z2满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则z1z2＝0 C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虛部相等 D．“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件 【分析】由|z|求得判断A；设出z1，z2，证明在满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|时，不一定有z1z2＝0判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确． 【解答】解：A．若|z|＝2，则，故A正确； B．设z1＝a1+b1i（a1，b1∈R），z2＝a2+b2i（a2，b2∈R）． 由|z1+z2|＝|z1﹣z2|，得|z1+z2|2＝（a1+a2）2+（b1+b2）2＝|z1﹣z2|2＝（a1﹣a2）2+（b1﹣b2）2， 则a1a2+b1b2＝0，而z1•z2＝（a1+b1i）（a2+b2i）＝a1a2﹣b1b2＝2a1a2不一定等于0，故B错误； C．z＝1﹣i，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，其实部与虚部不等，故C错误； D．复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数则a2﹣1≠0，即a≠±1， 故“a≠1”是“复数z＝（a﹣1）+（a2﹣1）i（a∈R）是虚数”的必要不充分条件，故D正确． 故选：AD． 10．如图是函数y＝f（x）的导函数的图象，下列结论中正确的是（　　） A．f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数 B．当x＝3时，f（x）取得最小值 C．当x＝﹣1时，f（x）取得极小值 D．f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数 【分析】利用函数的单调性与函数的导数的符号的关系，判断函数的单调性，结合极值点，判断选项的正误即可． 【解答】解：由函数的图象可知，当x∈（﹣2，﹣1），x∈（2，4）时，f′（x）＜0，函数是减函数，当x∈（﹣1，2），x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，所以A错误，D正确；当x＝﹣1时，f（x）取得极小值，C正确；点x＝3时，f（x）取得极小值，所以B错误． 故选：CD． 11．已知函数f（x）＝x3﹣3lnx﹣1，则（　　） A．f（x）的极大值为0 B．曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为x轴 C．f（x）的最小值为0 D．f（x）在定义域内单调 【分析】求导得f′（x）＝，分析导数的正负，f（x）单调性，极值，最值，逐个判断即可得出答案． 【解答】解：f′（x）＝3x2﹣＝＝， 当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 对于A：f（x）极小值＝f（1）＝0，故A错误； 对于B：k切＝f′（1）＝0，f（1）＝0， 所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y﹣0＝0（x﹣1），即y＝0，故B正确； 对于C：f（x）min＝f（x）极小值＝f（1）＝0，故C正确； 对于D：f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故D错误． 故选：BC． 12．已知函数，当实数a为下列（　　）的值时，函数f（x）在（1，2）上有极值． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先求导数，则导函数在（1，2）上有变号零点，根据单调性判断即可． 【解答】解：f′（x）＝x2+2x﹣2a， 因为函数f（x）在（1，2）上有极值， 所以f′（x）＝0，在（1，2）上有根， 所以y＝f′（x）在（1，2）上有变号零点， 又因为y＝f′（x）＝x2+2x﹣2a，在（1，2）上单调递增， 所以， 解得＜a＜4， 故选：BC． 三．填空题（共4小题） 13．在复平面内，复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为　（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）　． 【分析】利用复数的对应点所在象限列出不等式组，求解即可． 【解答】解：因为复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限， 可得：， 解得：m∈（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，﹣1）∪（2，+∞）． 14．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成　100　个三位正整数． 【分析】根据分步计数原理可得，注意0不能在百位． 【解答】解：因为0不能在百位，故百位有4种选择，十位和个位各有5种选择， 故可以组成4×5×5＝100个三位正整数， 故答案为：100． 15．已知函数f（x）＝ex﹣，若f（a﹣2）+f（a2）≤0，则实数a的取值范围是　[﹣2，1]．　． 【分析】先判断函数的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可求解． 【解答】解：因为f（x）＝ex﹣， 所以f（﹣x）＝＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，且f（x）单调递增， 由f（a﹣2）+f（a2）≤0得f（a2）≤f（2﹣a）， 所以，a2≤2﹣a， 解得，﹣2≤a≤1， 故a的范围为[﹣2，1]． 故答案为：[﹣2，1]． 16．已知直线l：y＝x+b为曲线f（x）＝ex的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为　4或﹣2　． 【分析】设直线l与曲线f（x）相切于点，由导数的几何意义可得切线的斜率，求得切点和切线的方程，再联立切线方程和y＝g（x），由判别式为0，解方程可得所求值． 【解答】解：设直线l：y＝x+b与曲线f（x）＝ex相切于点， 由，得x0＝0， 所以切点坐标为（0，1）， 所以直线l的方程为y＝x+1． 又由直线l与曲线g（x）相切，得， 化简得x2﹣2（m﹣1）x+9＝0， △＝4（m﹣1）2﹣36＝0， 解得m＝4或m＝﹣2． 故答案为：4或﹣2． 四．解答题（共6小题） 17．在①z＜0，②z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知复数：z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i． （1）若______，求实数m的值； （2）若复数z﹣m2（1+i）+8的模为2，求m的值． 【分析】（1）根据复数的概念即可求出； （2）根据复数模的定义即可求出． 【解答】解：（1）选择①z＜0，则，解得m＝2． 选择②z为虚数，则m2﹣4≠0，解得m≠±2． 选择③z为纯虚数，则m2﹣2m﹣8＝0，m2﹣4≠0，解得m＝4． （2）z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i可知复数z﹣m2（1+i）+8＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i﹣m2（1+i）+8＝﹣2m﹣4i， 依题意＝2， 解得m＝±1， 此时m＝±1． 18．已知函数f（x）＝x3﹣3x． （1）求曲线y＝f（x）在点P（1，﹣2）处的切线方程； （2）过点P（2，2）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线的方程． 【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数，然后利用直线方程的点斜式得答案； （2）设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，把P点代入求得切点坐标，则答案可求． 【解答】解：（1）由f（x）＝x3﹣3x，得f′（x）＝3x2﹣3， ∴f′（1）＝0，又f（1）＝﹣2， ∴曲线y＝f（x）在点P（1，﹣2）处的切线方程为y＝﹣2； （2）设切点为T（t，t3﹣3t），则曲线在点T处的切线方程为y＝（3t2﹣3）（x﹣t）+t3﹣3t， 将P（2，2）代入，可得t3﹣3t2+4＝0，解得t＝2或t＝﹣1． 故所求切线方程为y＝9x﹣16或y＝2． 19．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣ax（a∈R），在定义域内恰有三个不同的零点，求实数a的取值范围． 【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可直接求解； （II）x＝0显然不是函数的零点，由g（x）＝0且x≠0，分离系数得a＝＝，然后构造函数，结合导数研究函数的性质，转化为函数的交点个数，结合函数图像可求． 【解答】解：（I）f′（x）＝， 当x＞﹣1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，函数单调递减， 故函数的单调递增区间（﹣1，+∞），单调递减区间（﹣∞，﹣2），（﹣2，﹣1]； （II）g（x）＝f（x）﹣ax在定义域内恰有三个不同的零点， x＝0显然不是函数的零点，故当x≠0， 由g（x）＝0得a＝＝， 令h（x）＝，则， 当x＜﹣2时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当﹣2＜x＜﹣时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增， 当﹣，0＜x＜时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x＞时，h′（x）＞0，函数单调递增，其大致图像如图所示，h（﹣）＝，h（）＝， 故a＞． 20．已知函数（a为常数）． （Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）若存在x0≥1使得f（x0）＜0，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出切线方程，求出三角形的面积即可； （Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝（x﹣a）lnx， 当a＝0时，f′（e）＝e，，切线方程为， 令x＝0，解，令y＝0，解得， 所以； （Ⅱ）若要存在x0≥1使得f（x0）＜0， 则只需f（x）在[1，+∞）上的最小值小于0即可， 当a≤1时，f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立， 函数f（x）在x＝1处取得最小值， 所以，解得， 当a＞1时，函数f（x）在[1，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增， 则当x＝a时取得极小值也是最小值， 由，解得：， 综上可得：a的取值范围是． 21．已知函数f（x）＝x2﹣alnx+（1﹣a）x． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性： （Ⅱ）若f（x）＞恒成立，求正实数a的取值范围． 【分析】（I）f（x）＝x2﹣alnx+（1﹣a）x，x∈（0，+∞）．f′（x）＝，通过对a分类讨论，即可得出单调性． （II）由（I）可得：a＞0时，x＝a时，f（x）取得极小值即最小值，可得f（x）＞恒成立⇔f（a）＝a2﹣alna+（1﹣a）a＞，化为：1﹣a﹣lna＞0，a＞0．令g（a）＝1﹣a﹣lna，a∈（0，+∞），利用其单调性即可得出． 【解答】解：（I）f（x）＝x2﹣alnx+（1﹣a）x，x∈（0，+∞）． f′（x）＝x﹣+（1﹣a）＝， ∴a≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增． a＞0时，x＞a时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在x∈（a，+∞）上单调递增；0＜x＜a时，f′（x）＜0，此时函数f（x）在x∈（0，a）上单调递减． 综上可得：a≤0时，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增． a＞0时，函数f（x）在x∈（a，+∞）上单调递增；函数f（x）在x∈（0，a）上单调递减． （II）由（I）可得：a＞0时，x＝a时，f（x）取得极小值即最小值，∴f（x）＞恒成立⇔f（a）＝a2﹣alna+（1﹣a）a＞， 化为：1﹣a﹣lna＞0，a＞0． 令g（a）＝1﹣a﹣lna，a∈（0，+∞）， 可知：函数g（a）在a∈（0，+∞）上单调递减， 又g（1）＝0． ∴0＜a＜1， 因此正实数a的取值范围是（0，1）． 22．已知φ（x）＝lnx﹣x2﹣mx． （Ⅰ）当m＝﹣1时，求函数φ（x）的单调区间； （Ⅱ）当m≥2时，证明：关于x的不等式成立． 【分析】（Ⅰ）φ（x）＝lnx﹣x2+x，函数的定义域为（0，+∞），求导，令φ'（x）＞0，φ′（x）＜0，解得φ（x）的单调递增区间，单调递减区间． （Ⅱ）记，问题转化为，（x＞0）恒成立，只需f（x）max＜0，即可得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）φ（x）＝lnx﹣x2﹣mx，函数的定义域为（0，+∞）， 求导得，若φ'（x）＞0，则x∈（0，1）， 若φ′（x）＜0，则x∈（1，+∞）， 于是φ（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间为（1，+∞）． （Ⅱ）证明：记， 问题转化为，（x＞0）恒成立， 求导得，， 解得， 当时，f（x）单调增，当时，f（x）单调减， 所以f（x）在处取得最大值， 于是． 现证， 对当m≥2恒成立，记函数，其中m≥2， 其导函数，于是F（m）单调递减， 进而有， 原命题得证． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/3/23 12:54:14；用户：Tim；邮箱：orFmNt2DyMSr0vIzMi6Scn1JlxLs@weixin.jyeoo.com；学号：30646697 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$