专题01有理数的十种运算技巧-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（湘教版2024）

专题01有理数的十种运算技巧 题型01归类法 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算 【例1-2】（23-24七年级上·江苏·周测）计算： 【例1-3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）计算：． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）提升计算 【变式1-2】（2023七年级上·全国·专题练习）计算．； 【变式1-3】6．（2023七年级上·全国·专题练习）； 题型02凑整法 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）计算： 【例2-2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算：． 【例2-3】（2023七年级上·全国·专题练习）计算下列各式的值． (1)； (2)； 【变式演练】 【变式2-1】（2023七年级上·全国·专题练习）计算：； 【变式2-2】（2022七年级上·浙江·专题练习）计算：5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） 【变式2-3】（2022七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 题型03对消法 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算 【例3-2】（23-24六年级上·山东淄博·阶段练习）计算； 【例3-3】（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·吉林白城·阶段练习）计算． 【变式3-2】（22-23七年级上·云南红河·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式3-3】（23-24六年级上·山东淄博·阶段练习）计算2)； 题型04组合法 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上海闵行·期中）计算： 【例4-2】（23-24七年级上·江西赣州·阶段练习）计算： (1) (2) 【例4-3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）用简便方法计算：． 【变式4-2】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）求下列各式的值． 【变式4-3】（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）计算： (1) (2) 题型05分解法 【典例分析】 【例5-1】（21-22七年级上·广东广州）能简算的要简算：． 【例5-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法计算： 【例5-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） 【变式5-2】（22-23七年级上·湖南邵阳·期中）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式＝ ＝ ＝． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【变式5-3】（21-22七年级·江苏·假期作业）阅读理解下题的计算方法，并解决问题： 计算：． 解：原式 上面的方法叫做拆项法，按此方法计算：． 题型06变序法 【典例分析】 【例6-1】（23-24七年级·上海黄浦·期中）计算：． 【例6-2】（23-24七年级上·河北承德·期中）计算： (1)； (2)． 【例6-3】（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算：． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）计算：． 【变式6-2】（23-24七年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) 【变式6-3】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1) (2) 题型07逆用法 【典例分析】 【例7-1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算并写出必要的计算过程．； 【例7-2】（23-24七年级上·天津滨海新·期中）简便计算 【例7-3】（23-24七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算：． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）用运算律进行简便运算 ； 【变式7-2】．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）请用简便方法计算： 【变式7-3】（23-24七年级上·北京大兴·期中）计算：． 题型08观察法 【典例分析】 【例8-1】（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算 ． 【例8-2】（20-21七年级·广东梅州·期末）计算： 【例8-3】（20-21六年级下·上海青浦·期末）计算：． 【变式演练】 【变式8-1】（23-24七年级上·广东广州·期末）计算：（﹣2）2+|﹣10|﹣（﹣1）2020． 【变式8-2】（七年级上·安徽合肥·期末）计算：（﹣1）5+2×（﹣4）﹣（﹣2）2÷4． 【变式8-3】（七年级上·辽宁辽阳·期末）计算： （1） （2） 题型09倒序相加法 【典例分析】 【例9-1】（七年级上·河北保定·期末）计算：1+2+3+…+101； 【例9-2】（20-21七年级上·山东菏泽·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从到这个正整数的和"，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ①②，得 ． ，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想　　　　（用含的代数式表示）； 【例9-3】（七年级上·河北保定·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设S＝1+2+3+…+100  ① 则S＝100+99+98+…+1   ② ①+②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）， ＝， ＝100×101， 所以，S＝③， 所以，1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．请你利用“倒序相加法”解答下面的问题． （1）计算：1+2+3+…+101； （2）请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式，猜想：1+2+3+…+n＝　 　； （3）至少用两种方法计算：1001+1002+…+2000． 方法1： 方法2： 【变式演练】 【变式9-1】（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）计算： 【变式9-2】（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则．② ①②，得． （①②两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和） 所以，．③ 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” 请你运用上述方法计算：一条沿途有n个站点的高铁线上，单向行驶的“和谐号”列车，需要印多少种车票 ． 【变式9-3】（22-23七年级上·广西南宁·期中）【材料阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设，① 则．② ①＋②，得（即左右两边分别相加）： ． 所以，． 所以，． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：_________； (2)猜想：__________并利用“倒序相加法”说明理由． (3)利用（2）中的结论，计开：． 题型10倒数法 【典例分析】 【例10-1】（23-24七年级上·陕西渭南·阶段练习）用简便方法计算：． 【例10-2】（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算：． 【例10-3】（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 【变式演练】 【变式10-1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算：； 【变式10-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【变式10-3】．计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数的十种运算技巧 题型01归类法 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算 【答案】 【分析】此题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键．运用加法交换律与结合律计算即可； 【详解】解：原式 ； 【例1-2】（23-24七年级上·江苏·周测）计算： 【答案】2 【分析】根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键 【例1-3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】利用加法交换律和结合律进行加法运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）提升计算 【答案】 【分析】根据有理数加法运算法则进行计算即可； 【详解】解： ； 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算律，进行简单计算． 【变式1-2】（2023七年级上·全国·专题练习）计算．； 【答案】0 【分析】利用加法交换律和结合律计算即可； 【详解】解： ； 【点睛】本题考查有理数的加法运算律，掌握有理数加法交换律和结合律的运用是解题的关键 【变式1-3】6．（2023七年级上·全国·专题练习）； 【答案】（4）【分析】把正数和负数分别相加，然后再把计算的结果相加即可； 【详解】 解：原式 ； 题型02凑整法 【典例分析】 【例2-1】（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）计算： 【答案】1 【分析】首先利用有理数加法运算律将原式转变为，然后根据有理数加法法则求解即可； 【详解】解：原式； 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算以及加法运算律，熟练掌握有理数加法法则是解题关键 【例2-2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算：． 【答案】3 【分析】根据有理数加法运算法则，结合加法运算律进行简便计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法的交换律和结合律． 【例2-3】（2023七年级上·全国·专题练习）计算下列各式的值． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法运算法则进行计算即可； 【详解】）解：（1） ； （2）解： ； 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． 【变式演练】 【变式2-1】（2023七年级上·全国·专题练习）计算：； 【答案】0 【分析】根据有理数加法的简便计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了有理数的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键 【变式2-2】（2022七年级上·浙江·专题练习）计算：5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） 【答案】1 【分析】运用加法的交换律和结合律，同分母的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可． 【详解】5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） ＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）] ＝10+（﹣9） ＝1， 【点睛】本题考查了有理数加法法则和加法的运算律，熟练运用有理数的加法法则是解题的关键 【变式2-3】（2022七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)-10 (2)-10 【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可； （2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号 题型03对消法 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算 【答案】 【分析】根据有理数加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键，运用交换律和结合律可简化计算 【例3-2】（23-24六年级上·山东淄博·阶段练习）计算； 【分析】先把互为相反数结合，再相加； 【详解】（1） ； 【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握加法运算律是解题的关键 【例3-3】（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)3 【分析】（1）利用加法交换律与加法结合律，把互为相反数的两数相加，另两数相加； （2）利用加法交换律与加法结合律，把小数部分相同的两数相加，互为相反数的两数相加． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题主要考查加法运算，加法交换律，加法结合律，根据加数的特点，选择互为相反数的两数相加，小数部分相等的两数相加等可以简便运算 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·吉林白城·阶段练习）计算． 【答案】 【分析】根据有理数加法法则进行计算即可得． 【详解】解：原式= =． 【点睛】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握有理数加法法则 【变式3-2】（22-23七年级上·云南红河·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可以把分数化成小数，利用加法运算律进行简便运算； （1）可以先去括号，再利用加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 【变式3-3】（23-24六年级上·山东淄博·阶段练习）计算2)； 【答案】 【分析】先把同分母的结合，再相加； 【详解】 ； 【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握加法运算律是解题的关键 题型04组合法 【典例分析】 【例4-1】（23-24七年级上海闵行·期中）计算： 【答案】0 【分析】题目主要考查有理数的加减运算及去括号法则，先去括号，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键 【详解】解： = 0 【例4-2】（23-24七年级上·江西赣州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法； （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例4-3】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可 【详解】解： 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，熟记加法运算的运算法则与加法运算律是解本题的关键 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】根据有理数加法的运算律求解即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，熟知有理数的加法运算律是解题的关键 【变式4-2】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）求下列各式的值． 【答案】 【分析】先把0.5化为分数，再把分母相同的相加． 【详解】原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减，掌握有理数的加减法法则、加法的运算律和绝对值的意义是解决本题的关键 【变式4-3】（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加法交换律将负数移到一起 ，然后利用有理数加法法则计算即可； （2）先用加法交换律将分母相同的分数移到一起，再用加法结合律将同分母分数相加，最后再将所得的结果相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查有有理数的加法运算，能够用加法交换律，和加法结合律，进行简便运算是解决本题的关键 题型05分解法 【典例分析】 【例5-1】（21-22七年级上·广东广州）能简算的要简算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算：通过观察可知分子分母的差为1，先写成1加减分数单位，整数分组计算，分数简算时，根据裂项公式先拆分，再简算． 【详解】）解：原式 【例5-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，将带分数拆分，再利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键． 【详解】解：原式， ， ， ． 【例5-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法；对原式进行变形，裂项相消计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5-2】（22-23七年级上·湖南邵阳·期中）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式＝ ＝ ＝． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】． 【分析】根据例题将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键 【变式5-3】（21-22七年级·江苏·假期作业）阅读理解下题的计算方法，并解决问题： 计算：． 解：原式 上面的方法叫做拆项法，按此方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式＝[（﹣2018）+（﹣2017）+4036]+[（-）+（-）++（-）] ＝1+（-） =-． 【点睛】本题考查有理数加法运算，理解阅材料内容中的做拆项法，能运用拆项法解决问题是解题的关键． 题型06变序法 【典例分析】 【例6-1】（23-24七年级·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减，先去括号，然后根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】解：原式 【例6-2】（23-24七年级上·河北承德·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）把原式变成省略加号和括号的加法，进行计算即可； （2）利用乘法对加法的分配律进行计算即可． 【详解】（1） （2） 【例6-3】（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】原式 【变式演练】 【变式6-1】（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，按照加法交换律和结合律计算；注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算． 【详解】解： 【变式6-2】（23-24七年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的相关运算定律． （1）运用加法的交换律和结合律进行计算即可得解； （2）运用有理数的乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式6-3】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算律和运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律，同分母的相结合，能凑整的相结合，再进行计算； （2）运用乘法分配律进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； 题型07逆用法 【典例分析】 【例7-1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算并写出必要的计算过程．； 【答案】 【分析】本题考查的是乘法运算，分数的混合运算，掌握运算顺序以及简便运算方法是解本题的关键；利用乘法分配律的逆用进行简便运算即可； 【详解】 ； 【例7-2】（23-24七年级上·天津滨海新·期中）简便计算 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 【例7-3】（23-24七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了用乘法运算律进行有理数运算，利用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】解： ． 【变式演练】 【变式7-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）用运算律进行简便运算 ； 【答案】 【分析】利用乘法分配律进行计算即可得到答案； 【详解】解： ； 【变式7-2】．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）请用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法．逆用乘法分配律，可得答案． 【详解】解： 【变式7-3】（23-24七年级上·北京大兴·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，原式逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型08观察法 【典例分析】 【例8-1】（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题． 【详解】 ． 【例8-2】（20-21七年级·广东梅州·期末）计算： 【答案】17 【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】解： ＝﹣1＋1＋9－（﹣8） ＝﹣1＋1＋9＋8 ＝17 【点睛】此题主要考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键 【例8-3】（20-21六年级下·上海青浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方，绝对值的性质进行求解即可； 【详解】解：原式= =． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键 【变式演练】 【变式8-1】（23-24七年级上·广东广州·期末）计算：（﹣2）2+|﹣10|﹣（﹣1）2020． 【答案】13 【分析】原式先计算乘方运算，再计算加减运算即可求出值． 【详解】解：原式＝4+10﹣1 ＝14﹣1 ＝13． 【点睛】本题考查有理数的乘方、有理数的加减法、绝对值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式8-2】（七年级上·安徽合肥·期末）计算：（﹣1）5+2×（﹣4）﹣（﹣2）2÷4． 【答案】-10． 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值. 【详解】原式， . 【点睛】本题综合考查了幂的乘方、负数的加减乘除运算法则. 【变式8-3】（七年级上·辽宁辽阳·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）﹣6；（2）15 【分析】（1）运用有理数加减法法则运算即可. （2）先运用有理数的乘方法则，再利用有理数加减法法则运算即可. 【详解】（1）解：原式= （2）解：原式= 【点睛】本题考查了有理数加减法、有理数的乘方以及绝对值等知识点，熟练运用有理数运算法则是解答本题的关键. 题型09倒序相加法 【典例分析】 【例9-1】（七年级上·河北保定·期末）计算：1+2+3+…+101； 【答案】5151 【分析】原式整理结合后，计算即可得到结果 【详解】设S＝1+2+3+…+101①， 则S＝101+100+…+3+2+1②， ①+②，得 2S＝102+102+102+…+102＝101×102， ∴S＝＝5151， 即1+2+3+…+101＝5151； 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，正确运用倒序相加法是解答本题常用方法 【例9-2】（20-21七年级上·山东菏泽·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从到这个正整数的和"，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ①②，得 ． ，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想　　　　（用含的代数式表示）； 【答案】（1）1275；（2）；（3）15050． 【分析】（1）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式变形后，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】解：（1）设① 则②， ①②，得， 所以， ， 所以； （2）由（1）及题目例题的解析可得： ， 故答案为：； 【点睛】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键 【例9-3】（七年级上·河北保定·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设S＝1+2+3+…+100  ① 则S＝100+99+98+…+1   ② ①+②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）， ＝， ＝100×101， 所以，S＝③， 所以，1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．请你利用“倒序相加法”解答下面的问题． （1）计算：1+2+3+…+101； （2）请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式，猜想：1+2+3+…+n＝　 　； （3）至少用两种方法计算：1001+1002+…+2000． 方法1： 方法2： 【答案】（1）5151；（2），（3）见解析. 【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果； （3）根据题目中的例子可以用两种方法求出所求式子的值 【详解】（1）设S＝1+2+3+…+101①， 则S＝101+100+…+3+2+1②， ①+②，得 2S＝102+102+102+…+102＝101×102， ∴S＝＝5151， 即1+2+3+…+101＝5151； （2）猜想：1+2+3+…+n＝， 故答案为：； （3）方法一：1001+1002+…+2000 ＝（1+2+3+…+2000）﹣（1+2+3+…+1000） ＝﹣ ＝2001000﹣500500 ＝1500500； 方法2：设S＝1001+1002+…+2000， 则S＝2000+1999+…+1001， 两式相加，得 2S＝1000×3001， 则S＝＝1500500， 即1001+1002+…+2000＝1500500． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． 【变式演练】 【变式9-1】（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）计算： 【答案】885 【分析】原式整理结合后，计算即可得到结果． 【详解】解：设， 则， 上下两式相加得， 所以， 即 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，正确运用倒序相加法是解答本题常用方法 【变式9-2】（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则．② ①②，得． （①②两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和） 所以，．③ 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” 请你运用上述方法计算：一条沿途有n个站点的高铁线上，单向行驶的“和谐号”列车，需要印多少种车票 ． 【答案】 【分析】此题考查了规律型：数字的变化类，正确找出数字的变化规律是解题的关键．根据题意，一条沿途有n个站点的高铁线上，则单向行驶的“和谐号”列车需要种车票，根据“倒序相加法”即可求解． 【详解】解：由题意得：需要种车票， 设①， 则②， ①②，得．（①②两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于个n的和）， ， ， 故答案为： 【变式9-3】（22-23七年级上·广西南宁·期中）【材料阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设，① 则．② ①＋②，得（即左右两边分别相加）： ． 所以，． 所以，． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：_________； (2)猜想：__________并利用“倒序相加法”说明理由． (3)利用（2）中的结论，计开：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果； （3）根据（2）中结论即可得到结果． 【详解】（1）解：设① 则② ①+②，． 所以，， 所以，， 故答案为：； （2）解：解：设① 则② ①+②，． 猜想：， 故答案为：； （3）解：． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值 题型10倒数法 【典例分析】 【例10-1】（23-24七年级上·陕西渭南·阶段练习）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 【例10-2】（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算：． 【答案】． 【分析】根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案． 【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）原式的倒数为： ， 所以原式 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 【例10-3】（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下： 观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便， ∴更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数为： ， ． 【变式演练】 【变式10-1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．先将除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【变式10-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵ ， ∴原式． 【变式10-3】．计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 【答案】(1)前后两部分互为倒数 (2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析 (3)另一部分的结果为 (4) 【分析】（1）根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可； （2）把后面部分的除法化为乘法，根据乘法分配律，进行计算，根据分母均为36的公因数，故先算后面部分，较方便； （3）根据第二问的结果，倒数的关系，即可； （4）根据第二问，第三问的结果，进行有理数的加减，即可． （1） 解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴前后两部分互为倒数． （2） 解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算； 计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算； ∴先计算后面部分比较方便 计算如下： ． （3） 解：∵前后两部分互为倒数，后面部分： ∴前面部分：． （4） 解： ． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握倒数的定义，有理数除法的运算法则，乘法分配律等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$