4.1一元二次函数同步练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.1　一元二次函数 一、必备知识基础练 1.[探究点一]已知一元二次函数y=x2+2x+5,它的图象可以由函数y=x2的图象经过怎样的变换得到(　　) A.向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度 B.向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度 C.向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度 D.向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度 2.[探究点三]已知函数y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为(　　) A.[2,+∞) B.[0,2] C.[2,4] D.[-∞,4] 3.[探究点二]已知抛物线与x轴交于点(-1,0),(1,0),并且与y轴交于点(0,1),则抛物线的解析式为(　　) A.y=-x2+1 B.y=x2+1 C.y=-x2-1 D.y=x2-1 4.[探究点三]函数y=3+2x-x2(0≤x≤3)的最小值为(　　) A.-1 B.0 C.3 D.4 5.[探究点三、四](多选题)下列关于二次函数y=(x-2)2-1的说法正确的是(　　) A.∀x∈R,y=(x-2)2-1≥1 B.∀a>-1,∃x∈R,y=(x-2)2-1<a C.∀a<-1,∃x∈R,y=(x-2)2-1=a D.∃x1≠x2,(x1-2)2-1=(x2-2)2-1 6.[探究点四]已知m∈Z,一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1,x2,且0<x1<2<x2<4,则m=　　　　　.  7.[探究点一、二]已知抛物线y=ax2+6x-8与直线y=-3x相交于点A(1,m). (1)求抛物线的解析式; (2)指出(1)中的抛物线经过怎样的平移可以得到y=ax2的图象. 二、关键能力提升练 8.[2024湖北武汉高一入学考试](多选题)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴方程为x=-1.给出下面四个选项,正确的是(　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c=0 D.5a<b 9.若函数y=x2-4x-2的定义域为[0,m],值域为[-6,-2],则m的取值范围是(　　) A.(0,2] B.(0,4] C.(2,4) D.[2,4] 10.(多选题)若关于x的一元二次方程(x-2)·(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1<x2,则下列结论正确的有(　　) A.当m=0时,x1=2,x2=3 B.m>- C.当m>0时,2<x1<x2<3 D.当m>0时,x1<2<3<x2 11.一元二次函数y=-x2+x+c的图象经过点(-2,2),求c的值及函数的最大值. 三、学科素养创新练 12.已知一元二次方程x2-(2k-1)x-k+1=0. (1)当实数k为何值时,方程有一根为正、一根为负? (2)当实数k为何值时,方程两根都为正数? (3)当实数k为何值时,方程一根大于1,一根小于1? 参考答案 1.C　y=x2+2x+5=(x+2)2+3,显然C正确. 2.C　∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴当x=2时,y取得最小值,最小值为-1; 当y=3时,有x2-4x+3=3, 解得x1=0,x2=4, ∴当x=0或4时,y=3. 又当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3, ∴2≤m≤4. 3.A　设y=a(x-1)(x+1)(a≠0),代入(0,1),得a(0-1)(0+1)=-a=1, ∴a=-1, ∴y=1-x2. 故选A. 4.B　∵y=3+2x-x2=-(x-1)2+4,∴函数在[0,1]上y随着x的增大而增大,在[1,3]上y随着x的增大而减小.又当x=0时,y=3,当x=3时,y=0,∴y=3+2x-x2(0≤x≤3)的最小值为0. 5.BD　二次函数y=(x-2)2-1的图象开口向上,对称轴方程为x=2,且最小值为-1.对于A,因为y=(x-2)2-1≥-1,所以∀x∈R,y=(x-2)2-1≥1错误,即A错误;对于B,因为二次函数y=(x-2)2-1≥-1,所以∀a>-1,∃x∈R,y=(x-2)2-1<a,故B正确;对于C,因为二次函数y=(x-2)2-1≥-1,所以∀a<-1,∃x∈R,y=(x-2)2-1=a错误,即C错误;对于D,令y=0,即(x-2)2-1=0,得x=3或x=1,所以∃x1≠x2,(x1-2)2-1=(x2-2)2-1,故D正确.故选BD. 6.-4　因为一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1,x2,0<x1<2<x2<4,且其图象开口向上,所以所以即-<m<-因为m∈Z,所以m=-4. 7.解 (1)由题意得,点A(1,m)在直线y=-3x上, ∴m=-3×1=-3. 把x=1,y=-3代入y=ax2+6x-8,得a+6-8=-3,求得a=-1,∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-8. (2)∵y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1, ∴把抛物线y=-x2+6x-8向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度得到y=-x2的图象. 8.AD　由图可知二次函数的图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,故A正确;对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,故B错误;结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故C错误;因为函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a.又b=2a,所以5a<b,故D正确.故选AD. 9.D　由题得,函数y=x2-4x-2=(x-2)2-6的定义域为[0,m],值域为[-6,-2],且函数图象的对称轴为直线x=2.当x=2时,y=-6,当x=0时,y=-2,由二次函数的对称性,可知y=-2对应的另一个x的值为4,则值域为[-6,-2]时,对应x的取值范围为[0,4],故m的取值范围是[2,4].故选D. 10.ABD　当m=0时,(x-2)(x-3)=0,∴x1=2,x2=3,故A正确;方程(x-2)(x-3)=m化为x2-5x+6-m=0, 由方程有两个不等实根得Δ=25-4(6-m)=1+4m>0,∴m>-,故B正确;当m>0时,画出函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m的图象如图,由(x-2)·(x-3)=m得,函数y=(x-2)·(x-3)和函数y=m的交点横坐标分别为x1,x2,由图可知,x1<2<3<x2,故C错误,D正确.故选ABD. 11.解把点(-2,2)代入y=-x2+x+c中,得-+c=2,解得c=, ∴y=-x2+x+=-(x-1)2+5, ∴此函数图象开口向下,当x=1时,函数有最大值5. 12.解设方程的两根为x1,x2. (1)由题意得解得k>1.所以实数k的取值范围为(1,+∞). (2)由题意得解得k<1. 所以实数k的取值范围为,1. (3)设y=x2-(2k-1)x-k+1, 由题意得,当x=1时,y<0, 即12-(2k-1)-k+1=3-3k<0,所以k>1. 所以实数k的取值范围为(1,+∞). 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$