2.6 应用一元二次方程（第1课时 解决几何应用）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

九年级北师大版数学上册 第二章 一元二次方程 2.6 一元二次方程的应用 第一课时 用一元二次方程解决几何应用 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握列一元二次方程解决几何问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点） 2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识解决问题． 情景导入 回顾本章开始时梯子下滑的问题（如右图所示） (1)在这个问题中，梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ (2)如果梯子的长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 我们如何该如何设未知数求解？ 这个问题中存在什么样的等量关系呢？ 例1.如图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35 m. (1)若所围的面积为150 m2，试求此长方形鸡场的长和宽； (2)若墙长为18 m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？ (3)能围成面积为160 m2的长方形鸡场吗？说说你的理由． A B C D 方法指导：(1)若设BC＝x m，则AB的长为 m，若设AB＝x m，则BC＝(35－2x) m，再利用题设中的等量关系，可求出(1)的解； (2)墙长为18 m，意味着BC边的长应小于或等于18 m，从而对(1)的结论进行甄别即可； (3)可借助(1)的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得结论． 1.用一元二次方程求解面积问题 新知探究 解：(1)设BC＝x m，则AB＝CD＝ m. 依题意可列方程为x· ＝150， 整理，得x2－35x＋300＝0. 解这个方程，得x1＝20，x2＝15. 当BC＝20 m时，AB＝CD＝7.5 m， 当BC＝15 m时，AB＝CD＝10 m. 即这个长方形鸡场的长与宽分别为20 m，7.5 m或15 m，10 m； A B C D 典例剖析 (2)当墙长为18 m时，显然BC＝20 m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15 m，10 m； A B C D 典例剖析 (3)不能围成面积为160 m2的长方形鸡场．理由如下： 设BC＝x m，则AB＝ m． 依题意可列方程为x· ＝160， 整理，得x2－35x＋320＝0. 此时Δ＝352－4×1×320＝1225－1280＜0， 原方程没有实数根， 从而知用35 m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160 m2的鸡场． A B C D 典例剖析 1.在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)(如图1)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？ 图(1) 解：设道路宽为x米， 如图(2)利用平移知识可列方程为 (32－2x)(20－x)＝570， 化简得x2－36x＋35＝0， 解这个方程得x1＝1，x2＝35＞32(不合题意，舍去)， ∴道路宽应为1米． 图(2) 练一练 2．一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm， 那么这个直角三角形的面积是多少？ 解：设较短直角边长为 x cm，由题意，得： x2＋(x＋1)2＝72，化简得：x2＋x－24＝0. 解这个方程得： ∴较长直角边长为 ∴直角三角形面积＝ 练一练 D 3.如图，在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96 m2 ，求这个矩形地面的长. 解：设这个矩形地面的长是x m， 则依题意得x(20－x)＝96. 解得x1＝12，x2＝8(舍去)． 答：这个矩形地面的长是12 m. 练一练 例2：如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n mile 处有一目标B,在B的正东方向200n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. 2.利用一元二次方程求解行程问题 新知探究 A B D C E F 北 东 200 200 45° (1)小岛D与小岛F相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 （1）要求 DE 的长，需要如何设未知数？ （2）怎样建立含 DE 未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ （3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ （4）选定Rt△DEF 后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF 分别是多少？ 思路分析 (1)小岛D与小岛F相距多少海里? 解：连接DF.∵AD=CD , BF=CF, ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，且DF= AB， ∵AB⊥BC, AB = BC =200n mile, ∴DF⊥BC, DF =100n mile. 结论验证 A B D C E F 北 东 200 ? 200 45° 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？ 解: 设相遇是补给船航行了x n mile,那么 DE = x n mile , AE + BE = 2x n mile, EF=AB +BF-(AB + BE) =(300 - 2x)n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 整理得： 3x2 - 1200x + 100000 = 0 , 解方程得 (舍去) A B D C E F 北 东 200 ? 200 45° 结论验证 总结归纳 在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，但一般情况下只有一个根符合实际问题的要求，所以解方程后一定要检验看哪个根是符合实际问题的解. 4． 如图，AB⊥OC于点O，AO＝BO＝50 cm，OC是射线，蚂蚁甲以2 cm/s的速度从点A爬向点B，蚂蚁乙以3 cm/s的速度从点O沿射线OC爬行，那么经过____________s， 两只蚂蚁和点O围成的三角形的面积为450 cm2. 15或10或30 练一练 17 【点拨】 5． 如图，海关缉私人员驾艇在C处发现在正北方向30 km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行．缉私艇随即以75 km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行________h. 19 【点拨】 6.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm, BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？ A B C D Q P 解:设所需时间为 t s,根据题意,得 2t (6 - t) ÷2 = 6×12 - 64. 整理得 t2 - 6t + 8 = 0. 解方程,得 t1 = 2 , t2 = 4 . 答:在第2秒和第4秒是五边形面积是 64cm2. (6 - t) 2t 练一练 课本练习 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.“ 大意是说：已知甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向被偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲乙各走了多远？走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？ 解：设所行时间为 t，则有 (3t)2 +102 = (7t-10)2， 解得 t1 = 0（舍去），t2 = . ∴甲走了 ×7 = （步），乙走了 ×3 = （步）. 有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 1. 解：设赛义德得到的钱数为x，则少的一笔钱为20-x. 根据题意，得x(20-x)=96，即x²-20x+96=0. 解得x1=12，x2=8 （不合题意，舍去）. 答：赛义德得到的钱数为12. 习题2.9 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1 m/s.经过几秒△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ 2. 解：设经过x s△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 根据题意，得 (8-x)(6-x)= × ×8×6. 整理，得x²-14x+24=0. 解得x1=12（不合题意，舍去），x2=2. 答：经过2 s△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为0.78 m2，上口比渠底宽0.6 m，渠深比渠底少0.4 m，求渠深. 3. 解：设渠深x m，则渠底宽(x+0.4) m，上口宽(x+1) m. 根据题意，得 x[(x+0.4)+(x+1)]=0.78. 整理，得x²+0.7x-0.78=0. 解得x1=0.6，x2=-1.3（不合题意，舍去）. 答：渠深0.6 m. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30 cm，BC=25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s；几秒后P，Q两点相距25 cm？ 4. 解：设经过t s后P,Q两点相距25 cm,则 PC=2t cm,BQ=t cm,CQ=(25-t) cm. 在Rt△PCQ中,∠C=90°,由勾股定理， 得PQ²=PC²+CQ²,即25²=(2t)²+(25-t)². 整理，得t2-10t=0. 解得t1=0（不合题意，舍去），t2=10. ∴经过10 s后P,Q两点相距25 cm. B 分层练习-基础 C 分层练习-基础 B 分层练习-基础 12 分层练习-基础 分层练习-基础 D A 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 (20＋2x)(30＋2x)＝30×20×2 分层练习-巩固 4 13cm 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 2cm2 10cm2 2cm2 分层练习-拓展 课堂小结 x1＝，x2＝(不合题意，舍去)， x＋1＝＋1＝， ××＝12(cm2)． 设经过x s，两只蚂蚁和点O围成的三角形的面积为450 cm2.①当0≤x≤25时，蚂蚁甲在线段AO上爬行，则由题意，得(50－2x)·3x＝450.整理，得x2－25x＋150＝0，解得x1＝15，x2＝10；②当25<x≤50时，蚂蚁甲在线段OB上爬行，则由题意，得(2x－50)·3x＝450.整理，得x2－25x－150＝0，解得x1＝30，x2＝－5(不合题意，舍去)．综上所述，经过15 s或10 s或30 s，两只蚂蚁和点O围成的三角形的面积为450 cm2. 设缉私艇从C处到B处需航行x h， 则AB＝60x km，BC＝75x km. 根据题意，得(60x)2＋302＝(75x)2. 解得x1＝，x2＝－(不合题意，舍去)． 故缉私艇从C处到B处需航行 h. 知识点：利用一元二次方程解决几何平移、折叠、动点问题 1．直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm，它的面积为24cm2，则较长的直角边为( ) A．6cm　　　　 B．8cm　　　　 C．10cm　　　　 D．12cm 2．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为( ) A．5米 B．3米 C．2米 D．2米或5米 3．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′.若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于( ) A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 4．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为 . (22－x)(17－x)＝300 5．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m. 6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A、B出发，ts后四边形APQB的面积是△ABC面积的eq \f(2,3)，求t的值． 解：由题意得AP＝2t，BQ＝t，BC＝eq \r(AB2－AC2)＝6，则PC＝AC－AP＝8－2t，CQ＝6－t.∵S四边形APQB＝eq \f(2,3)S△ABC，∴S△PQC＝eq \f(1,3)S△ABC，即：eq \f(1,2)(8－2t)·(6－t)＝eq \f(1,2)×6×8×eq \f(1,3)，解得t1＝2，t2＝8(不符合题意，舍去)，∴t＝2.　 7．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为( ) A．20　　 B．40　　 C．100　　 D．120 8．已知一个直角三角形的两条直角边长的差为3cm，斜边长与最短边长的比为5∶3，这个直角三角形的面积是( ) A．54cm2 B．40cm2 C．28cm2 D．18cm2 9．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，CA＝8cm，动点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→A→B移动，要使△BCP的面积等于△ABC面积的eq \f(1,4)，则点P应从C出发( ) A．1s B．7.75s C．1s或 7.75s D．以上均错 10．新纪元学校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图所示)．若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程为 . 11．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程 ；x的值为 . 12．一个直角三角形的两条直角边的和是17cm，面积是30cm2，则斜边长为　 　. (x＋1)2－12＝24 13．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈．求羊圈的边长AB、BC各为多少米？ 解：设AB的长度为x，则BC的长度为(100－4x)米，根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB、BC分别是20米、20米． 14．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队在绿化了22000平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． (1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？ (2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多少米？ 解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：eq \f(46000－22000,x)－eq \f(46000－22000,1.5x)＝4，解得：x＝2000，经检验，x＝2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米； (2)设人行道的宽度为x米，根据题意得，(20－3x)(8－2x)＝56，解得：x1＝2或x2＝eq \f(26,3)(不合题意，舍去)．答：人行道的宽为2米． 15．有一把直尺的短边为2cm，长边为10cm，还有一张锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边为12cm.如图a，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移(如图b)．设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分的面积为Scm2. (1)当x＝0时(图a)，S＝　 　； (2)当x＝4时，S＝　 　，x＝10时，S＝　 　； (3)是否存在一个位置，使阴影部分的面积S为11cm2？若存在，请求出x的值． 解：(3)作CM⊥AB于M，当0≤x≤4时，阴影图形由三角形变为梯形，阴影部分面积随x的增大而增大，EF与CM重合时S＝10cm2，继续移动直尺，当4＜x＜6时，阴影变为两个梯形组成，面积先变大，再变小，且存在一个位置，使阴影部分面积为11cm2.由此得S＝eq \f(x＋66－x,2)＋eq \f(10－x＋6x－4,2)＝－x2＋10x－14.当S＝11时，－x2＋10x－14＝11，即x2－10x＋25＝0，解得x1＝x2＝5.所以当x等于5cm时，阴影部分的面积为11cm2. $$