第08讲 等腰三角形（4大知识点+6大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第08讲 等腰三角形 课程标准 学习目标 等腰三角形和等边三角形的性质和判定 1.掌握等腰三角形的性质及等边三角形的性质，能简单运用等腰三角形的性质解决问题,； 2.能感知等腰三角形和等边三角形判定定理的推导过程，能复述等腰三角形和等边三角形的判定定理，会用几何语言进行描述； 3.能运用.判定定理解决一些实际问题. 知识点01 等腰三角形的性质 1.等腰三角形是轴对称图形,对称轴是 平分线所在的直线; 2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线 (简称“三线合一”); 3.等腰三角形的两底角 (简称“等边对等角”). 【即学即练1】 1．等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【即学即练2】 2．等腰三角形的一个外角是，则顶角是（　　） A． B．或 C． D． 方法技巧：已知等腰三角形的一个角,求另外两个角时,常运用分类讨论的方法,(1)若已知角是一个直角或钝角,则它是这个等腰三角形的顶角，只需再求其启角即可;(2)若已知角是一个锐角,则需分两种情况来讨论:①这个角是顶角;②这个角是底角. 知识点02 等边三角形的性质 1.等边三角形是特殊的三角形,它具有等腰三角形 的性质; 2.等边三角形的三个内角 ,且都等于 . 【即学即练1】 1．如图，是等边的边上的中线，以点D为圆心，长为半径画弧交的延长线于E，则（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2.如图，为等边三角形，，则 ． 知识点03 等腰三角形的判定 1.有两条边 的三角形是等腰三角形; 2.有两个角 的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”). 【即学即练1】 如图，在中，，，，，求证：是等腰三角形． 知识点04 等边三角形的判定 1.三个角都是 的三角形是等边三角形; 2.有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 【即学即练1】 如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．若，平分，求证：为等边三角形． 题型01 等腰三角形的性质 【典例1】等腰三角形的底边长为，连接一腰的中点和它所对的顶点，把其周长分为两部分，两部分的差为，则腰长为（　　） A． B． C．或 D．以上结论全不对 【变式1】等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是（      ）． A．18 B．21 C．18或21 D．13或18 【变式2】已知等腰三角形的三边长分别是2，，6，则这个等腰三角形的周长是（    ） A． B．10 C．10或14 D．14 【变式3】将等腰直角三角板与直尺按如图方式叠放一起，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型02 等边三角形的性质 【典例1】如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为米，则（　　） A．45米 B．48米 C．50米 D．52米 【典例2】已知P是等边三角形的边上的一点，若，在以线段，，长度为边长的三角形中，最小内角的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，连接．当A，D，E三点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（   ）    A． B．是等边三角形 C． D． 【变式2】如图，为等边三角形，D为延长线上一点，作交的延长线于E．若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【变式3】如图，在中， ，是等边三角形，与相交于点M，与相交于点N．若 ，则与的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 题型03 根据等角对等边求边长 【典例1】如图，在中，，，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是 ． 【典例2】如图，在中，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，，求的周长． 【变式1】如图，已知，的平分线交于点D，，且，如果点E是边的中点，那么的长为 ． 【变式2】如图，，求的长． 题型04 根据等角对等边证明边相等 【典例1】如图是等边三角形，是中线，延长到，使． (1)求的度数． (2)求证：． 【变式1】如图，在中，平分，平分．若过点作直线和边平行，与交于点，与交于点，则线段和，之间有怎样的数量关系并证明？ 【变式2】如图，在中，，，点是上一点，，于点，交的平分线于点，连接，证明：． 题型05 等腰三角形的判定 【典例1】．如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 【变式1】如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【变式2】如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 题型06 等边三角形的判定 【典例1】如图，在中，，，点、在上，且． (1)求的度数； (2)若点为线段的中点，求证：是等边三角形． 【变式1】先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 问题：若的三边长都是正整数，且满足，请问是什么形状？ 【变式2】如图交于点．求证：是等边三角形 1．若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C． D． 2．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．在同一个三角形中，等边对等角 D．如果一个三角形有两个边相等，那么这个三角形是等腰三角形 3．木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个铅锤如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（    ） A．垂线段最短 B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 4．等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它第三边是（   ） A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm 5．若等腰三角形的周长为，底边为，则腰长为（　　） A． B．或 C． D．以上都不对 6．以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　）． A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4 7．如图，等腰直角三角形的直角顶点A落在矩形纸片的一边上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．等边三角形边长为a厘米，当边长增加4厘米时，它的周长是（    ）厘米． A． B． C． D． 9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H，下面说法： ①；②；③；④．其中正确的是(　  　) A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④ 10．如图，已知，点，…在射线上，点，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长是（　　） A．4046 B．4048 C． D． 11．如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 12．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，围成的也是等边三角形．已知点D、E、F分别是的中点，若的面积为14，则的面积是（    ） A．1 B．2 C． D．4 13．如图，在中，，，则 ． 14．在中，，，则等于 ． 15．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为 ． 16．定义：我们将等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”，记作．若，则该等腰三角形的顶角的度数为 °． 17．的三边长为，且满足等式，则的形状是 三角形． 18．王林和李华为了研究图中直线，所成锐角，设计出如右两个解决方案：已知王林测得，李华作了，并测得，则直线，所成锐角的度数为 ． 王林的方案 李华的方案 测，的度数 测，的度数 19．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点B，点C表示的刻度分别为，则的周长为 ． 20．如图，O是内一点，．若，则 度． 21．已知等腰三角形的两边，，满足，求此等腰三角形的周长． 22．如图：在中，过点作于点，过点作，，若，求的度数． 23．如图，为的边的延长线上一点，于点，交于点，且．求证：． 24．如图，在中，点D，E分别在边上，，平分． (1)求证：． (2)若，求的度数． 25．如图，点D在的边上，平分，且，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明你的理由． 26．如图1，在四边形中，，，平分． (1)求证：； (2)如图2，在上述条件下，若，过点作，过点作，垂足分别为、，连接．判断的形状并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 等腰三角形 课程标准 学习目标 等腰三角形和等边三角形的性质和判定 1.掌握等腰三角形的性质及等边三角形的性质，能简单运用等腰三角形的性质解决问题,； 2.能感知等腰三角形和等边三角形判定定理的推导过程，能复述等腰三角形和等边三角形的判定定理，会用几何语言进行描述； 3.能运用.判定定理解决一些实际问题. 知识点01 等腰三角形的性质 1.等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角平分线所在的直线; 2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”); 3.等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 【即学即练1】 1．等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分是腰长和底边两种情况，求出三角形的三边，再根据三角形的三边关系判定求解． 【详解】解：①若是腰长，则三角形的三边分别为，，；能组成三角形， 周长， ②若是底边，则三角形的三边分别为能组成三角形， 周长， 综上所述，这个等腰三角形的周长是或 故选：C． 【即学即练2】 2．等腰三角形的一个外角是，则顶角是（　　） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的定义，根据三角形外角定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是， ∴相邻的内角为， ∴顶角是， 故选：． 方法技巧：已知等腰三角形的一个角,求另外两个角时,常运用分类讨论的方法,(1)若已知角是一个直角或钝角,则它是这个等腰三角形的顶角，只需再求其启角即可;(2)若已知角是一个锐角,则需分两种情况来讨论:①这个角是顶角;②这个角是底角. 知识点02 等边三角形的性质 1.等边三角形是特殊的三角形,它具有等腰三角形所有的性质; 2.等边三角形的三个内角相等,且都等于 60° 【即学即练1】 1．如图，是等边的边上的中线，以点D为圆心，长为半径画弧交的延长线于E，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握三线合一的性质是解题关键．根据等边三角形的性质，得到，，根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形，是边上的中线， ，， 由作法可知，， ， 是的外角， ， ， 故选：A． 【即学即练2】 2.如图，为等边三角形，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，等边三角形的性质，三角形的内角和定理．等边三角形的性质结合角的和差关系，求出的度数，等边对等角，求出的度数，三角形的三边关系求出的度数即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 知识点03 等腰三角形的判定 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形; 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”). 【即学即练1】 如图，在中，，，，，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】根据三角形内角和定理，计算的度数，确定即可得证． 本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 知识点04 等边三角形的判定 1.三个角都是60°的三角形是等边三角形; 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即学即练1】 如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接．若，平分，求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理、等边三角形的判定，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义，三角形内角和定理推出． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 题型01 等腰三角形的性质 【典例1】等腰三角形的底边长为，连接一腰的中点和它所对的顶点，把其周长分为两部分，两部分的差为，则腰长为（　　） A． B． C．或 D．以上结论全不对 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是求出的值后根据三角形三边关系进行验证． 设腰长为，得出方程或，求出后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图所示, 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：，， 或2， ①三角形三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理； ②三角形三边是2、2、5，，不符合三角形三边关系定理； 故选：B． 【变式1】等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是（      ）． A．18 B．21 C．18或21 D．13或18 【答案】C 【分析】利用三角形的任意两边之和大于第三边，即等腰三角形的定义即可得出． 【详解】解：由于三角形的任意两边之和大于第三边，由等腰三角形一边等于5，另一边等于8． 当8为腰时，此三角形的周长=8+8+5=21． 当5为腰时，此三角形的周长=8+5+5=18． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的任意两边之和大于第三边的性质、等腰三角形的定义及其周长，属于基础题． 【变式2】已知等腰三角形的三边长分别是2，，6，则这个等腰三角形的周长是（    ） A． B．10 C．10或14 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．分两种情况讨论：若等腰三角形的腰长为2，底边长为6，则等腰三角形不存在；若等腰三角形的腰长为6，底边长为2，则周长为14，即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形； 若等腰三角形的腰长为6，底边长为2， 则等腰三角形的周长是， 故选：D 【变式3】将等腰直角三角板与直尺按如图方式叠放一起，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质可求出的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解∶如图， 根据题意，得，， ∴， 故选∶A． 题型02 等边三角形的性质 【典例1】如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为米，则（　　） A．45米 B．48米 C．50米 D．52米 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，等边三角形的定义，根据，可得是等边三角形，由米，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴米， 故选：B． 【典例2】已知P是等边三角形的边上的一点，若，在以线段，，长度为边长的三角形中，最小内角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 将绕点逆时针旋转得到，可得以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据邻补角以及旋转的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到， ， 为等边三角形， ， 以线段为边的三角形，即，最小的锐角为， ， ， ， ， 故选：D． 【变式1】如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，连接．当A，D，E三点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（   ）    A． B．是等边三角形 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．根据旋转的性质得：，，从而得到是等边三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：，，故A选项正确，不符合题意； ∴， ∴是等边三角形，故B选项正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 根据条件无法判断与的大小， ∴不一定等于，故C选项错误，符合题意； 故选：C 【变式2】如图，为等边三角形，D为延长线上一点，作交的延长线于E．若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，根据等边三角形的性质得出，，根据，得出，，说明为等边三角形，根据等边三角形的性质得出． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 【变式3】如图，在中， ，是等边三角形，与相交于点M，与相交于点N．若 ，则与的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和，对顶角相等．由等边三角形的性质得，由直角三角形的性质可求出，进而求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图，    ∵是等边三角形， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故选C． 题型03 根据等角对等边求边长 【典例1】如图，在中，，，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角．由折叠的性质可得：，，，进而证得，得到． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：3． 【典例2】如图，在中，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，，求的周长． 【答案】11 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得和都是等腰三角形，从而可得，，进而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为11． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【变式1】如图，已知，的平分线交于点D，，且，如果点E是边的中点，那么的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边等知识．由角平分线可知，由平行可知，则，由等角对等边可知，然后根据计算求解即可． 【详解】解：∵的平分线交于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是边中点， ∴， 故答案为：16． 【变式2】如图，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理求出，得到，再由三角形外角的性质得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型04 根据等角对等边证明边相等 【典例1】如图是等边三角形，是中线，延长到，使． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题主要考查等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，证明，结合三角形的外角的性质可得答案； （2）根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． 【详解】（1）解：∵三角形是等边， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵等边中，D是的中点， ∴， 由（1）知， ∴， ∴； 【变式1】如图，在中，平分，平分．若过点作直线和边平行，与交于点，与交于点，则线段和，之间有怎样的数量关系并证明？ 【答案】．理由见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．由为角平分线，利用角平分线的性质得到一对角相等，再由与平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，再由，等量代换可得证． 【详解】解：． 理由：，分别是，的平分线， ，． 又∵， ，， ，， 即，， ． 【变式2】如图，在中，，，点是上一点，，于点，交的平分线于点，连接，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等角对等边，垂直的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先证明是等边三角形，，再根据角平分线的定义和角之间的关系求出，由垂直的定义和三角形内角和定理可证明，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型05 等腰三角形的判定 【典例1】．如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质以及角平分的性质， 根据等腰三角形的性质得，，则有； 根据角平分的性质得．由平行线的性质得．则，有，即可说明是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，D为的中点， ∴， ∴． ∴； （2）证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1】如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1））证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质， （1）根据角平分线的性质得，根据得，可得，则，即可得是等腰三角形； （2）根据角平分线的性质得，根据得，可得，即可得，根据的周长为，，可得，即可得，根据可得，即可得； 掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：平分， ， ∵， ， ， ， ∵的周长为18，， ， ， ∵， ， ， ∴的周长为． 题型06 等边三角形的判定 【典例1】如图，在中，，，点、在上，且． (1)求的度数； (2)若点为线段的中点，求证：是等边三角形． 【答案】(1)90 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的判定和性质是解题关键． （1）由等腰三角形的性质可求，，再由三角形外角的性质即可求解； （2）三角形外角的性质可得，由题意及各角之间的等量代换得出即可得到证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 即； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， 又， ， ， ， 是等边三角形． 【变式1】先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 问题：若的三边长都是正整数，且满足，请问是什么形状？ 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，等边三角形的判定等知识；利用完全平方公式凑成和或差的平方是解题的关键．由完全平方公式，条件可化为，利用非负数的性质即可求得a、b、c的值，从而可判定的形状． 【详解】解：∵， ， ， ，是等边三角形． 【变式2】如图交于点．求证：是等边三角形 【答案】见详解 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由．本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ； 又∵， ∴是等边三角形． 1．若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等边对等角，可知两个底角相等，再根据三角形内角和定理，可计算出答案． 【详解】该等腰三角形的顶角为 底角为 故选：D． 2．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．在同一个三角形中，等边对等角 D．如果一个三角形有两个边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】A 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据命题的题设与结论解答． 交换命题的题设与结论，写出逆命题即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 故选：A． 3．木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个铅锤如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（    ） A．垂线段最短 B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一，作答即可． 【详解】解：能解释这一现象的数学知识是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合； 故选B． 4．等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它第三边是（   ） A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据等腰三角形的两腰相等，以及三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：∵当腰长为4cm时，，无法构成三角形，不符合题意； ∴腰长为9cm， ∴第三边为9cm； 故选C． 5．若等腰三角形的周长为，底边为，则腰长为（　　） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：∵是底边， ∴腰长， 故选：C． 6．以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　）． A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4 【答案】D 【分析】此题考查等边三角形的判定，关键是根据等边三角形的三边相等解答．根据等边三角形的性质和判定解答即可． 【详解】解：A、2，2，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意； B、2，3，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意； C、2，4，5是不等边三角形，不符合题意； D、4，4，4是等边三角形，符合题意； 故选：D． 7．如图，等腰直角三角形的直角顶点A落在矩形纸片的一边上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】 解：如图，    由题意得， 为等腰直角三角形， ， ， ， 故选A． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 8．等边三角形边长为a厘米，当边长增加4厘米时，它的周长是（    ）厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】∵等边三角形边长为a厘米， ∴当边长增加4厘米时，边长为厘米， ∴它的周长是厘米． 故选：D． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H，下面说法： ①；②；③；④．其中正确的是(　  　) A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】①无法证明是否同底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角性质即可推出；③根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断；④根据等腰三角形的判定方法即可判断． 【详解】解：∵无法证明， 故无法证明， 故①错误； 是角平分线， ， 是高， ， ， ，， ， ，， ，故②正确； 是高， ， ， ，， ， 是角平分线， ， ， 即，故③正确； 根据已知条件不能推出， 因此不能证明，故④错误； 综上可知，②③结论正确， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识． 10．如图，已知，点，…在射线上，点，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长是（　　） A．4046 B．4048 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ……， ∴的边长为． 故选：C． 11．如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．根据等边三角形性质得，再根据三角形外角定理得，则，然后根据平行线的性质得，据此可得的度数． 【详解】解：如下图所示： 为等边三角形， ， 是的一个外角，， ， ， ， 直线， ， ． 故选：C 12．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，围成的也是等边三角形．已知点D、E、F分别是的中点，若的面积为14，则的面积是（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，利用三角形中线求面积，正确作出辅助线，得出是解题的关键．连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点、、分别是、、的中点， ∴，， 由题意可知，， ， ， ， ， 故选：B． 13．如图，在中，，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据可得，再根据等腰三角形的性质即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．在中，，，则等于 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质．由已知三角形两个角都是，可判定三角形是等边三角形，进而利用等边三角形的性质得出结论． 【详解】解：中，， ， 是等边三角形， 又， ， 故答案为：3． 15．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，当底边长为时；当腰长为，结合三角形三边关系即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当底边长为时，则腰长为， ∴等腰三角形的三边长为：， ∵，符合题意； 当腰长为时，则底边长为， ∴等腰三角形的三边长为：， ∵，符合题意； 故该等腰三角形的底边长为：或， 故答案为：或． 16．定义：我们将等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”，记作．若，则该等腰三角形的顶角的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角，设该等腰三角形的顶角的度数为，则该等腰三角形的底角度数为，根据即可求解． 【详解】解：设该等腰三角形的顶角的度数为， 由题意得：该等腰三角形的底角度数为， ∴ 解得： 故答案为： 17．的三边长为，且满足等式，则的形状是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查完全平方公式，等边三角形的判定，根据完全平方公式变形得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 整理为， ∴， ∴三角形为等边三角形． 故答案为：等边． 18．王林和李华为了研究图中直线，所成锐角，设计出如右两个解决方案：已知王林测得，李华作了，并测得，则直线，所成锐角的度数为 ． 王林的方案 李华的方案 测，的度数 测，的度数 【答案】/度 【分析】设直线，交于点，根据邻补角定义求出，．根据等腰三角形的性质得出，利用三角形外角的性质求出，最后根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：如图，设直线，交于点， 由题意可得，， ． ， ， ， ． 即两直线，所成的角（锐角）为． 故答案为：或度． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，邻补角定义，分别求出与的度数是解题的关键． 19．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点B，点C表示的刻度分别为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 20．如图，O是内一点，．若，则 度． 【答案】63 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的判定与性质可知，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵， 是等腰三角形， ， ， 故答案为：63． 21．已知等腰三角形的两边，，满足，求此等腰三角形的周长． 【答案】11或13 【分析】本题考查的是偶次方的非负性、解二元一次方程组，等腰三角形的性质以及三角形三边之间的关系．根据偶次方和绝对值的非负性，建立关于a、b的二元一次方程，即可分别求出a、b，再根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算即可求得． 【详解】解：， ， ， 当这个等腰三角形的腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为3、3、5， ， 能构成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：； 当这个等腰三角形的腰长为5时，则这个等腰三角形的三边长分别为3、5、5， ， 能构成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为：； 综上，这个等腰三角形的周长为：11或13． 22．如图：在中，过点作于点，过点作，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及三角形内角和定理、等腰三角形性质、平行线性质等知识，先由直角三角形的两个锐角互余得到，再由等腰三角形等边对等角及平行线性质得到答案，熟练掌握三角形内角和定理、等腰三角形性质、平行线性质，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 【详解】解：在中，过点作于点，， ， ， ， ， ． 23．如图，为的边的延长线上一点，于点，交于点，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，首先依据等腰三角形的性质得到，然后结合对顶角的性质可得到，再由直角三角形两锐角互余，等角的补角相等等知识可得到，最后再依据等边对等角的性质进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 24．如图，在中，点D，E分别在边上，，平分． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质即可证明结论； （2）解根据等腰三角形的性质得到，设，根据三角形外角的性质列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．如图，点D在的边上，平分，且，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明你的理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据三角形外角定理可得，根据“等边对等角”可得． （2）根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． 本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）平分，， ∴， ， ， ， ； （2）是等边三角形，理由如下： ，， 是等边三角形． 26．如图1，在四边形中，，，平分． (1)求证：； (2)如图2，在上述条件下，若，过点作，过点作，垂足分别为、，连接．判断的形状并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，见解析 【分析】此题主要考查了等边三角形判定、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，得出是解题关键． （1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出进而得出， （2）利用等腰三角形的性质得出点是的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， ， ， 又， ； （2）为等边三角形， 证明：，， 点是的中点， ， ． ，平分， ，， 为等边三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$