浙江省杭州地区2024-2025学年高三上学期开学考模拟数学试题

2024学年杭州地区高三第一学期数学开学考模拟试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则(    ) A. B. C. D. 2.复数在复平面内所对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为(    ) A. B. C. D. 4.设双曲线，椭圆的离心率分别为，，若，则(    ) A. B. C. D. 5.已知圆上动弦AB的长为，若圆上存在点P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.已知函数及其导数的定义域为R，记，且，都为奇函数.若，则(    ) A. 0 B. C. 2 D. 7.已知，则(    ) A. B. C. D. 8.已知棱长相等的正三棱锥底面的三个顶点A，B，C均在以O为球心的球面上其中O为的中心，球面与棱PA，PB，PC分别交于点，，若球O的表面积为，则多面体的体积为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.有一组互不相等的样本数据，，…，，平均数为，若随机删去其中一个数据，得到一组新数据，记为，，…，，平均数为，则(    ) A. 新数据的极差可能等于原数据的极差 B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数 C. 若，则新数据的方差一定大于原数据方差 D. 若，则新数据的分位数一定大于原数据的分位数 10.已知函数，则下列说法正确的是(    ) A. 函数的图象经过坐标原点 B. 当时，函数有且仅有一个极小值点 C. 若关于x的不等式恒成立，则 D. “”是“函数为增函数”的必要不充分条件 11.已知函数在区间上单调，且满足，则(    ) A. B. 若，则的最小正周期为 C. 关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解 D. 若在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知的展开式中常数项为，则实数a的值为__________. 13.已知函数的图象与直线相切，则实数a的值为__________. 14.已知直线l与椭圆相交于两点A，B，坐标原点为点O，直线OA，OB斜率存在且分别记为，，若，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 如图，在四边形ABCD中，， 若，，求AB； 若，求四边形ABCD面积的最大值. 16.本小题15分 双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作x轴垂直的直线交双曲线C于A、B两点，的面积为12，抛物线E：以双曲线C的右顶点为焦点． Ⅰ求抛物线E的方程； Ⅱ如图，点为抛物线E的准线上一点，过点PM 作y轴的垂线交抛物线于点，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点． 17.本小题15分 如图，四棱锥的底面是等腰梯形，平面ABCD，，， 求证：平面PAB； 点Q为PA上一点，，求证：平面BDQ； 点M为PD的中点，求AM与平面PBD所成角的正弦值. 18.本小题17分 已知函数 Ⅰ讨论函数的单调区间与极值； Ⅱ若且恒成立，求的最大值； Ⅲ在Ⅱ的条件下，且取得最大值时，设，且函数有两个零点，，求实数m的取值范围，并证明： 19.本小题17分 已知是无穷数列，给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使得 ②对于中任意一项，在中都存在两项，使得 若，判断是否满足性质①，说明理由： 若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； 若是单调递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等差数列. 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年杭州地区高三第一学期数学开学考模拟试题 【答案】 1. A  2. D  3. C  4. B  5. C  6. C  7. C  8. C  9. AC  10. AB  11. ABD  12. 0  13. 2  14. 5  15. 解：不妨设， 则在中，由余弦定理可知，， 在中，由余弦定理可知，， 所以，即 因为，所以，所以， 在中，由正弦定理可知，， 所以，所以， 所以， 已知在中，，所以， 所以四边形ABCD的面积， 所以  16. Ⅰ解：设，则 令代入C的方程有： ，故，即 抛物线E的方称为： Ⅱ证明：由Ⅰ知：，则 直线PO的方称为，代入抛物线E的方程有： 当时， 直线MN的方程为：，即 此时直线MN过定点 当时，直线MN的方称为：，此时仍过点 即证直线MN过定点  17. 解：证明：由题意可知，，所以， 所以， 解得， 则，所以， 又因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，，且PA，平面PAB， 所以平面PAB； 证明：连结AC，交BD于点O，连结QO， 因为，且， 所以，又因为， 所以，且平面BQD，平面BQD， 所以平面BQD；  由可知，平面PAB，平面BDP， 所以平面平面BDP，且平面平面， 过点A作，连结MN， 则平面PBD，为直线AM与平面PBD所成的角， 因为是等腰直角三角形，且， 所以， 中，，，所以， ， 所以  18. 解：Ⅰ 当时，恒成立，函数的单调增区间为，无极值； 当时，时，，时，， 函数的单调减区间为，增区间为，有极小值…分 Ⅱ当时，由Ⅰ得 ， ， ，即当时，最大为1…分 Ⅲ证明：由Ⅰ知，时，当时，，当时，， 函数有且仅有一个零点，即， ， 记，， 故函数在上递增，在上递减， 当时，；时，， 函数有两个零点，， 故，…分 不妨设，由题意，， 则， 欲证，只需证明：，只需证明：， 即证：， 即证，设，则只需证明：， 也就是证明： 记，， 在单调递增，， 所以原不等式成立，故得证…分  19. 解：取 不具有性质①. 数列同时满足性质①和性质②. 证明：对性质①： ， 取，具有性质①； 对性质②： ， 只需取满足 具有性质②； 先证明 利用性质②：取，此时， 由数列的单调递增可知， 而，故， 此时必有，即， 所以，成等差数列. 下面用数学归纳法证明数列为等差数列. 假设数列的前项成等差数列，不妨设， 因为数列递增，所以 由①可得：存在整数m，满足， 且    由②得：存在，满足：， 由数列的单调递增可知：， 由可得：  ， 由和式可得：， 结合数列的单调递增有：， 注意到均为整数，故， 代入式，从而 综上可得，数列的通项公式为： 即数列为等差数列.   【解析】 1. 解：因为， ， 所以 故选： 利用整数集的定义与具体函数定义域的求法化简集合A，B，再利用集合的交集运算即可得解． 本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 2. 解：因为，所以复数z在复平面内所对应的点，位于第四象限． 故选： 根据复数的乘法和除法以及几何意义求解即可． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3. 解：，在直线l上， 则直线l的一个方向向量为 故选： 利用直线的方向向量的定义直接求解． 本题考查直线的方向向量的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4. 解：由已知得，， 又， 所以，解得 故选： 由已知得，，根据即可求解． 本题考查了双曲线的性质，属于基础题． 5. 解：由圆的弦长为， 可知AB中点P到的距离即为，所以动点P的轨迹为圆， 又圆上存在点P恰为线段AB的中点，则圆与圆有公共点， 所以，即，解得 故选： 先根据已知条件求得点P的轨迹方程，再转化为两圆有公共点即可求解结论． 本题主要考查圆和圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题． 6. 解：根据题意，因为为奇函数，则， 即，可知的图象关于点对称， 可得，即， 可知的图象关于对称，则， 又因为为奇函数，则， 可得，可知的周期为4， 所以 故选： 根据的性质结合导数运算分析可知的图象关于对称，结合奇函数分析可知的周期为4，根据周期性运算求解． 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期，属于中档题． 7. 解：因为， 又， 所以， 则 故选： 由已知结合诱导公式，二倍角公式及同角基本关系进行化简即可求解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题． 8. 【分析】 本题考查正弦定理、球的性质的合理运用和三棱锥的体积的求法，属于中档题. 由正弦定理得，解得，再有平面ABC得，作，得，，由，由此能求出正三棱台的体积. 【解答】 解：设球O的半径为R，由得， 由题可得三棱锥为正四面体，且， 设正四面体的棱长为a，在等边三角形ABC中， 由正弦定理可得，即，解得 因为平面ABC，平面ABC，所以， 所以 作，垂足为H，在中， 由，得， 所以在中， 因为，， 所以H为线段的中点，所以，所以 依题意，多面体为正三棱台， 所以， 即， 所以正三棱台的体积为 故选： 9. 解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若删除的数据既不是最大值，也不是最小值，则新数据的极差等于原数据的极差，A正确； 对于B，数据，，…，，假设…，其中位数为，一定不在，，…，，之中，随机删去其中一个数据，得到一组新数据，所得数据的中位数是，，…，一个，故新数据的中位数不会等于原数据的中位数，B错误； 对于C，若，则删除的数据恰好为原来数据的平均数，由方差的计算公式，新数据的方差一定大于原数据方差，C正确； 对于D，假设原来数据为1、2、3、4、5，若，则删除的数据恰好为原来数据的平均数，即删除的数据为3， 新数据为1、2、4、5，原来数据的第40百分位数，新数据的第40百分位数为2，D错误． 故选： 根据题意，由数据极差、中位数、平均数和百分位数的计算公式分析4个命题，综合可得答案． 本题考查数据的平均数、方差的计算，涉及数据的中位数、极差的计算，属于基础题． 10. 解：由可知A选项正确； 由， 令， 易知时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，， 又时，，且， 所以当时，方程有唯一根， 由单调性可知上，上，故B选项正确； 由或， 又与均单调递增，且两函数零点分别为0，， 所以要满足恒成立，需，可知C选项错误； 若函数为增函数，有，可得， 令，由上可知，可得， 又由，可知“”是“函数为增函数”的充分不必要条件， 可知D选项错误． 故选： 直接计算可判定A项，利用导数研究函数的极值、最值可判定B项，利用函数的性质与零点可判定C项，利用导数研究函数的单调性结合充分、必要条件的定义可判定D项． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题． 11. 解：A中，因为，可得函数的一个对称中心的横坐标为， 所以是函数的一个对称中心，即，所以A正确； B中，若，所以函数的一条对称轴方程为， 又因为函数在上单调，再由A选项可得，所以B正确； C中，函数在区间上单调，且满足， 可得，所以周期，又周期越大，的根的个数越少， 当时，，又，，得， 所以在区间上有3个不相等的实数根：，或， 故至多3个不同的实数解，故C错误． D中，函数在区间上恰有5个零点，所以， 所以，解得：，且满足， 即，即，故故D正确． 故选： A中，由，可得函数的一个对称中心的横坐标，即判断出A的真假；B中，由题意可得函数的一条对称轴的方程，再由A选项的分析，可得函数的最小正周期，判断出B的真假；C中，由题意可得的解析式，可得的根，判断出C的真假；D中，由椭圆可得函数的周期的范围，进而求出范围，判断出D的真假． 本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题． 12. 【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 在二项展开式的通项公式中，求得常数项，再根据常数项等于，求得实数a的值． 【解答】 解：的展开式中的常数项为， ， 故答案为：0 13. 【分析】 本题考查切线方程问题、导数的应用． 求出切点的坐标，代入切线方程即可求出a的值． 【解答】 解：由题意得，设切点是， 则，故， 代入切线方程得，解得 故答案为 14. 【分析】 本题考查椭圆方程，考查直线的斜率，属于中档题， 设，，由题意得到以及点A，B在椭圆上，得到，即可求解， 【解答】 解：设，， 由已知得，点A，B在椭圆上，则， 所以， 所以， 所以 故答案为 15. 不妨设，在中，利用余弦定理求出，在中，由余弦定理即可求出AB； 根据三角形内角和，结合正弦定理，构造面积关于的函数关系，由三角函数的有界限即可求解四边形ABCD面积的最大值． 本题主要考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 16. Ⅰ设，由令代入C的方程有：，求出A的纵坐标，代入三角形面积公式求得c，则抛物线方程可求； Ⅱ由Ⅰ可得M坐标，写出直线PO的方程，与抛物线方程联立可得N的坐标，当时，写出MN所在直线方程，化简后说明直线MN过定点，当时，直线MN的方称为：，此时仍过点 本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查了双曲线与抛物线关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题． 17. 首先求BD，再证明，最后根据线面垂直的判定定理，即可证明； 根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，根据比例关系，构造线线平行，即可证明； 根据的结果，结合线面角的定义，即可求解线面角的正弦值． 本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定定理，考查了直线与平面所成的角，属于中档题． 18. Ⅰ求导数，分类讨论，利用导数的正负，讨论函数的单调区间与极值； Ⅱ当时，由Ⅰ得，，即可求的最大值； Ⅲ，构造函数，得出当时，；时，，故，，再用分析法进行证明即可． 本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，分类讨论的思想方法，属难题． 19. 本题属于新定义题，涉及数列的通项公式，等差数列的判定与证明，数列的函数特性，利用数学归纳法证明等，考查逻辑思维能力，属中高档题． 取特值检验，即可否定； 根据通项公式直接验证即可； 先利用性质②，取，此时，由数列的单调递增证得，进而，得到成等差数列.再结合性质①②，用数学归纳法证明也是等差数列． 第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$