第02讲 平面向量的数量积及其应用（八大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

一轮复习讲练测 2025年高考数学 第02讲 平面向量的数量积及其应用 目录 CONTENTS 考情透视·目标导航 01 知识导图·思维引航 02 考点突破·题型探究 03 真题练习·命题洞见 04 05 06 课本典例·高考素材 易错分析·答题模板 01 考情透视·目标导航 考点要求 考题统计 考情分析 （1）平面向量的数量积 （2）平面向量数量积的几何意义 2024年I卷第3题，5分 2024年II卷第3题，5分 2023年I卷第3题，5分 2023年II卷第13题，5分 2023年甲卷（理）第4题，5分 2022年II卷第4题，5分 平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视． 预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点． 复习目标： （1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义 （2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系． （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 （4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题 4 02 知识导图·思维引航 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 03 考点突破·题型探究 知识梳理·基础回归 知识点1：平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=， 规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 8 知识梳理·基础回归 知识点1：平面向量的数量积 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 9 知识梳理·基础回归 知识点2：数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 10 知识梳理·基础回归 知识点3：数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 11 知识梳理·基础回归 知识点4：数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 12 知识梳理·基础回归 解题方法总结 （1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． （2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． （3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． （4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． （5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等． 13 【典例1-1】设平面向量，，且，则=（    ） A．1 B．14 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以又， 则 所以， 则 ， 故选： 题型一：平面向量的数量积运算 题型突破·考法探究 【典例1-2】在中，，，，为的外心， 则（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】在中，，，， 又为的外心，是的中点， 故选：D   题型一：平面向量的数量积运算 【方法技巧】 （1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛． 题型突破·考法探究 【变式1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【解析】由，且与的夹角为， 所以 ． 故选：B． 题型一：平面向量的数量积运算 题型突破·考法探究 【典例2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知单位向量满足，则 ． 【答案】 【解析】因为，且，所以， 所以，即． 又， 所以． 题型二：平面向量的夹角问题 题型突破·考法探究 【典例2-2】（2024·陕西·二模）已知，则向量的夹角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】设向量夹角为，则．   【方法技巧】 求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角． 题型二：平面向量的夹角问题 题型突破·考法探究 【变式2-1】（2024·江西宜春·三模）已知，均为非零向量，若，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】由，可得，即， 解得， 因为，所以， 又因为，所以． 故答案为：． 题型二：平面向量的夹角问题 题型突破·考法探究 【变式2-2】已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】由，且为钝角，所以，解得， 当时，则，解得，此时与夹角为，不成立， 且． 故答案为：且． 题型二：平面向量的夹角问题 题型突破·考法探究 【典例3-1】（2024·重庆·模拟预测）已知向量满足，则 ． 【答案】 【解析】可得 ， 故， 故答案为： 题型三：平面向量的模长 题型突破·考法探究 【典例3-2】（2024·浙江温州·二模）平面向量满足，，，则 ． 【答案】 【解析】设向量，由可得， 又，则， 解得，，则， 所以．   题型三：平面向量的模长 【方法技巧】 求模长，用平方，． 题型突破·考法探究 【变式3-1】（2024·安徽池州·模拟预测）已知向量，，且与共线，则 ． 【答案】 【解析】因为与共线， 所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 题型三：平面向量的模长 题型突破·考法探究 【典例4-1】（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P在直线上．若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可设，则， 所以，又， 故在上的投影向量为 ， 故选：A． 题型四：平面向量的投影、投影向量 题型突破·考法探究 【典例4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在直角梯形中，且，过作于， 则，故，从而． 因此， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：C   题型四：平面向量的投影、投影向量 【方法技巧】 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 题型突破·考法探究 【变式4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为． 故选：C 题型四：平面向量的投影、投影向量 题型突破·考法探究 【典例5-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A．2或3 B．或 C．1或 D．或6 【答案】D 【解析】由题意，向量， 可得， 因为，则， 即，解得或6． 故选：D 题型五：平面向量的垂直问题 题型突破·考法探究 【典例5-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知向量满足，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，，所以， 又，所以， 即，因为， 所以．故选：A．   题型五：平面向量的垂直问题 【方法技巧】 题型突破·考法探究 【变式5-1】（2024·辽宁·模拟预测）若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】，是夹角为的两个单位向量， 则，， 因为与垂直， 则， 即，解得．故选：A． 题型五：平面向量的垂直问题 题型突破·考法探究 【变式5-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，， 即，解得， 故选：B． 题型五：平面向量的垂直问题 题型突破·考法探究 【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知在菱形ABCD中，，若点M在线段AD上运动，则的取值范围为 ． 【答案】． 【解析】， 记的交点为，以为原点，所在直线分别为x，y轴建立如图1所示， 则，，，，， 故，， 则， 故，又 则． 题型六：建立坐标系解决向量问题 题型突破·考法探究 【典例6-2】如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则 ． 【答案】 【解析】以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，建立直角坐标系，则，， 设，可得， 因为，则，可得， 即，解得，即的坐标为， 设，则，，由可得，解得， 则，，可得 所以．   题型六：建立坐标系解决向量问题 题型突破·考法探究 【变式6-1】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”．如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形均为正方形，，则 ． 【答案】 【解析】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，因为， 所以， 所以，所以． 故答案为：． 题型六：建立坐标系解决向量问题 题型突破·考法探究 【典例7-1】（2024·高三·广东汕头·期末）设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（    ） A．向东南走了 km B．向西南走了 km C．向东南走了 km D．向西南走了 km 【答案】A 【解析】可以表示向东走了10 km，再向南走了10km，由勾股定理可知， 所表示的意义为向东南走了 km． 故选：A． 题型七：平面向量的实际应用 题型突破·考法探究 【典例7-2】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，又，， 所以，故． 故选：A．  【方法技巧】 用向量方法解决实际问题的步骤 题型七：平面向量的实际应用 题型突破·考法探究 【变式7-1】一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下： ，，在中，有， 所以，，， 所以， 所以， 所以小货船航行速度的大小为， 故选：C． 题型七：平面向量的实际应用 题型突破·考法探究 【典例8-1】如图，在平面四边形中，，， 则 ． 【答案】 【解析】由题意得，， ， 因为，， 从而． 故答案为：． 题型八：向量回路恒等式 题型突破·考法探究 【典例8-2】如图，在平面四边形中，若，，则 ． 【答案】5 【解析】由题意可得： ， 故，则，即． 故答案为：5．  【方法技巧】 向量回路恒等式： 题型八：向量回路恒等式 题型突破·考法探究 【变式8-1】如图，已知在四边形中，． 则 ． 【答案】 【解析】如图，设分别为的中点． 则．又， 故． 同理，．又， 则 ． 题型八：向量回路恒等式 题型突破·考法探究 04 真题练习·命题洞见 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 1．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 B D B C 41 05 课本典例·高考素材 1．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设中点为，则，即，故边为圆的直径， 则，又，则为正三角形， 则有， 向量在向量上的投影向量，故选：A 43 2．如图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值． 【解析】∵M，N分别是BC，AC的中点， ． 与的夹角等于． ， ， ， ． 44 3．已知，求与的夹角． 【解析】因为， 所以， 即，所以， 因此， 所以与的夹角为． 45 06 易错分析·答题模板 02 易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错 易错分析：（1）解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知角之间的关系是互补还是相等．（2）向量的数量积与代数中，的乘积写法不同，不能漏掉其中的“・”． 【易错题1】在中，，，，则的值为 ． 【易错题2】已知在上的投影向量为，则的值为 ． 答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积 1、模板解决思路 通过定义法求解本模板问题时，要将待求数量积的向量用已知模和夹角的向量表示出来，再运算求解． 2、模板解决步骤 第一步：根据条件，把向量用已知模和夹角的向量表示出来． 第二步：将的表示式代入，再根据定义法求数量积． 第三步：进一步求解相关问题． 【经典例题1】已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 ． 【经典例题2】如图，在△ABC中，，，，则 ． 感谢观看 THANK YOU $$