12.1函数（3知识点+5题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

12.1函数 课程标准 学习目标 ①探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的查义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。 ②能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。 ③能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。 ④能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。 ⑤结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 ①初步了解函数的概念,能正确分辨出常量与变量、自变量与因变量。 ②能够由实际问题背景或表达式求出函数自变量的取值范围，会求函数值。 ③结合实例，初步了解函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，能用适当的函数表示法描述某些实际问题中变量之间的关系。 ④能根据实际问题背景，刻画变量间的函数图象。 说明：按照课时顺序编排知识点 知识点01 函数的基本概念 ·变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 ·函数 一般地，设在一个变化过程中有两个变量ｘ、ｙ，如果对于ｘ在它允许取值范围内的每一个值，ｙ都有唯一确定的值与它对应，那么就说ｘ是自变量，ｙ是ｘ的函数． 如果当ｘ＝ａ时，ｙ＝ｂ，那么ｂ叫做当自变量的值为ａ时的函数值． 【即学即练1】（23-24七年级下·宁夏银川·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量之间有如下关系（其中） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．所挂物体质量每增加，弹簧长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 根据变量与常量，用表格表示变量之间的关系，结合表格中数据的变化规律逐项进行判断即可． 【详解】解：A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，是正确的，因此该选项不符合题意； B．弹簧不挂重物时的长度，即当时y的值，此时，是正确的，因此该选项不符合题意； C．物体质量x每增加，弹簧长度增加，是正确的，因此该选项不符合题意； D．根据物体质量x每增加，弹簧长度增加，可得出所挂物体质量为时，弹簧长度为，原选项错误，因此该选项符合题意； 故选：D． 【即学即练2】（22-23七年级下·陕西西安·期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．在上述变化中，自变量是（    ） A．2 B．半径 C． D．周长 【答案】B 【分析】可得周长是半径的函数，周长随着半径的变化而变化，周长是因变量，半径为自变量，即可求解． 【详解】解：由题意得 周长是半径的函数， 周长随着半径为的变化而变化， 半径为是自变量； 故选：B． 【即学即练3】豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，观察下图，回答问题： (1)说明哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数． (2)温度在什么范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？ 【答案】(1)温度是自变量，  呼吸作用强度是温度的函数； (2)温度在到范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强；在到范围内逐渐减弱． 【分析】本题考查了常量和变量，函数图象，正确的识别图象是解题的关键． （1）根据函数图象即可得到结论； （2）根据图象中提供的信息即可得到结论． 【详解】（1）解：此图反映的自变量是温度，呼吸作用强度是温度的函数； （2）解：由图象知，温度在到范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强；在到范围内逐渐减弱． 【即学即练4】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）声音在空气中传播的速度与气温有重要关系，下表列出了一组不同气温时的音速． 气温 0 5 10 15 20 音速 331 334 337 340 343 (1)在这种变化中，音速随气温的变化而变化， 是自变量， 是因变量； (2)除夕之夜，气温是，小天看见烟花燃放后，才听到其声响，请估计小天离燃放烟花的地方有多远？ 【答案】(1)气温，音速 (2)米 【分析】本题考查函数的表示方法，理解函数的定义； （1）根据常量、变量、自变量、因变量的意义进行判断即可； （2）根据路程速度时间进行计算即可． 【详解】（1）由表格中两个变量的变化关系可知，音速随着气温的变化而变化的， 因此气温是自变量，音速是因变量，音速是气温的函数， 故答案为：气温，音速； （2）由题意可知，气温是时，音速为，则（米）， 答：元旦之夜，气温是，小天看见烟花燃放后，才听到其声响，小天离燃放烟花的距离为米． 注意： (1)常量与变量只与在某一个变化过程中的数值是否发生改变有关. (2)变量、常量与字母的指数没有关系，如 y=100－2x2 中，x、y 是变量，而不能说 x2 是变量 . 知识点02 表示函数的三种方法——列表法和解析法 表示函数关系主要有下列三种方法：列表法、解析法、图象法． ·列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法． ·解析法 用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示两个变量间的函数关系，这种表示法叫做解析法。其中的等式叫做函数表达式（或函数解析式）． 注意：在用表达式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使函数表达式有意义 【即学即练5】（2023·安徽六安·二模）某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“大本营所在地的气温为，海拔每升高，气温下降”可得向上登高可得气温下降了，即可写出函数关系式． 【详解】解：由题意得，y与x的函数关系式为， 故选：B． 【即学即练6】（22-23七年级下·安徽宿州·期中）某小卖部进了一批玩具，在进货价的基础上加一定的利润出售，其销售数量个与售价元之间的关系如下表： 销售数量个                          售价元                          下列用表示的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由每增加时，售价增加可得规律，从而解题． 【详解】解：∵销售1个时，售价为：元， 销售2个时，售价为：元， 销售3个时，售价为：元， 销售4个时，售价为：元， …， 当销售量为时的售价应为， ， 故选：B． 【即学即练7】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）函数中的自变量的取值范围是(    ) A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围，根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵ ∴且 故选：D． 知识点03 表示函数的三种方法——图象法 ·图象法 一般地，对于一个函数，如果把自变量ｘ与函数值ｙ的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法，叫做图象法． ·由函数解析式画其图像的一般步骤： ①列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 ②描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 ③连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 注意： (1)函数的图象是由一些点组成的 , 在描点的时候应尽可能地多选几个点，使图象更准确； (2)在画图象时 , 应考虑自变量的取值范围. 【即学即练8】下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义：有两个变量，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数，据此即可判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、给定的一个值，有两个值和它对应，故不是的函数，该选项不合题意； 、给定的一个值，有两个值和它对应，故不是的函数，该选项不合题意； 、给定的一个值，有两个值和它对应，故不是的函数，该选项不合题意； 、是的函数，该选项符合题意； 故选：． 【即学即练9】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据实际情况分析结合图象即可得到答案，此题考查了函数图象，读懂题意，找出图象是解题的关键． 【详解】根据题意可得：甲先步行到中点改骑自行车，即先慢后快； 乙先骑自行车到达中点后改为步行，即先快后慢．最后同时到达终点， 故选C． 【即学即练10】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）甲、乙两位同学骑自行车，从各自家出发上学，他们离乙家的距离与出发时间之间的函数关系如图所示，则乙比甲早到几分钟．（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确理解题意求出各自的速度，进而求出各自到达的时间是解题的关键．根据函数图象求出各自的速度，再求出各自到达的时间即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，甲4分钟行驶了，乙4分钟行驶了， ∴甲的行驶速度为，乙的行驶速度为， ∴甲到达学校的时间为，乙到达学校的时间为， ∴乙比甲早到， 故选 A． 【即学即练11】（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）已知等腰三角形周长为，若底边长为（），一腰长为x（）． (1)写出y与x的函数关系式； (2)求自变量x的取值范围； (3)画出这个函数的图像． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：由题意可得： 变形得： ∴与的函数关系式为： （2）解：由三角形的三边关系可知： 即： 解得： 故自变量的取值范围为： （3）解：在函数（）中 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴该函数经过、、、、 其图像如下： ·判断两个变量是否具有函数关系，只需看它是否符合定义中的“三要素”即可，但要注意两点： （1）对于自变量 x 取不同的数值，与之对应的 y 的值不一定不同，只要有唯一值与之对应即可 . （2）不能只看是否有关系式存在，有些函数关系是没有关系式的(如心电图中的时间与生物电流的关系) . ·自变量的取值范围 （1）定义： 使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围 . （2）确定自变量取值范围的方法： 其一，要使函数关系式有意义 ；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义 . 注意： 自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数 . 例：①y＝3x＋7：x取全体实数；② y＝：x≥-2；③y＝ +： 总结：常见函数自变量的取值范围的确定 ·求函数值的一般步骤： 1. 明确自变量的取值； 2. 将自变量的取值代入函数表达式； 3. 按照函数表达式指明 的 运算顺序进行计算 . 【题型一：根据实际问题列函数关系式】 例1．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【详解】由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 变式1-1．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 【答案】(1) (2)10 【分析】此题考查了应用函数概念解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列出函数解析式，并能进行相关的计算． （1）分别用x表示出两个正方形的面积，即可得出结果； （2）按照（1）结果代入x的值进行计算，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． 自变量x的取值范围是． （2）解：当时，． ∴当时，此时两正方形的面积和S为10． 变式1-2.（22-23八年级下·安徽宿州·期中）某电影院第一排有18个座位，第二排有21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座位，．．．．．．每一排都比前一排多3个座位，依此类推，则第n排的座位数m= ．(不需要注明取值范围) 【答案】 【分析】根据第一排有18个座位，第二排有21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座位，......每一排都比前一排多3个座位，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得：第n排的座位数为， 故答案为：． 【方法技巧与总结】 ①确定变量，找准变量之间的关系，列出函数关系；②根据实际问题表示出自变量的范围。 ·求几何问题的函数表达式，实质上是建立几何中两个变量之间的数量关系，要熟悉一些常用的几何关系式.如：圆的周长与半径的关系式，立方体的体积与棱长的关系式等 . ·确定自变量的取值范围时，一方面要考虑使函数表达式有意义，另一方面还要注意使几何问题有意义. 【题型二：注水问题——体积作为因变量的函数图象】 例2．（2024·北京门头沟·二模）如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查函数的定义以及函数图象的识别．探究大水杯中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，从而确定图象． 【详解】解：开始往大水杯中均匀注水，h的值由0逐渐增大，当水漫过小水杯向小水杯注水，此时h的值保持不变，小烧杯注满后，水再次进入大水杯中直至到大水杯顶部时，h的再次增大，但变化比开始时变慢． 观察四个图象，选项C符合题意． 故选：C． 变式2-1．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（    ）    A．  B．  C．   D．   【答案】B 【详解】由题图知，随高度的增加上底面越来越小，故V与h函数图象不会出现直线，排除C，D选项， 随着高度的增加h越大体积变化越缓慢，故排除A选项． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象的判断，根据容器的形状以及题意判断函数图象先陡，后缓是解题的关键． 例3. （23-24八年级上·安徽安庆·期末）水池有个进水口，个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天点到点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列判断：点到点，打开两个进水口，关闭出水口；点到点，同时关闭两个进水口和一个出水口；点到点，关闭两个进水点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象逐一分析即可，解题的关键关键是结合函数的图象得出函数表示的意义． 【详解】由图中可以看出， 一个进水管的速度为；一个出水管的速度为，从点到点，蓄水量由增加到，如果打开个进水管关闭出水口的话，就要增加， ∴错误； ∵点到点，蓄水量没有变，所以同时关闭个进水口和个出水口， ∴正确； ∵点到点，蓄水量由变为，关闭个进水口，打开出水口的话就应该减少， ∴错误； ∵点到点，蓄水量没有变，根据一个进水管的速度为；一个出水管的速度为，故同时打开个进水口和个出水口是正确的， ∴正确， 综上可知：正确， 故选：． 【方法技巧与总结】 2 长方体、正方体、圆柱容器：底面积不变，水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象是直线。 ②圆台、圆锥：上窄下宽，随高度的增加上底面越来越小，水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象是先缓后陡的曲线；液面高度越高时，体积的变化越小，容器内水的体积V与水面上升高度h之间的函数图象是先陡后缓的曲线。 【题型三：列表-描点-连线画函数图象】 例4．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线 x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 4 3 2 1 0 1 m 3 4 … (1)表格中：______； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数图像；    【答案】(1)2 (2)图形见解析 【分析】本题主要考查绝对值函数以的性质， （1）将代入函数求得m的值； （2）采用描点、连线的方法画函数图像； 【详解】（1）解：将代入，得， （2）函数图像如图所示．    变式4．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）某同学根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整∶ (1)填表 x … … y … … (2)根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数的图像． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【分析】（1）分别将自变量代入函数表达式，求出函数值；然后填表即可； （2）根据（1）的结果描点画图即可； （3）根据图像描述该函数的一条性质即可； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： … … … … （2）解：函数的图像如下： 【方法技巧与总结】 ·由函数解析式画其图像的一般步骤： ①列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边取值，取值要有代表性，使画出的函数图象能反映出函数的全貌 . ②描点体现了“数”与 “形”的联系，是数形结合思想的体现，描点时要以表中每对对应值为坐标，点描得越多，图象就越精确. ③连线时要用平滑的曲线将所描的点依次连接 . ·注意： ①当纵轴和横轴表示的是不同意义的量，两轴可以取不同的单位长度； ②自变量的取值要符合实际意义 . 【题型四：根据函数图象获取信息】 例5．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人在终点休息．已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为5940米；③甲走完全程用了78分钟；④乙步行的速度为90米/分钟；⑤图中m的值为36． 则以上结论一定正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用.根据所给点的坐标判断出甲、乙两人的速度是解决本题的关键. 根据甲分钟步行的路程为米，可得甲步行的速度，可判断①是否符合题意；第分钟时，乙到达终点，根据此时乙比甲多走米，列出方程即可求得乙步行的速度，可判断④是否符合题意；乙的速度乘以乙步行的时间即可求得起点到终点的距离，可判断②是否符合题意；起点到终点的距离除以甲的速度可得甲走完全程需要的时间，可判断③是否符合题意，然后根据追及问题求出值可以判断⑤. 【详解】∵甲先出发分钟，甲分钟步行的路程为米， ∴甲步行的速度为：(米/分)， 故①正确； ∵甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息，乙从第分钟开始行走，第分到达到达终点，此时甲乙两人相距米, ∴第分钟时，乙比甲多走米. 设乙步行的速度为米/分，根据题意得： 解得： 故④正确； 起点到终点的距离为：(米)， 故②正确； 甲走完全程的时间为：(分) 故③错误； ∵分， 故⑤正确； ∴正确的为①②④⑤， 故选:B. 变式5-1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（　　）    A．A，B两村相距 B．出发后两人相遇 C．甲每小时比乙多骑行 D．相遇后两人又骑行了，此时两人相距 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象，正确理解图中信息是解题关键．根据图像与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，当时，即为甲、乙相遇的时候，结合一次函数的图像与性质逐一判断即可解答． 【详解】解：A.由图像可知A村、B村相离，故选项A正确，不符合题意； B.由图像可知：当时，甲、乙相距为，故在此时相遇，故②正确，不符合题意； C.由图像可知：出发后两人相遇，则有：，即 ∴甲的速度比乙的速度快，故C正确，不符合题意； D.相遇后，两人相距，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 变式5-2．中国无人机研发技术后来居上，世界领先，如图所示为某无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的函数关系图，上升和下降过程中速度都相同，根据所提供的图象信息解答下列的问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是_________分钟． (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为_________米/分钟． (3)图中a表示的数是_________，b表示的数是_________． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是看懂图象中数据，结合路程速度时间进行计算． （1）根据图象直接计算即可得到答案； （2）根据分钟图象数据求解即可得到答案； （3）根据（3）中的速度代入行程公式即可得到答案； 【详解】（1）解：由图象可得， 分钟无人机在米高的上空停留， ∴无人机在米高的上空停留的时间是：分钟， （2）解：由分钟图象可得， 无人机的速度为：（米/分钟）， （3）解：由（2）可得， ，， 解得：，； 例6. （22-23七年级下·安徽宿州·期末）在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的图象分别为线段和折线，下列说法正确的是（　　） A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C．在起跑后90秒时，两人相遇 D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，解答时认真分析函数图象的数据是关键．A、由函数图象可以得出小莹跑步的速度是匀速的；B、由平均速度=路程÷时间求出两人的平均速度比较大小即可；C、求出90秒时两人运动的路程可以得出结论；D、由函数图象可以得出在起跑后50秒内，小梅在小莹的前面． 【详解】解：A、由图象，得小莹跑步的速度是匀速的，故错误； B、小莹的平均速度为：（米/秒）， 小梅的平均速度为：（米/秒）， ∵， ∴小莹的平均速度>小梅的平均速度，故错误； C、米， 米， ∵， ∴在起跑后90秒时小莹在小梅的前面，故错误； D、由函数图象得，在起跑后50秒内，小梅在小莹的前面，故正确． 故选：D． 变式6-1.（2024·安徽合肥·一模）如图为甲、乙两种物质的图象．下列说法正确的是（    ）    A．甲物质的密度与质量成正比 B．体积为的甲物质的质量为 C．甲物质的密度比乙的密度小 D．甲、乙质量相同时，乙的体积是甲的倍 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，根据图象分析逐项求解即可，解题的关键是熟练掌握从图象中获取信息． 【详解】、甲物质的密度与质量无关，密度是物质的特性，不随其质量的变化而变化，故此选项错误； 、由图象可知，甲物质的密度为，当体积为时的甲物质的质量为，故此选项错误； 、甲物质的密度为，乙物质的密度为， ∵， ∴甲物质的密度比乙的密度大，故此选项错误； 、∵甲物质的密度为，乙物质的密度为， 设甲、乙质量为时， ∴甲的体积为，乙的体积为， 则，故此选项正确； 故选：． 变式6-2．一辆快递车和一辆客车同时从甲地开往乙地，快递车先以的速度行驶了一段时间，中途车辆出现故障维修了．再以的速度到达乙地，客车始终以同一速度行驶，结果还比快递车迟到10分钟．两车距离甲地的路程与时间的关系如图，请结合图像，解答下列问题：    (1)客车的行驶速度是 　　，　　； (2)求两车在途中第二次相遇时，距甲地的距离． 【答案】(1)80，120 (2)两车在途中第二次相遇时，距甲地 【分析】（1）根据图像信息，由路程速度时间，列式求解即可得到答案； （2）由图像信息，结合追及问题，根据路程相等列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图像可知，客车的行驶速度是， 快递车先以的速度行驶了一段时间， ， 中途车辆出现故障维修了， ， 再以的速度到达乙地，客车始终以同一速度行驶，结果还比快递车迟到10分钟， ，解得， 故答案为：80，120； （2）解：设出发两车第二次相遇，则此时客车距甲地，快递车距甲地， ，解得， ， 两车在途中第二次相遇时，距甲地． 【点睛】本题考查函数图像综合，读懂题意，数形结合，从图像中获取相应信息是解决问题的关键． 【方法技巧与总结】 ·根据距离出发地的距离与时间的s-t函数图象提取信息： ①看起点（y轴交点）、终点（x轴交点）：初始距离和最后距离 ②看拐点（转折点）：表示改变速度的状态（停止运动、降速、提速、开始返程） ③看交点：表示相遇 ④水平直线：速度为0 ·根据两车的距离与时间的s-t函数图象提取信息： 从同向而行（相遇问题）和相向而行（追击问题）两种情况进行分析 【题型五：动点问题的函数图象】 例7.如图，边长为4的正方形的边上一动点，沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列关于变量与变量的关系图象正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点在正方形各边上的运用状态分类讨论即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意知，动点在运动过程中，分为以下四种情况： ①当时，点在上运动，的值为0； ②当时，点在上运动，，随的增大而增大； ③当时，点在上运动，，的值不变； ④当时，点在上运动，，随的增大而减小； 综上所述，选项B符合题意， 故选：B． 变式7.（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，点沿自向运动，作于，于，则的值与的长之间的函数图象大致是（） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，由题可知，从小变大时，也是先变小再变长，结合，是先变大再变小，结合选项可得结论. 本题主要考查动点问题的函数图象，通过变化趋势进行判断是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图， 由题可知， 当点从点运动到点，即从小变大时，也是先变小再变长， 而的面积不变， 又， 即是先变大再变小， 结合选项可知，D选项是正确的， 故选：D． 例8．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图1，在长方形中，，E是边上一点，且，点P从点B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为，运动时间为，的面积为，y与t的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查动点问题的函数问题，先通过和计算出，根据计算a的值，b的值是除以速度加a的值，当时找到P点位置计算面积即可判断y值． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， A．当时点P运动到点E，此时，解得，则A正确，故本选项不符合题意； B．由，，得，结合点P的运动速度为，得，那么，则B正确，故本选项不符合题意； C．由，点P的运动速度为，得，则，C错误，故本选项符合题意； D．当时，，则D正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 变式8-1．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图1，在长方形中，点E是上一点，点P从点A出发，沿着运动，到点E停止，运动速度为，三角形的面积为，点P的运动时间为，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）． （1）长方形的宽的长为 cm； （2）当点P运动到点E时，，则m的值为 ． 【答案】 4 12 【分析】（1）依据题意，根据三角形的面积随点P的运动时间变化图象，判断出，，进而可以得解； （2）依据题意，根据三角形的面积随点P的运动时间变化图象，抓住当时，的面积进而进行计算可以得解． 【详解】解：（1）由题意，当P从A到B三角形的面积逐渐增大，三角形的面积逐渐变小． 故， ∴． 故答案为：4． （2）由题意，当时，的面积， 又， ∴． ∴． 故答案为：12．　　　　　． 变式8-2．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点D停止．已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为若S与t之间关系的图象如图2所示，则长方形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的面积只与点P的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽，再根据矩形的周长公式计算即可解答． 【详解】解：动点P从点B出发，沿、、运动至点A停止， 当点P在点B，C之间运动时，的面积随时间x的增大而增大， 由图2知，当时，点P到达点C处， ； 当点P运动到点C，D之间时，的面积不变， 由图2可知，点P从点C运动到点D所用时间为， ， 长方形ABCD周长， 故选：B 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽． 【方法技巧与总结】①根据动点在图形的各边上的运用状态进行分类讨论：确定分段的函数图象；②表示出长方形、三角形的周长或面积公式；③根据公式进行计算确定函数图象。 一、选择题 1．（21-22七年级下·广东深圳·期中）某汽车油箱存油量（Q）与汽车工作时间（t）的关系如表，下列说法不正确的是（    ） 时间t（分） 0 10 20 30 40 50 60 … 存油量Q（升） 20 19 18 17 16 15 14 … A．油箱中原存油20升 B．汽车每分钟耗油0.1升 C．汽车工作2小时，油箱中存油8升 D．油箱中的油只可供汽车工作3小时 【答案】D 【分析】根据表格数据可以得到时间和存油量之间的关系为：Q＝20﹣0.1t，再依次判断即可． 【详解】解：根据时间为0分钟时，存油量为20升，可得A正确，不符合题意； 时间增加10分钟，存油量减少1升，所以每分钟耗油量为0.1升，可得B正确，不符合题意； ∵每分钟耗油量为0.1升， ∴Q＝20﹣0.1t， 当t＝120时，Q＝8，可得C正确，不符合题意； 当20﹣0.1t＝0，解得t＝200，200分钟＞3小时，可得D错误，符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）如图表，李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ） 300.00 金额 44.248 数量/升 6.78 单价/元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价6.78是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴常量是：单价． 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求函数关系式，挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式． 【详解】解：由题意知：； 故选：B． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）在烧开水时，水温达到水就会沸腾．下表是小红同学做“观察水的沸腾”试验时所记录的时间和水温的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），水温与时间之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求函数的关系式，由表知开始时温度为，再每增加2分钟，温度增加，即每增加1分钟，温度增加，可得温度T与时间t的关系式． 【详解】解：∵开始时温度为，每增加1分钟，温度增加， ∴温度T与时间t的关系式为：， 故选：A． 5．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了函数概念．根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，判断即可． 【详解】解：根据函数的定义可得， 选项A，B，D中，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数， 选项C对于自变量x的每一个值，y有两个值与之对应，所以不能表示y是x的函数， 选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 6.（22-23八年级上·安徽亳州·期中）已知一个长方形的周长50cm，相邻两边分别为，，则它们的关系为是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长公式列出等式变形即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，且 ， ∴， 故选C． 7．（2023·安徽滁州·模拟预测）下列各幅图象中，可以大致反映成熟的苹果从树上掉下来时，速度随时间变化情况的是（   ） A．  B．  C．D． 【答案】C 【分析】苹果下落时，在重力的作用下速度逐渐增大，据此求解即可． 【详解】解：苹果下落时重力势能转化为动能，速度随时间的增大而变大，根据此特点可知，选项C符合题意． 故选：C． 8．（2024·安徽合肥·一模）小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象．根据密度质量体积，从图象中比较每种物质的质量和体积，即可得到答案． 【详解】解：甲和丙的体积相等， 甲的质量丙的质量， 甲的密度大； 乙和丁的体积相等， 乙的质量丁的质量， 乙的密度大； 甲和乙的质量相等， 甲的体积乙的体积， 甲的密度大． 故选：A． 二、填空题 9．一个长方体的底面是边长为的正方形，当高为时，体积为，则与的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式．熟练掌握长方体的体积公式是解题的关键． 根据长方体的体积公式，即可求解． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 10．某市出租车的收费标准是起步价10元行程小于或等于3千米，超过3千米每增加1千米不足1千米按1千米计算加收2元，则出租车费元与行程千米之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】根据出租车的收费标准，用含有x的代数式表示车费即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为： 11．函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图①，在长方形中，动点E从点B出发，沿的方向运动至点C停止．设点E的运动路程为m，三角形的面积为S，若S与m的关系如图②所示，则a的值为 ．    【答案】24 【分析】结合图形，当点E运动路程为6时，点E在点A处，故，当点E运动路程为时点E在点D处，故，进而求出面积a的值． 【详解】解：由图得，当点E运动路程为6时，点E在点A处，故， 当点 E 运动路程为14时，点E在点D处，故， ∴ 当点E在点A处时的面积为：， 的值为24． 故答案为：24． 13．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小敏离家的路程（米）和所经过的时间（分）之间的函数图象如图所示．下列结论：①小敏在超市逗留了30分钟；②小敏家距离超市3000米；③小敏去超市途中的速度是300米/分钟；④小敏8点50分返回到家．以上结论中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题考查了运用图象解决实际问题的能力．仔细观察图象的横纵坐标所表示的量的意义，从而进行判断． 【详解】解：（分钟）， ∴小敏在超市逗留了30分钟，①正确； 小敏家距离超市3000米，②正确； ∴小敏去超市途中的速度是（米分钟），③正确； 小敏从超市返回时的速度是（米分钟）， 小敏从超市返回时的时间是（分钟）， （分， ∴小敏8点55分返回到家，④错误； 综上，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题 14．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．    (1)观察图形，填写下表： 链条节数（节 2 3 4 链条长度 (2)请你写出y与x之间的关系式； (3)如果一辆自行车上安装的链条共有60节，那么链条的总长度是多少？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查函数关系式； （1）观察表格，找出规律． （2）根据找到的规律列出关系式． （3）代入关系式求解． 熟练掌握找出规律列出函数关系式是解决本题的关键． 【详解】（1）解：经分析，每增加一节链条，链条长度增加． 链条的节数为3时，链条的长度为；链条节数为4时，链条的长度为． 故答案为：，． （2）由题意得，． （3）当，． 这辆自行车链条的总长为． 15．如图是一辆自行车在内的速度随时间变化的图象，请你根据图象信息填空：      (1)自行车在中途休息的时间为________； (2)自行车第二次减速行驶的时间段为 ________； (3)求自行车在第期间行驶的距离． 【答案】(1)4 (2) (3)自行车在第期间行驶 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是从图象中获取信息． （1）根据函数的图象得到速度为0时，是在休息，找到对应的时间计算出结果； （2）根据函数的图象得到第二次减速行驶的时间段是； （3）根据速度时间路程，计算出结果． 【详解】（1）， 故答案为：4． （2）根据函数的图象得到第二次减速行驶的时间段是， 故答案为：． （3）， ． 答：自行车在第期间行驶． 16．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人）与每月利润（利润=收入费用-支出费用）（元）的变化关系如下表表示（每位乘客的公交票价是固定不变的）： 乘车人数（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 —— 每月利润（元） 0 1000 2000 —— (1)在这个变化过程中，______________是自变量，______________是因变量； (2)观察表格中数据可知，每月乘客量达到______________人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请写出y与x之间的关系式，并计算当每月乘车人数为3500时，每月利润为多少元？ (4)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达______________人． 【答案】(1)x，y (2)2000 (3)（x为自然数），3000元 (4) 【分析】（1）根据变量的定义解答； （2）观察表格，知达到2000人以上时，盈亏平衡； （3）先根据盈亏平衡，求得票价，再根据利润公式，求得关系式；将自变量值代入求解； （4）根据题意建立方程求解． 【详解】（1）解：乘车人数x是自变量，每月利润y是因变量． （2）解：由表格知，乘客达到2000人以上时，不会亏损． （3）解：设票价为a元，则， 解得， ∴（x为自然数）． 时，． ∴当每月乘车人数为3500时，每月利润为3000元． （4）解：由题意，， 解得 ∴想获得利润5000元，5月份的乘客量需达人． 17．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）张师傅驾车运送货物到某地出售，汽车出发前油箱有油升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量（升）与行驶时间 （小时）之间的关系如图所示． 请根据图象回答下列问题： (1)汽车行驶 小时后加油，中途加油 升； (2)已知加油前、后汽车都以千米小时匀速行驶，如果加油站距目的地 千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用? 请说明理由． 【答案】(1)，； (2)油箱中的油够用，理由见解析． 【分析】（）由题中图象即可看出，加油的时间和加油量； （）由路程和速度算出时间，再求出每小时的用油量，判断油是否够用； 本题考查了函数的图象，解题的关键是仔细观察图象，从图中找出正确信息． 【详解】（1）由图象可知：汽车行驶小时后加油， 加油量：， 故答案为：，； （2）由图可知汽车每小时用油（升）， 所以汽车要准备油（升）， ∵升升， ∴油箱中的油够用． 1．如图1，，点P以每秒1cm的速度从B点出发，沿B－C－D路线运动，到D停止．如图2，反映的是的面积与点P运动时间x（秒）两个变量之间的关系．则m的值为（   ） A．20 B．24 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了利用图象和关系式表示变量之间的关系．根据图2可得：点P在上运动了6秒，在上运动了2秒，进而求出，再根据求解即可． 【详解】解：根据图2可得：点P在上运动了6秒，在上运动了2秒， ∵点P以每秒1cm的速度从B点出发的， ∴， ∴， ∴； ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末），两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是 ②乙出发后追上甲；③甲比乙晚到； ④甲车行驶或，甲，乙两车相距； 其中正确的是（     ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象，根据图象可得甲车行驶的速度是，再由甲先出发，乙出发后追上甲，可得到乙车行驶的速度是，故①正确；故②错误；根据图象可得当乙到达地时，甲乙相距，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达地时和当乙车到达地后时，可得④正确． 【详解】解：①由图可得，甲车行驶的速度是， ∵甲先出发，乙出发后追上甲， ∴， ∴， 即乙车行驶的速度是，故①正确； ②∵当时，乙出发，当时，乙追上甲， ∴乙出发后追上甲，故②错误； ③由图可得，当乙到达地时，甲乙相距， ∴甲比乙晚到，故③正确； ④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达地时，则 解得； 当乙车到达地后时，， 解得， ∴甲车行驶或，甲，乙两车相距，故④正确； 综上所述，①③④正确． 故选：C． 3．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）随着“双减”政策落地，周末家庭野外郊游将成为我们的生活常态．诚诚骑自行车从家里出发30分钟后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．诚诚离家1小时30分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，下图是他们离家的路程与诚诚离家时间的函数图象，已知妈妈驾车的速度是诚诚骑车速度的3倍，根据图中的信息：    (1)诚诚从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ (2)若妈妈比诚诚还早10分钟到达乙地，从家到乙地的路程是多少？ 【答案】(1)2小时， (2) 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据函数图象获取需要数据，根据题意得出等量关系，列出方程求解即可． （1）先去除诚诚骑自行车的速度为，则妈妈驾车的速度是，再求出诚诚出发后，妈妈才出发，设妈妈用小时追上诚诚及此地离家的距离为，根据诚诚被妈妈追上时，两人路程相同，列出方程求解即可； （2）设母子俩相遇后与乙地距离为，根据“妈妈比诚诚还早10分钟到达乙地”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：诚诚骑自行车的速度为， ∴妈妈驾车的速度是， ， ∴诚诚出发后，妈妈才出发， 设妈妈用小时追上诚诚及此地离家的距离为， 则有， 解得， ∴，， ∴诚诚从家出发2小时后被妈妈追上，此时离家； （2）解：10分钟小时， 设母子俩相遇后与乙地距离为， 则有， 解得， ∴从家到乙地的路程是． （23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.1函数 课程标准 学习目标 ①探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的查义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。 ②能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。 ③能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。 ④能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。 ⑤结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。 ①初步了解函数的概念,能正确分辨出常量与变量、自变量与因变量。 ②能够由实际问题背景或表达式求出函数自变量的取值范围，会求函数值。 ③结合实例，初步了解函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，能用适当的函数表示法描述某些实际问题中变量之间的关系。 ④能根据实际问题背景，刻画变量间的函数图象。 知识点01 函数的基本概念 ·变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 ·函数 一般地，设在一个变化过程中有两个变量ｘ、ｙ，如果对于ｘ在它允许取值范围内的每一个值，ｙ都有唯一确定的值与它对应，那么就说ｘ是自变量，ｙ是ｘ的函数． 如果当ｘ＝ａ时，ｙ＝ｂ，那么ｂ叫做当自变量的值为ａ时的函数值． 【即学即练1】（23-24七年级下·宁夏银川·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量之间有如下关系（其中） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．所挂物体质量每增加，弹簧长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【即学即练2】（22-23七年级下·陕西西安·期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．在上述变化中，自变量是（    ） A．2 B．半径 C． D．周长 【即学即练3】豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，观察下图，回答问题： (1)说明哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数． (2)温度在什么范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？ 【即学即练4】（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）声音在空气中传播的速度与气温有重要关系，下表列出了一组不同气温时的音速． 气温 0 5 10 15 20 音速 331 334 337 340 343 (1)在这种变化中，音速随气温的变化而变化， 是自变量， 是因变量； (2)除夕之夜，气温是，小天看见烟花燃放后，才听到其声响，请估计小天离燃放烟花的地方有多远？ 注意： (1)常量与变量只与在某一个变化过程中的数值是否发生改变有关. (2)变量、常量与字母的指数没有关系，如 y=100－2x2 中，x、y 是变量，而不能说 x2 是变量 . 知识点02 表示函数的三种方法——列表法和解析法 表示函数关系主要有下列三种方法：列表法、解析法、图象法． ·列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法． ·解析法 用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示两个变量间的函数关系，这种表示法叫做解析法。其中的等式叫做函数表达式（或函数解析式）． 注意：在用表达式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使函数表达式有意义 【即学即练5】（2023·安徽六安·二模）某登山队大本营所在地的气温为．海拔每升高，气温下降．队员由大本营向上登高，气温为，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】（22-23七年级下·安徽宿州·期中）某小卖部进了一批玩具，在进货价的基础上加一定的利润出售，其销售数量个与售价元之间的关系如下表： 销售数量个                          售价元                          下列用表示的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练7】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）函数中的自变量的取值范围是(    ) A． B． C．且 D．且 知识点03 表示函数的三种方法——图象法 ·图象法 一般地，对于一个函数，如果把自变量ｘ与函数值ｙ的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法，叫做图象法． ·由函数解析式画其图像的一般步骤： ①列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 ②描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 ③连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 注意： (1)函数的图象是由一些点组成的 , 在描点的时候应尽可能地多选几个点，使图象更准确； (2)在画图象时 , 应考虑自变量的取值范围. 【即学即练8】下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练9】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（　　） A．B．C． D． 【即学即练10】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）甲、乙两位同学骑自行车，从各自家出发上学，他们离乙家的距离与出发时间之间的函数关系如图所示，则乙比甲早到几分钟．（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【即学即练11】（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）已知等腰三角形周长为，若底边长为（），一腰长为x（）． (1)写出y与x的函数关系式； (2)求自变量x的取值范围； (3)画出这个函数的图像． ·判断两个变量是否具有函数关系，只需看它是否符合定义中的“三要素”即可，但要注意两点： （1）对于自变量 x 取不同的数值，与之对应的 y 的值不一定不同，只要有唯一值与之对应即可 . （2）不能只看是否有关系式存在，有些函数关系是没有关系式的(如心电图中的时间与生物电流的关系) . ·自变量的取值范围 （1）定义： 使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围 . （2）确定自变量取值范围的方法： 其一，要使函数关系式有意义 ；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义 . 注意： 自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数 . 例：①y＝3x＋7：x取全体实数；② y＝：x≥-2；③y＝ +： 总结：常见函数自变量的取值范围的确定 ·求函数值的一般步骤： 1. 明确自变量的取值； 2. 将自变量的取值代入函数表达式； 3. 按照函数表达式指明 的 运算顺序进行计算 . 【题型一：根据实际问题列函数关系式】 例1．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，线段的长为，点C是线段上一动点（点C不与A，B重合），分别以，为边，在同侧作正方形．设线段的长为，两正方形的面积和为． (1)写出两正方形的面积和关于线段的长的函数解析式及自变量的取值范围； (2)当时，求此时两正方形的面积和S． 变式1-2.（22-23八年级下·安徽宿州·期中）某电影院第一排有18个座位，第二排有21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座位，．．．．．．每一排都比前一排多3个座位，依此类推，则第n排的座位数m= ．(不需要注明取值范围) 【方法技巧与总结】 ①确定变量，找准变量之间的关系，列出函数关系；②根据实际问题表示出自变量的范围。 ·求几何问题的函数表达式，实质上是建立几何中两个变量之间的数量关系，要熟悉一些常用的几何关系式.如：圆的周长与半径的关系式，立方体的体积与棱长的关系式等 . ·确定自变量的取值范围时，一方面要考虑使函数表达式有意义，另一方面还要注意使几何问题有意义. 【题型二：注水问题——体积作为因变量的函数图象】 例2．（2024·北京门头沟·二模）如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（    ） A．B．C． D． 变式2-1．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   例3. （23-24八年级上·安徽安庆·期末）水池有个进水口，个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天点到点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列判断：点到点，打开两个进水口，关闭出水口；点到点，同时关闭两个进水口和一个出水口；点到点，关闭两个进水点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是（　　） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 2 长方体、正方体、圆柱容器：底面积不变，水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象是直线。 ②圆台、圆锥：上窄下宽，随高度的增加上底面越来越小，水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象是先缓后陡的曲线；液面高度越高时，体积的变化越小，容器内水的体积V与水面上升高度h之间的函数图象是先陡后缓的曲线。 【题型三：列表-描点-连线画函数图象】 例4．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线 x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 4 3 2 1 0 1 m 3 4 … (1)表格中：______； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数图像；    变式4．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）某同学根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整∶ (1)填表 x … … y … … (2)根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数的图像． 【方法技巧与总结】 ·由函数解析式画其图像的一般步骤： ①列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边取值，取值要有代表性，使画出的函数图象能反映出函数的全貌 . ②描点体现了“数”与 “形”的联系，是数形结合思想的体现，描点时要以表中每对对应值为坐标，点描得越多，图象就越精确. ③连线时要用平滑的曲线将所描的点依次连接 . ·注意： ①当纵轴和横轴表示的是不同意义的量，两轴可以取不同的单位长度； ②自变量的取值要符合实际意义 . 【题型四：根据函数图象获取信息】 例5．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人在终点休息．已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为5940米；③甲走完全程用了78分钟；④乙步行的速度为90米/分钟；⑤图中m的值为36． 则以上结论一定正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 变式5-1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（　　）    A．A，B两村相距 B．出发后两人相遇 C．甲每小时比乙多骑行 D．相遇后两人又骑行了，此时两人相距 变式5-2．中国无人机研发技术后来居上，世界领先，如图所示为某无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的函数关系图，上升和下降过程中速度都相同，根据所提供的图象信息解答下列的问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是_________分钟． (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为_________米/分钟． (3)图中a表示的数是_________，b表示的数是_________． 例6. （22-23七年级下·安徽宿州·期末）在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的图象分别为线段和折线，下列说法正确的是（　　） A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C．在起跑后90秒时，两人相遇 D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面 变式6-1.（2024·安徽合肥·一模）如图为甲、乙两种物质的图象．下列说法正确的是（    ）    A．甲物质的密度与质量成正比 B．体积为的甲物质的质量为 C．甲物质的密度比乙的密度小 D．甲、乙质量相同时，乙的体积是甲的倍 变式6-2．一辆快递车和一辆客车同时从甲地开往乙地，快递车先以的速度行驶了一段时间，中途车辆出现故障维修了．再以的速度到达乙地，客车始终以同一速度行驶，结果还比快递车迟到10分钟．两车距离甲地的路程与时间的关系如图，请结合图像，解答下列问题：    (1)客车的行驶速度是 　　，　　； (2)求两车在途中第二次相遇时，距甲地的距离． 【方法技巧与总结】 ·根据距离出发地的距离与时间的s-t函数图象提取信息： ①看起点（y轴交点）、终点（x轴交点）：初始距离和最后距离 ②看拐点（转折点）：表示改变速度的状态（停止运动、降速、提速、开始返程） ③看交点：表示相遇 ④水平直线：速度为0 ·根据两车的距离与时间的s-t函数图象提取信息： 从同向而行（相遇问题）和相向而行（追击问题）两种情况进行分析 【题型五：动点问题的函数图象】 例7.如图，边长为4的正方形的边上一动点，沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列关于变量与变量的关系图象正确的是（    ） A．B．C．D． 变式7.（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，点沿自向运动，作于，于，则的值与的长之间的函数图象大致是（） A．B．C． D． 例8．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图1，在长方形中，，E是边上一点，且，点P从点B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为，运动时间为，的面积为，y与t的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．当时， 变式8-1．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图1，在长方形中，点E是上一点，点P从点A出发，沿着运动，到点E停止，运动速度为，三角形的面积为，点P的运动时间为，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）． （1）长方形的宽的长为 cm； （2）当点P运动到点E时，，则m的值为 ． 变式8-2．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点D停止．已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为若S与t之间关系的图象如图2所示，则长方形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【方法技巧与总结】①根据动点在图形的各边上的运用状态进行分类讨论：确定分段的函数图象；②表示出长方形、三角形的周长或面积公式；③根据公式进行计算确定函数图象。 一、选择题 1．（21-22七年级下·广东深圳·期中）某汽车油箱存油量（Q）与汽车工作时间（t）的关系如表，下列说法不正确的是（    ） 时间t（分） 0 10 20 30 40 50 60 … 存油量Q（升） 20 19 18 17 16 15 14 … A．油箱中原存油20升 B．汽车每分钟耗油0.1升 C．汽车工作2小时，油箱中存油8升 D．油箱中的油只可供汽车工作3小时 2．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）如图表，李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ） 300.00 金额 44.248 数量/升 6.78 单价/元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 3．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）在烧开水时，水温达到水就会沸腾．下表是小红同学做“观察水的沸腾”试验时所记录的时间和水温的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），水温与时间之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 6.（22-23八年级上·安徽亳州·期中）已知一个长方形的周长50cm，相邻两边分别为，，则它们的关系为是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·安徽滁州·模拟预测）下列各幅图象中，可以大致反映成熟的苹果从树上掉下来时，速度随时间变化情况的是（   ） A．  B．  C．D． 8．（2024·安徽合肥·一模）小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题 9．一个长方体的底面是边长为的正方形，当高为时，体积为，则与的关系式是 ． 10．某市出租车的收费标准是起步价10元行程小于或等于3千米，超过3千米每增加1千米不足1千米按1千米计算加收2元，则出租车费元与行程千米之间的关系式为 ． 11．函数的自变量的取值范围是 ． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图①，在长方形中，动点E从点B出发，沿的方向运动至点C停止．设点E的运动路程为m，三角形的面积为S，若S与m的关系如图②所示，则a的值为 ．    13．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小敏离家的路程（米）和所经过的时间（分）之间的函数图象如图所示．下列结论：①小敏在超市逗留了30分钟；②小敏家距离超市3000米；③小敏去超市途中的速度是300米/分钟；④小敏8点50分返回到家．以上结论中正确的是 （填序号）． 三、解答题 14．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．    (1)观察图形，填写下表： 链条节数（节 2 3 4 链条长度 (2)请你写出y与x之间的关系式； (3)如果一辆自行车上安装的链条共有60节，那么链条的总长度是多少？ 15．如图是一辆自行车在内的速度随时间变化的图象，请你根据图象信息填空：      (1)自行车在中途休息的时间为________； (2)自行车第二次减速行驶的时间段为 ________； (3)求自行车在第期间行驶的距离． 16．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人）与每月利润（利润=收入费用-支出费用）（元）的变化关系如下表表示（每位乘客的公交票价是固定不变的）： 乘车人数（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 —— 每月利润（元） 0 1000 2000 —— (1)在这个变化过程中，______________是自变量，______________是因变量； (2)观察表格中数据可知，每月乘客量达到______________人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请写出y与x之间的关系式，并计算当每月乘车人数为3500时，每月利润为多少元？ (4)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达______________人． 17．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）张师傅驾车运送货物到某地出售，汽车出发前油箱有油升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量（升）与行驶时间 （小时）之间的关系如图所示． 请根据图象回答下列问题： (1)汽车行驶 小时后加油，中途加油 升； (2)已知加油前、后汽车都以千米小时匀速行驶，如果加油站距目的地 千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用? 请说明理由． 1．如图1，，点P以每秒1cm的速度从B点出发，沿B－C－D路线运动，到D停止．如图2，反映的是的面积与点P运动时间x（秒）两个变量之间的关系．则m的值为（   ） A．20 B．24 C．10 D．12 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末），两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是 ②乙出发后追上甲；③甲比乙晚到； ④甲车行驶或，甲，乙两车相距； 其中正确的是（     ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）随着“双减”政策落地，周末家庭野外郊游将成为我们的生活常态．诚诚骑自行车从家里出发30分钟后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．诚诚离家1小时30分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，下图是他们离家的路程与诚诚离家时间的函数图象，已知妈妈驾车的速度是诚诚骑车速度的3倍，根据图中的信息：    (1)诚诚从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ (2)若妈妈比诚诚还早10分钟到达乙地，从家到乙地的路程是多少？ （23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$