第1章 有理数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（冀教版2024）

第一章有理数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1．有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点3．相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点4．绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点5.倒数 乘积是1的两个数互为倒数． 要点归纳：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 知识点6.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点7.有理数运算法则 （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点归纳：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 知识点8.有理数运算律 （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 考点1：六个概念 概念1：正数和负数 【例题1】（21-22七年级上·江苏南京·阶段练习）一只跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳两个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位以此规律跳下去，当它跳第99次落下时，落点处离O点的距离是（    ）个单位． A．50 B．49 C．99 D．－50 【变式1】（七年级上·湖北黄石·阶段练习）一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·全国·课后作业）观察下面一列数，根据规律写出横线上的数． ，，，， ， ，，第个数是 ． 【变式3】（21-22七年级上·广东东莞·阶段练习）有规律的一列数：2，4，6，8，10，12，…，它的每一项可用2n(n为正整数)来表示．现在解决另外有规律排列的一列数： 1，，3，，5，，7，，…. (1)它的第100个数是多少？ (2)请用n(n为正整数)表示它的第n个数； (3)计算前2 022个数的和． 概念2：有理数 【例题2】（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于零的说法中，正确的是（ ） A．零是正数 B．零是负数 C．零既不是正数，也不是负数 D．零仅表示没有 【变式1】（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有 个． 【变式3】（22-23七年级上·山东济南·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，，． 整数集合：{                                        …} 正分数集合：{                                      …} 负分数集合：{                                      …} 概念3：数轴 【例题3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（    ）      A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级上·广西钦州·期末）有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 【变式3】（23-24七年级上·广东肇庆·期中）(1)如图，写出数轴上点，，，表示的数；    (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：，． 概念4：相反数 【例题4】（23-24七年级上·重庆·期中）的相反数是（    ） A． B． C． D．2023 【变式1】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）若，则 ． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：    (1)如果点，表示的数是互为相反数，那么原点对应的点是________； (2)如果点，表示的数是互为相反数，那么图中数轴上的5个点所对应的有理数为： 点 对应数 概念5：绝对值 【例题5】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，则（   ） A． B． C．0 D．或 【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·四川泸州·期末）若与互为相反数，则 ． 【变式3】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 概念6：倒数 【例题6】（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B．2025 C． D． 【变式2】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 【变式3】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）已知，a和b互为倒数，c和d互为相反数，求的值． 考点2：一种运算——有理数的运算 【例题7】（22-23七年级上·北京西城·期中）高度每增加1千米，气温就下降，现在地面气温是，那么离地面高度为7千米的高空的气温是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【变式2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ． 账号：Tao Li Can Ting 密码 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） (1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2)小虫离开O点最远时是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 考点3：六种运算技巧 技巧1：准确运用运算律 【例题8】（21-22七年级上·河北石家庄·期中）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·河北唐山·期末）夕夕总结了以下结论，不正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）计算： ． 【变式3】（23-24七年级上·河北承德·期中）计算： (1)； (2)． 技巧2：逆用运算律 【例题9】（24-25七年级上·全国·假期作业）能简算的要简算． 【变式1】（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）下面各题怎样简便就怎样算 【变式2】（23-24七年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算 【变式3】（23-24八年级下·全国·课后作业）利用简便方法计算： (1)； (2)． 技巧3：先化为倒数，再用运算律 【例题10】（21-22七年级上·广东湛江·期中）计算：． 【变式1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期中）用简便方法计算： ． 【变式3】（23-24七年级上·湖北十堰·期中）计算： (1)； (2)； 技巧4：借数凑整法 【例题11】（23-24七年级上·浙江宁波）计算 【变式1】（21-22七年级上·河北邯郸·期中）能简算的要简算 【变式2】（21-22七年级上·贵州铜仁·阶段练习）计算．（用简便方法计算） 【变式3】（七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：999×998； 技巧5：巧妙组合法 【例题12】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）计算： 【变式1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）计算： 【变式3】（2023七年级上·全国·专题练习）计算：1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋2013－2014－2015＋2016． 技巧6：裂项相消法 【例题13】（22-23七年级上·广东广州）计算题 【变式1】（23-24七年级上·广西南宁）用简便方法计算． 【变式2】（22-23七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算下列各题 【变式3】（20-21七年级上·广西南宁·期中）观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得： 并完成下列问题： （1）填空： ； （2）填空： ； （3）探究并计算： ． 考点4：三种思想 思想1：数形结合思想 【例题14】（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 【变式1】（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则正确的（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 【变式3】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有三点，其中，，设点所对应的数的和是． (1)若为原点．则点对应的数是__________；点对应的数是__________，__________． (2)若原点在图中数轴上点的右边，且．求． 思想2：转化思想 【例题15】（23-24七年级上·湖南益阳·期末）将统一为加法运算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）下列各式可以写成的形式的是（　　　） A． B． C． D． 【变式2】（21-22七年级上·广东湛江·期中）计算：． 【变式3】（23-24七年级上·四川眉山·期中）计算 (1)； (2)． 思想3：分类讨论思想 【例题16】（21-22七年级上·广东汕头·阶段练习）若数轴上点A表示的数是，则与它相距2个单位的点B表示的数是（    ） A．或 B．5 C．7 D．或3 【变式1】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）在数轴上，与表示数的点的距离是2的点表示的数是（　　） A． B． C． D．或 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段的长度为 ． 【变式3】（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）已知A、B两点在数轴上分别表示的数为m、n． (1)对照数轴填写下表： m 3 2 n 1 0 1 A、B两点的距离 (2)若A、B两点的距离记为d，试问d与m、n有何数量关系？ (3)若已知A、B两点在数轴上分别表示的数为x和，则A、B两点的距离d可表示为d＝ ，若，求x． 一、单选题 1．（2024·四川广元·中考真题）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 2．（2022·湖南邵阳·中考真题）的绝对值是（    ） A． B． C．2022 D． 3．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东东营·中考真题）的绝对值是（   ） A．3 B． C． D． 5．（2023·江苏连云港·中考真题）的相反数是（   ） A．6 B． C． D． 二、填空题 6．（2021·湖南湘潭·中考真题）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戊 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是 年．（用天干地支纪年法表示） 7．（2022·广西·中考真题）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果向东走了5米，记作＋5米，那么向西走5米，可记作 米． 8．（2022·广西柳州·中考真题）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作 ． 9．（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值： ． 三、解答题 10．（2022·广西桂林·中考真题）计算：（﹣2）×0+5． 11．（2023·广西·中考真题）计算：． 12．（河北·中考真题）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p． 13．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 一、单选题 1．（23-24七年级上·海南儋州·期末）自然数2的相反数是（ ） A．1 B． C． D．2 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·四川南充·期中）在下列各数，，，，，，中，是整数的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（23-24七年级上·广东潮州·期中）若两个数之和为正数，则这两个数（　　） A．都是正数 B．只有一个正数 C．至少有一个是正数 D．以上都不对 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．气温上升和零下 B．胜2局和负4局 C．身高增加和体重下降 D．向上和向右 9．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列语句中错误的有（    ）个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（22-23七年级上·浙江温州·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）数轴上有四个点分别表示的是、、、，其中最左边的点表示的是 . 13．（23-24七年级上·重庆铜梁·开学考试）在一幅比例尺为的地图上，量得甲、乙两地相距6厘米．两地实际距离是( )米． 14．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知3与一个数的差为，则这个数为 ． 15．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）某天早晨气温是，中午上升了，则中午的气温为 ． 16．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）将式子写成省略加号的和的形式 ． 17．（2024七年级上·江苏·专题练习） ， ， ， ， ． 18．（23-24七年级上·浙江宁波）当 时，取得最小值为 ． 三、解答题 19．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算下列各题 (1) (2) 20．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）计算： (1) (2) 21．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 22．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)； 23．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，求的值． 24．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题．    (1)如果点，表示的数互为相反数，那么点表示的数是______； (2)如果点，表示的数互为相反数，那么______；哪一个点表示的数的绝对值最小？ 25．（23-24七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图所示，已知A，B两点在数轴上，点A在点B的左侧，点A表示的数为，点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍．    (1)数轴上点B对应的数是______． (2)若点C到点A、点B的距离相等，则点C表示的数为______．点C表示的数与点A表示的数之间的关系是______． (3)若点A与点D之间的距离表示，点A与点B之间的距离表示为，问：在数轴上是否存在点D，使得，若存在，请出点D表示的数是多少？若不存在，请说明理由？ 26．（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章有理数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1．有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点3．相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点4．绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点5.倒数 乘积是1的两个数互为倒数． 要点归纳：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 知识点6.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点7.有理数运算法则 （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点归纳：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 知识点8.有理数运算律 （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 考点1：六个概念 概念1：正数和负数 【例题1】（21-22七年级上·江苏南京·阶段练习）一只跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳两个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位以此规律跳下去，当它跳第99次落下时，落点处离O点的距离是（    ）个单位． A．50 B．49 C．99 D．－50 【答案】A 【分析】设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可． 【详解】解：设向右为正，向左为负．则 ． ∴落点处离点的距离是个单位． 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查正负数在实际生活中的应用以及有理数的加减运算，将实际问题转化成数学问题是解题的关键 【变式1】（七年级上·湖北黄石·阶段练习）一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可． 【详解】解：设向右为正，向左为负．则 1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50． ∴落点处离O点的距离是50个单位． 故答案为:B． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学 【变式2】（22-23七年级上·全国·课后作业）观察下面一列数，根据规律写出横线上的数． ，，，， ， ，，第个数是 ． 【答案】 【分析】通过观察可发现，分子都是1，分母是从1开始的连续自然数，并且第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，然后依次写出即可． 【详解】解：， 第2022个数是， 故答案为：，，． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，注意从分子、分母和正负情况考虑即可，是基础题． 【变式3】（21-22七年级上·广东东莞·阶段练习）有规律的一列数：2，4，6，8，10，12，…，它的每一项可用2n(n为正整数)来表示．现在解决另外有规律排列的一列数： 1，，3，，5，，7，，…. (1)它的第100个数是多少？ (2)请用n(n为正整数)表示它的第n个数； (3)计算前2 022个数的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察这一列数的绝对值是连续的正整数，符号与项数间的关系即可判断；（2）奇数位为正数，偶数位为负数，且第个数的绝对值为，利用规律即可用式子表示；（3）根据相邻两位数的和均为，共有个数即可得出结果． 【详解】（1）这一列数的绝对值是连续的正整数，第100个数的绝对值是100，且偶数项符号为负， 所以它的第100个数是：． （2）观察数列规律，奇数位为正数，偶数位为负数，且第个数的绝对值为， 所以它的第个数是：． （3） ． 【点睛】本题考查数字规律的变化探索、归纳能力．通过一列数进行观察、分析、归纳，找出数字之间的关系，注意确定符号是解本题的关键． 概念2：有理数 【例题2】（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于零的说法中，正确的是（ ） A．零是正数 B．零是负数 C．零既不是正数，也不是负数 D．零仅表示没有 【答案】C 【分析】本题考查了对数的理解与运用，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数． 依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，从而即可根据以上内容判断求解． 【详解】解：A、零不是正数，说法错误； B、零不是负数，说法错误； C、零既不是正数，也不是负数，说法正确； D、零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，说法错误； 故选：C 【变式1】（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 【答案】A 【分析】本意考查有理数的分类，解决本题的关键是熟记概念，注意0的划分范围．按照正负，有理数分为正有理数、0、负有理数；按照整数分数，有理数分为整数、分数；逐一分析选项作答即可． 【详解】解：A．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意； B．正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误，故本选项不符合题意； C．零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本选项不符合题意； D．一个有理数不是整数就是分数，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的概念和分类，根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误，故（1）不符合题意； 没有最小的整数，故（2）不符合题意； 负数中没有最大的数，故（3）符合题意； 自然数包括0，∴自然数一定是正整数错误，故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数，故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数，故（6）不符合题意； 零是整数但不是正数，故（7）符合题意； 整数和分数统称为有理数，故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0，故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个， 故答案为：4 【变式3】（22-23七年级上·山东济南·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，，． 整数集合：{                                        …} 正分数集合：{                                      …} 负分数集合：{                                      …} 【答案】，，，；，，；，，． 【分析】本题考查了有理数的概念及分类，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉整数、正分数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】整数集合：{，，，，…}； 正分数集合：{，，，…}； 负分数集合：{，，，…}； 故答案为：，，，；，，；，， 概念3：数轴 【例题3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，把数轴上的点A先向左移动3个单位，再向右移动7个单位得到点B，若A与B表示的数互为相反数，则点A表示的数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的应用，注意：a的相反数是．设A表示的数是a，根据题意得出方程，求出即可． 【详解】解：设A表示的数是a，根据题意得： ， 解得：， 即A点对应的数是． 故选：C 【变式1】（22-23七年级上·广西钦州·期末）有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，，， 故A，C，D都是错误的，B是正确的， 故选B 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 【答案】26或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离．可分为“当点P运动到点A右侧时”和“当点P运动到点A左侧时”两种情况讨论，根据“点P到点A的距离与点P到点B的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵在点P运动过程中，点P到点A的距离与点P到点B的距离比是， ∴， 当点P运动到点A右侧时，， ∴此时点P表示的数是； 当点P运动到点A左侧时，， ∴此时点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或． 故答案为：26或 【变式3】（23-24七年级上·广东肇庆·期中）(1)如图，写出数轴上点，，，表示的数；    (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：，． 【答案】(1)，，，表示的数分别是：，，，； (2)见解析． 【分析】（）根据数轴可以直接写出点，，、表示的数； （）画出数轴，在数轴上描出题目中两个数在数轴上对应的点； 此题主要考查了数轴，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度． 【详解】（1）由数轴可得，点，，，表示的数分别是：，，，； （2）先画出数轴，表示如下图所示：   概念4：相反数 【例题4】（23-24七年级上·重庆·期中）的相反数是（    ） A． B． C． D．2023 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0”进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：D 【变式1】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的计算，互为相反数的两数之和为零，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，，故A选项不符合题意； B．，，，故B选项不符合题意； C．，，故C选项不符合题意； D．，，，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．直接利用已知数据代入进而得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为： 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：    (1)如果点，表示的数是互为相反数，那么原点对应的点是________； (2)如果点，表示的数是互为相反数，那么图中数轴上的5个点所对应的有理数为： 点 对应数 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】（1）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此可知原点在点，的正中间，据此作答即可； （2）根据（1）的方法找到原点，问题随之得解． 【详解】（1）如果点，表示的数是互为相反数， 那么原点在线段的中点，即为点， 故答案为：C （2）如果点，表示的数是互为相反数， 原点就应该是线段的中点﹐即在点右边一格， 各点表示的数见下表： 点 对应数 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握互为相反数的两个数到原点的距离相等，是解答本题的关键． 概念5：绝对值 【例题5】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，则（   ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，根据，可得，即可求解． 【详解】解：，， ， ． 故本题选：D 【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数和绝对值的定义，掌握有理数减法法则，相反数和绝对值的定义是关键． 根据相反数和绝对值的定义进行判断． 【详解】A．根据绝对值的定义，，选项A错误，故A不符合题意； B．根据相反数的定义，，选项B正确，故B符合题意； C．根据绝对值的定义，，选项C错误，故C不符合题意； D．根据绝对值的定义， ，选项D错误，故D不符合题意． 故选：B 【变式2】（22-23七年级上·四川泸州·期末）若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的概念及绝对值的知识．根据互为相反数的两个数的和为0，可得与的和为0，再根据绝对值和偶次方的非负性即可分别求出，． 【详解】与互为相反数 ， ， ， ． 故答案为： 【变式3】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4 概念6：倒数 【例题6】（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义进行计算即可． 【详解】解： ，的倒数是3， 的倒数是3． 故选：D 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数，相反数及绝对值，掌握以上知识是解题的关键． 先化简绝对值，再计算倒数，即可求解． 【详解】解：，其倒数为， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是相反数的含义，倒数的含义，掌握“相反数与倒数的定义”是解本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，仅仅只有符号不同的两个数互为倒数，根据定义作答即可． 【详解】解：一个数的相反数是，则这个数是，即， ， 的倒数是2， 故答案为：2 【变式3】（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）已知，a和b互为倒数，c和d互为相反数，求的值． 【答案】0或2 【分析】本题考查了倒数、相反数、绝对值的意义，代数式求值，根据倒数的定义可得，根据相反数的定义可得，根据绝对值的定义可得，代入求值即可． 【详解】解：由题意知，，，， 当时， 原式； 当时， 原式； 综上可知，的值为0或2 考点2：一种运算——有理数的运算 【例题7】（22-23七年级上·北京西城·期中）高度每增加1千米，气温就下降，现在地面气温是，那么离地面高度为7千米的高空的气温是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意正确列出算式是解题的关键． 先根据题意列出算式，然后再根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 则离地面高度为7千米的高空的气温是． 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键． 根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答． 【详解】解：2021年基地黄桃产量为， 2022年基地黄桃产量为， 2023年基地黄桃产量为， 因此突破的年份是2023年． 故选B． 【变式2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ． 账号：Tao Li Can Ting 密码 【答案】244872 【分析】本题考查了有理数的混合运算，由前面三个等式发现规律是解题的关键． 根据前面三个等式，寻找规律解决问题即可． 【详解】解： ， ， 由前三个式子得到的规律计算该式得： ， 故答案为 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） (1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2)小虫离开O点最远时是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后回到了出发地O，理由见解析 (2)向右 (3)54粒 【分析】本题考查了利用有理数的加减混合运算解决实际问题，绝对值的概念，熟练计算是解题的关键．题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小．所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小． （1）将所有的路程相加即可得到答案； （2）分别计算前两次路程和、前三次路程和、……、前七次路程和，比较各和的绝对值，绝对值最大的便是所求； （3）将各路程的绝对值相加即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 根据题意，0表示最后小虫又回到了出发点O； 答：小虫最后回到了出发地O． （2）解：； ； ； ； ； ． 因为绝对值最大的是，所以小虫离开O点最远时是向右； （3）解：， 所以小虫爬行的总路程是， 由（粒）． 答：小虫一共可以得到54粒芝麻 考点3：六种运算技巧 技巧1：准确运用运算律 【例题8】（21-22七年级上·河北石家庄·期中）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法及除法运算、有理数的加法及绝对值，根据有理数的乘法及除法运算、有理数的加法及绝对值的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，则正确，故符合题意； B、，则错误，故不符合题意； C、，则错误，故不符合题意； D、，则错误，故不符合题意； 故选A 【变式1】（23-24七年级上·河北唐山·期末）夕夕总结了以下结论，不正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查加法交换律、乘法运算律，关键是根据加法交换律乘法交换律、乘法结合律、 分配律解答． 根据加法交换律、乘法交换律、乘法结合律、分配律判断即可． 【详解】解： A 、 ，说法正确； B 、，说法正确； C 、 ，说法正确； D 、，说法错误； 故选： D 【变式2】（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据有理数加减混合运算顺序、运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序是解决本题的关键 【变式3】（23-24七年级上·河北承德·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）把原式变成省略加号和括号的加法，进行计算即可； （2）利用乘法对加法的分配律进行计算即可． 【详解】（1） （2） 技巧2：逆用运算律 【例题9】（24-25七年级上·全国·假期作业）能简算的要简算． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算：利用乘法的分配律． 【变式1】（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）下面各题怎样简便就怎样算 【答案】48 【分析】本题考查了分数的混合运算，以及有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理原式，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： 【变式2】（23-24七年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算 【答案】0 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律是关键；根据乘法分配律可以解答本题； 【详解】解： ； 【变式3】（23-24八年级下·全国·课后作业）利用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了利用运算律进行有理数的简便运算等知识． （1）逆用分配律进行计算即可求解； （2）逆用分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 技巧3：先化为倒数，再用运算律 【例题10】（21-22七年级上·广东湛江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的除法，乘法分配律是解题的关键． 根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，根据乘法分配律，可得答案． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的除法乘法分配律；根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案． 【详解】原式 ． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期中）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算：先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律即可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】原式 【变式3】（23-24七年级上·湖北十堰·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)18 (2)4 【分析】本题考查有理数的加法，除法法则以及乘法分配律，运用相关的运算法则和公式计算即可． （1）两个负数先加，所得结果与相加即可； （2）先将除法改成乘法，再运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 技巧4：借数凑整法 【例题11】（23-24七年级上·浙江宁波）计算 【答案】 【分析】利用有理数的加法的运算律解答即可； 【详解】解：原式 ； 【变式1】（21-22七年级上·河北邯郸·期中）能简算的要简算 【答案】11110； 【分析】先把分数部分和整数部分分别相加然后得到由此求解即可； 【详解】 ； 【变式2】（21-22七年级上·贵州铜仁·阶段练习）计算．（用简便方法计算） 【答案】 【分析】将带分数转化为整数与真分数的和或差，然后进行计算． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算及其简便运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【变式3】（七年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：999×998； 【答案】（1）-15；（2）997999；（3）-11 【分析】（1）利用乘法的分配律计算即可； （2）把写成()，然后利用分配律计算即可； 【详解】解：999×998 =(1000- )×998 =1000×998- ×998 =998000-1 =997999； 【点睛】本题考查了利用运算律进行有理数的简便运算，熟记分配律法则，认真分析算式是解决此题的关键，注意运用分配律时各项的符号不变. 技巧5：巧妙组合法 【例题12】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】根据加法的结合律计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了绝对值及有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算律是解题关键． 【变式1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算 【答案】 【分析】利用加法运算律，先计算和为的两个数的加法，再计算即可. 【详解】） 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握加减混合运算的运算顺序以及利用运算律进行简便运算是解本题的关键 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】1 【分析】原式除去第一项，以及后二项，两两结合，利用化为相反数两数之和为0计算，即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法的交换律和结合律是解答本题的关键 【变式3】（2023七年级上·全国·专题练习）计算：1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋2013－2014－2015＋2016． 【答案】0 【分析】原式四项四项结合，计算即可得到结果． 【详解】解：1﹣2﹣3＋4＋5﹣6﹣7＋8＋…＋2013﹣2014﹣2015＋2016 ＝（1﹣2﹣3＋4）＋（5﹣6﹣7＋8）＋…＋（2009﹣2010﹣2011＋2012）＋（2013﹣2014﹣2015＋2016） ＝0． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算以及加法结合律，熟练掌握运算法则是解本题的关键 技巧6：裂项相消法 【例题13】（22-23七年级上·广东广州）计算题 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合计算，注意运算律的使用． 原式可改为，再去括号计算即可； 【详解】）解： ； 【变式1】（23-24七年级上·广西南宁）用简便方法计算． 【答案】 【分析】通过观察，每个分数的分母中的两个因数相差2，把每个分数扩大2倍，然后把每个分数拆分为两个分即可． 【详解】）解： 【变式2】（22-23七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算下列各题 【答案】 【分析】将原式转换为，计算即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则以及运算律是解本题的关键 【变式3】（20-21七年级上·广西南宁·期中）观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得： 并完成下列问题： （1）填空： ； （2）填空： ； （3）探究并计算： ． 【答案】（1） （2） （3）． 【分析】（1）观察题中式子发现，前三项是连续的，得出结果后，再和最后一项相加计算得出答案． （2）根据原题中发现的规律运可得， ，进行计算得出答案． （3）提取公因数 “2”，得到和题干中形式相同的算式，运用规律计算求解． 【详解】（1） ． （2）原式 ． （3） ． 【点睛】本题考查规律探索能力和有理数的运算，根据题目信息找规律，运用加减互相抵消的方法是解本题的关键． 考点4：三种思想 思想1：数形结合思想 【例题14】（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，解题的关键是用数形结合的思想去解题． 先计算出点A、B表示的数，再与比较大小，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，数轴上点C表示的数是2，点A，B到点C的距离均为4个单位长度， ∴点A表示的数为，点，B表示的数为， ∵， ∴数轴上表示的点落在点A左侧， 故选：A 【变式1】（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴可得，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， 故选：D 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 【答案】5或11 【分析】本题考查了数轴，根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键．分两种情况：当点A落在B点的左侧时和当点A落在B点的右侧时，可求出点A的对应点所表示的数，再利用中点公式即可求解． 【详解】解：设是点的对应点，由题意可知点是和的中点， 当点在的右侧，， 表示的数为， C表示的数为：；， 当点在的左侧，， 表示的数为， C表示的数为：， 故答案：5或11 【变式3】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有三点，其中，，设点所对应的数的和是． (1)若为原点．则点对应的数是__________；点对应的数是__________，__________． (2)若原点在图中数轴上点的右边，且．求． 【答案】(1)，1， (2) 【分析】本题主要考查了数轴的知识，根据题意确定点所对应的数是解题关键． （1）根据题意，确定点所对应的数，即可获得答案； （2）根据题意，确定点所对应的数，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，，， 若为原点，即点对应的数为0， 则点对应的数为，点对应的数为1， ∴． 故答案为：，1，； （2）解：根据题意，原点在图中数轴上点的右边，且， 则点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴ 思想2：转化思想 【例题15】（23-24七年级上·湖南益阳·期末）将统一为加法运算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了把有理数加减混合运算统一为加法运算，熟练掌握有理数的加减法法则是解题的关键．根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 故选：B 【变式1】（20-21七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）下列各式可以写成的形式的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不符合题意； B、，则此项符合题意； C、，则此项不符合题意； D、，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是解题关键 【变式2】（21-22七年级上·广东湛江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的除法，乘法分配律是解题的关键． 根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，根据乘法分配律，可得答案． 【详解】解：原式 ． 【变式3】（23-24七年级上·四川眉山·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算； （2）先算乘方和和绝对值，再算乘除，后算加减． 【详解】（1） （2） 思想3：分类讨论思想 【例题16】（21-22七年级上·广东汕头·阶段练习）若数轴上点A表示的数是，则与它相距2个单位的点B表示的数是（    ） A．或 B．5 C．7 D．或3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上表示的数，根据表示两个数的两点的位置进行分类讨论，根据距离进行加减是解题关键．根据B点在A点左侧和右侧分类讨论，加2或减2即可． 【详解】解：当B点在A点左侧时，点B表示的数是：； 当B点在A点右侧时，点B表示的数是：； 故选：A． 【变式1】（22-23七年级上·江苏扬州·期中）在数轴上，与表示数的点的距离是2的点表示的数是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，当要求的点在已知点的左侧时，用减法；当要求的点在已知点的右侧时，用加法． 符合条件的点有两个，一个在点的左边，一个在点的右边，且都到点的距离都等于2，得出算式和，求出即可． 【详解】解：数轴上距离表示的点有2个单位的点表示的数是或． 故选：D 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且，则线段的长度为 ． 【答案】4.5或0.5 【分析】本题考查了数轴上的点与其距离的关系，将所给绝对值等式化简，数形结合，画草图分析，是解题的关键． 先由，推得点在点A和点B之间，且C与A，C与B之间的距离均为1，D与A之间的距离为2.5，据此画数轴草图，因不知其点的具体位置，故不标原点及数值，据此可解． 【详解】解：， 点C在点A和点B之间，， ， ， 不妨设点A在点B左侧， 如图，若点D在点A的左侧， 线段的长为； 如图，若点D在点A的右侧， 线段的长为． 故答案为：4.5或0.5 【变式3】（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）已知A、B两点在数轴上分别表示的数为m、n． (1)对照数轴填写下表： m 3 2 n 1 0 1 A、B两点的距离 (2)若A、B两点的距离记为d，试问d与m、n有何数量关系？ (3)若已知A、B两点在数轴上分别表示的数为x和，则A、B两点的距离d可表示为d＝ ，若，求x． 【答案】(1)2，3，4，2，5，0 (2) (3)，或 【分析】本题考查的数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）利用公式进行计算即可； （2）数轴上两点间的距离等于表示两点数之差的绝对值，即 （3)根据（1）得出的结论列出含绝对值的一元一次方程，利用绝对值的代数意义化简即可求出 x 的值． 【详解】（1）解：，，，，，． 故答案为：2，3，4，2，5，0． （2），文字描述为：数轴上两点间的距离 d 等于表示两点数之差的绝对值； （3）数轴上两点间的距离 d 等于表示两点数之差的绝对值，， 根据题意得：， 可得， 解得：或 故答案为： 一、单选题 1．（2024·四川广元·中考真题）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 【详解】根据题意：数轴上所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1． 故选B． 2．（2022·湖南邵阳·中考真题）的绝对值是（    ） A． B． C．2022 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的性质可直接得出答案． 【详解】解：， 故选：C． 3．（2024·山东威海·中考真题）一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋． 【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示． ∴ ∴最接近标准质量的是 故选：C． 4．（2024·山东东营·中考真题）的绝对值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值求法．绝对值是指一个数在数轴上对应的点与原点的距离，正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】， 故选：A． 5．（2023·江苏连云港·中考真题）的相反数是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数， 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是6， 故选：A． 二、填空题 6．（2021·湖南湘潭·中考真题）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戊 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是 年．（用天干地支纪年法表示） 【答案】辛丑 【分析】先用2021的尾数1查出天干，再用2021除以12的余数查出地支即可． 【详解】解：2021年，尾数1为辛，2021除以12余数为5，5为丑，那么2021年就是辛丑年， 故答案为：辛丑． 【点睛】本题是考查了推理，读懂天干地支的算法是解决本题的关键． 7．（2022·广西·中考真题）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果向东走了5米，记作＋5米，那么向西走5米，可记作 米． 【答案】 【分析】根据用正负数表示两种具有相反意义的量，如果向东走了5米，记作＋5米，那么向西走5米，可记作米． 【详解】解：∵向东走了5米，记作＋5米， ∴向西走5米，可记作米， 故答案为：． 【点睛】本题考查用正负数表示两种具有相反意义的量，熟练掌握用正负数表示两种具有相反意义的量是解答本题的关键．相反意义的量：按照指定方向的标准来划分，规定指定方向为正方向的数用正数表示，则向指定方向的相反的方向变化用负数表示，正与负是相对的． 8．（2022·广西柳州·中考真题）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作 ． 【答案】﹣2m 【分析】根据负数的意义，可得水位升高记作“+”，则水位下降记作“-”，水位不升不降时，记作0，据此解答即可． 【详解】解：如果水位升高2m时，水位变化记作+2m， 那么水位下降2m时，水位变化记作-2m， 故答案为：-2m． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义以及应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：水位升高记作“+”，则水位下降记作“-”，水位不升不降时，记作0． 9．（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值： ． 【答案】-10 【分析】根据有理数运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查含乘方的有理数混合运算，掌握乘方的计算法则，有理数混合运算的计算法则是解题的关键． 三、解答题 10．（2022·广西桂林·中考真题）计算：（﹣2）×0+5． 【答案】5 【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】解：（﹣2）×0+5 ＝0+5 ＝5． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 11．（2023·广西·中考真题）计算：． 【答案】6 【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 12．（河北·中考真题）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且，求p． 【答案】（1）-2，1，-1，-4；（2）-88 【分析】（1）根据以为原点，则表示1，表示，进而得到的值；根据以为原点，则表示，表示，进而得到的值； （2）根据原点在图中数轴上点的右边，且，可得表示，表示，表示，据此可得的值． 【详解】解：（1）若以为原点，则点所对应的数为，点所对应的数为1， 此时，， 若以为原点，则点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，； （2）原点在图中数轴上点的右边，且， 则点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为， 此时，． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 13．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解； （2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解． 【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟）， 250-5×10=200（毫升）， 答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升； （2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟）， 160÷4+20=60（分钟）， 答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键 一、单选题 1．（23-24七年级上·海南儋州·期末）自然数2的相反数是（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可． 【详解】解：根据相反数的定义可知，2的相反数是， 故选C． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义，掌握数轴的定义是解题的关键，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【详解】解：A、没有正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； B、负半轴的数据标注错误，不是数轴，故本选项不符合题意； C、单位长度不等，不是数轴，故本选项不符合题意； D、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·四川南充·期中）在下列各数，，，，，，中，是整数的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类．根据整数分为正整数，和负整数，即可求解． 【详解】解：在，，，，，，中，整数有：，，，共有个， 故选：C． 4．（23-24七年级上·广东潮州·期中）若两个数之和为正数，则这两个数（　　） A．都是正数 B．只有一个正数 C．至少有一个是正数 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数加法的计算是解题的关键．若两个数之和为正数，可以是两个正数相加，正数加负数或者正数加0，据此得出结论即可． 【详解】解：∵两个数之和为正数， ∴可以是两个正数相加，或正数加负数或者正数加零， 故选：C． 5．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故不符合题意； B、数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数，故不符合题意； C、数轴上单位长度必须一致，故不符合题意； D、任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点，故符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正、负数的分界点，故①正确； ②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误， ③可以表示特定的意义，如，故④正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误； ⑤0是自然数，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤，共3个， 故选：B． 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可得合格尺寸的范围为，不在尺寸范围内， 故选：D． 8．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．气温上升和零下 B．胜2局和负4局 C．身高增加和体重下降 D．向上和向右 【答案】B 【分析】此题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：A、气温上升和零下不是一对相反意义的量，故此选项不符合题意； B、胜2局和负4局是一对相反意义的量，故此选项符合题意； C、身高增加和体重下降不是一对相反意义的量，故此选项不符合题意； D、向上和向右不是一对相反意义的量，故此选项不符合题意． 故选：B． 9．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 10．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列语句中错误的有（    ）个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答． 本题主要考查正数与负数的定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数是解答本题的关键． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 故本题选：C． 二、填空题 11．（22-23七年级上·浙江温州·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，由正数大于负数可得答案； 【详解】解：， 故答案为： 12．（2024七年级上·全国·专题练习）数轴上有四个点分别表示的是、、、，其中最左边的点表示的是 . 【答案】 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较，熟记数轴上的数右边的总比左边的大是解题的关键．根据数轴上的数右边的总比左边的大，找出最左边的点表示的数即可． 【详解】解：、、、四个数中，， 最左边的点表示的是． 故答案为：． 13．（23-24七年级上·重庆铜梁·开学考试）在一幅比例尺为的地图上，量得甲、乙两地相距6厘米．两地实际距离是( )米． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，明确实际距离、图上距离和比例尺之间的关系是解答本题的关键．根据“实际距离图上距离比例尺”进行解答即可． 【详解】解：（厘米）（米）． 故答案为：1200 14．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知3与一个数的差为，则这个数为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，根据减数等于被减数减去差列式计算即可得解． 【详解】解： ． 故答案为：8． 15．（23-24七年级上·重庆渝北·阶段练习）某天早晨气温是，中午上升了，则中午的气温为 ． 【答案】3 【分析】根据题意算式，计算即可得到结果． 此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 则中午的气温为． 故答案为：． 16．（23-24七年级上·上海浦东新·阶段练习）将式子写成省略加号的和的形式 ． 【答案】 【分析】根据有理数去括号法则直接计算即可得到结果． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 17．（2024七年级上·江苏·专题练习） ， ， ， ， ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的意义“”进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：；0；；；． 18．（23-24七年级上·浙江宁波）当 时，取得最小值为 ． 【答案】1012 1023132 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，再根据绝对值的意义化简求值即可． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，是数轴上表示的点与表示1的点之间的距离； 是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离； …… 是数轴上表示的点与表示2023的点之间的距离； 即在数轴上找出表示的点，使它到表示1、2、3……2023各点的距离之和最小， 当时，取得最小值， 此时 ， 故答案为：1012，1023132． 三、解答题 19．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）从左往右计算，即可求解； （2）理由有理数的乘法运算律计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 20．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算顺序和运算法则，以及加法运算律在有理数范围依旧适用． 21．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)9 (2)－27 (3)34 【分析】本题考查有理数的加减混合运算法则，有理数的乘除混合运算法则，有理数的乘法分配律，含乘方的有理数的混合运算法则，解题的关键是掌握以上运算法则并正确计算． （1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）利用有理数的加减乘除混合运算法则计算即可； （3）利用有理数的加减乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 22．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)； 【答案】(1) (2)6.1 (3) (4) 【分析】（1）运用有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用加法运算律进行计算即可； （3）利用加法运算律进行计算即可； （4）原式选化简绝对值，再进行加减运算即可 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算的法则和运算律是解题的关键． 23．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，求的值． 【答案】，，． 【分析】解：本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于，那么这几个非负数都等于，得到，，，解之即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，． 24．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题．    (1)如果点，表示的数互为相反数，那么点表示的数是______； (2)如果点，表示的数互为相反数，那么______；哪一个点表示的数的绝对值最小？ 【答案】(1) (2)5，C点 【分析】本题考查了相反数的定义和数轴，绝对值的意义， （1）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． 解题的关键是根据题意找出原点的位置． 【详解】（1）∵点A、B表示的数是互为相反数 ∴数轴上原点的位置如图，    故点C表示的数是． （2）∵点B、E表示的数是互为相反数 ∴点C表示的数为0，点D表示的数为， ∴， ∵0的绝对值是0为最小， ∴C点表示的数最小． 25．（23-24七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图所示，已知A，B两点在数轴上，点A在点B的左侧，点A表示的数为，点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍．    (1)数轴上点B对应的数是______． (2)若点C到点A、点B的距离相等，则点C表示的数为______．点C表示的数与点A表示的数之间的关系是______． (3)若点A与点D之间的距离表示，点A与点B之间的距离表示为，问：在数轴上是否存在点D，使得，若存在，请出点D表示的数是多少？若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)3 (2)；互为相反数 (3)存在；或7 【分析】（1）先计算出点A到原点O的距离，再算出点B到原点O的距离，再根据点A在点B的左侧确定点B对应的数． （2）根据两点之间的中点坐标的特点求解即可；根据结果可判断两点之间的关系是互为相反数． （3）先计算出的距离，再计算出AD的距离，最后分点D位于点A的左右两侧分别讨论． 【详解】（1）由题意知，点A表示的数为，则点A到原点O的距离是1，点B到原点O的距离是3，点B可能是或，但由于点A位于点B的左侧，故点B对应的数是3． 故答案为：3． （2）∵点C到点A、点B的距离相等， ∴点C表示的数为：，因点A表示的数为， ∴点C表示的数与点A表示的数之间的关系是互为相反数． 故答案为：；互为相反数． （3）存在，理由如下： ∵的距离为：， ∴， 考虑到点D可能位于点A的左右两侧，分两种情况讨论： 当点D位于点A的左侧时，点D表示的数为：； 当点D位于点A的右侧时，点D表示的数为： 答：存在点D，点D表示的数是或7． 【点睛】本题考查了如何表示数轴的点、点与点之间的距离等知识点，解题的关键是数形结合思想的运用． 26．（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【答案】(1)回收站到号楼的距离 (2)的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间 (3)的最小值是，回收站的位置建在号楼处 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； 理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 表示回收站到号楼的距离； 故答案：回收站到号楼的距离． （2）解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间. （3）解：由题意得 解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， 当时， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼处． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$