2.1 图形的轴对称（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

八年级浙教版数学上册 第二章 特殊三角形 2.1 图形的轴对称 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.通过展示轴对称图形的图片，初步认识轴对称图形. 2.能够识别简单的轴对称图形及其对称轴.（重点） 3.作已知图形关于已知直线对称的图形. 4.理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系，探索轴对称现象的共同特征.（难点） 5.能利用轴对称解决最短路径问题. 情景导入 北京故宫建成于1420年，整个宫殿建筑布局沿中轴线向东西两侧展开，呈现轴对称的结构. 由于轴对称给人以美感，它被广泛应用于建筑设计上. 1.轴对称图形与对称轴 新知探究 小学里我们已经学过，如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 重合 对称轴 轴对称图形 长方形是有两条对称轴的轴对称图形， 正方形是有四条对称轴的轴对称图形， 圆也是轴对称图形，任何过圆心的直线都是它的对称轴 1.下列图形是轴对称图形吗？你是怎样判别的？ 合作学习 对于以上各轴对称图形，你能找出对称轴吗？有哪些方法？ 是 是 是 是 判断方法：找出一条直线，把图形沿这条直线对折，看两侧的图形是否互相重合. 2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC. （1）四边形ABDC是轴对称图形吗？如果你认为是，说出它的对称轴，哪一个点与点B对称？ 是轴对称图形. AD是对称轴，点C与点B对称. A B C D 合作学习 2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC. （2）如图，连结BC，交AD于点E.把四边形 ABDC 沿 AD 对折，BE 与 CE 重合吗？∠AEB 与∠AEC 呢？由此你得到什么结论？ 当沿AD对折时，射线AB与射线AC重合. ∵ AB=AC，∴点B与点C重合，点E与点E重合,即BE与CE重合.此时∠AEC=∠AEB=90°. E A C D B 合作学习 轴对称图形的性质： 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 思考：对称轴AD与连结两个对称点之间的线段BC有什么关系？ E C A D B 对称轴AD垂直平分线段CB 概念：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 例1.请分别画出下列轴对称图形的对称轴 A B 解：作线段AB的垂直平分线m，直线m就是所求的对称轴. 解：作线段CD的垂直平分线n，直线n就是所求的对称轴. m D C n 找对称轴的方法：先找到一对对称点，然后作两对称点连线段的垂直平分线，该垂直平分线即为所求的对称轴. 典例剖析 1. 下面给出的图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴. 不是轴对称图形 无数条 练一练 例2（课本例1） 如图，已知△ABC和直线m.以直线m为对称轴，求作以点A，B，C的对称点A'，B'，C'为顶点的△A'B'C'. 分析：如图，根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”的性质，直线m垂直平分线段AA'，所以只要过点A作直线m的垂线段AP，延长AP至A'，使A'P=AP，则A'便是点A的对称点. 类似地，可以作出点B，C 的对称点 B'，C'. m C A B 2.图形的轴对称及其性质 新知探究 解 如图所示. 1.作AP⊥m，延长 AP 至 A'，使A'P=AP. 2.按上述方法作出点 B 的对称点 B'，点 C 的对称点 C'. 3.依次连结 A'B'，B'C'，C'A'. △A'B'C'就是所求作的三角形. 例2（课本例1) 如图，已知△ABC和直线m.以直线m为对称轴，求作以点A，B，C的对称点A'，B'，C'为顶点的△A'B'C'. B′ P m C A B A′ C′ 把△ABC沿直线m折叠，那么△ABC和△A′B′C′重合. 仔细观察作图，你发现了什么？ △ABC和△A′B′C′关于直线m成轴对称. B′ P m C A B A′ C′ 概念归纳 图形的轴对称与对称轴 一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 成轴对称的两个图形是全等图形. 做一做 1.如图，已知线段AB和直线l.以直线l为对称轴，作与线段AB成轴对称的图形. A B l O A ′ B ′ 2.如图，已知直角三角形ABC. （1）以直角边 AC 所在的直线为对称轴，作出与直角三角形 ABC成轴对称的图形. 做一做 A B C A B C B （2）第（1）题作出的图形和原图形组成一个等腰三角形吗？请说明理由. 做一做 A B l O A ′ B ′ 是等腰三角形，理由如下： ∵AC⊥CD，AC=AC，BC=CD， ∴△ADC≌△ABC ∴AB=AD， ∴△ABD是等腰三角形. 因此所得图形与原图形组成的图形是等腰三角形. 典例剖析 (1) (4) (3) (2) (5) 成轴对称的两个图形一定全等，全等的两图形不一定成轴对称. 例3.下面给出的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？ 如果是，找出它们的对称轴. E E E E 通过找已知点关于定直线的对称点把同侧线段和转化为异侧线段和，利用“两点之间线段最短”实现“折”转“直”即可解决． (1)找点 (2)画点 (3)连线 （确定图形中的一些特殊点）； （画出特殊点关于已知直线的对称点）； （连接对称点）. 作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤 概念归纳 轴对称 轴对称图形 区别 联系 图形 对称点位置 对称轴条数 两个图形之间的对称关系 一个图形自身的对称关系 在两个图形上 在同一个图形上 一条 至少一条 （1）都沿某直线翻折后能够互相重合． （2）它们可以互相转化；如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两个部分，那么两个部分就是关于这条对称轴成轴对称． 概念归纳 例4.△ABC与△DEF关于直线m成轴对称，则点Ａ的对称点是哪个点？ ∠C是多少度？ m 解：在理解轴对称定义的基础上，容易得出△ABC与△DEF重合，所以点A的对称点是点D. ∠C=∠F，∠A=∠D，因为∠D= 65°.所以∠A=65°又因为∠B=40°，再根据三角形内角和为180°得∠C=75°. 典例剖析 3.最短路径问题 新知探究 例5（课本例2） 如图，一骑马少年从A 地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中. 他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线. A 河 B l A l B 分析：如图所示，设P是直线上任意一点，连结AP，BP. 以直线l为对称轴，作与线段AP成轴对称的线段A'P，则AP+BP=A'P+BP. 显然，当点A'，P，B同在一直线上时，A'P+BP最短，即路程最短. A C l B A′ P 解 如图所示，作点A关于直线l的对称点A'， 连结A'B，交直线l于点C，连结AC. 骑马少年沿折线A-C-B的路线行走时路程最短. 下面给出证明： 设P是直线l上任意一点，连结AP，A'P. 由作图知，直线l垂直平分AA'， 则AC=A'C，AP=A'P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. ∴ΑP+BP=A'P+BP≥A'Β， A'B=A'C+BC=AC+BC， 即AP+BP≥AC+BC， 所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短. A C l B P 要求两定点到直线上一动点的距离之和最小，可通过作对称，使两点位于直线异侧，再根据“两点之间，线段最短”作出点的位置. 概念归纳 随堂练 C D (1)(2)(3) (1) (2) (3) 随堂练 随堂练 随堂练 分层练习-基础 知识点一：轴对称图形及其性质 1. [2023·舟山]美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的 是(　 　) A B C D D 魅 力 舟 山 分层练习-基础 2. 如图是由四个四条边都相等的四边形组成的商标图案，在图中用虚线画出的6条直线中，是这个图案的对称轴的直线是(　 　) A. ①②③④⑤⑥ B. ①④ C. ①③⑤ D. ②④⑥ B 3. [2024·宁波月考]如图，直线 MN 是四边形 MANB 的对称 轴，点 P 在 MN 上.则下列结论不一定正确的是(　B　) A. AM ＝ BM B. AP ＝ BN C. ∠ ANM ＝∠ BNM D. ∠ MAP ＝∠ MBP 分层练习-基础 B 4. 如图，已知 AD 所在直线是△ ABC 的对称轴，点 E ， F 是 AD 上的两点，若 AD ＝8， BC ＝6，则图中阴影部分的面 积是 ⁠. 12　 分层练习-基础 知识点二：轴对称及其性质 5. 下面两个图形成轴对称的是 (填序号). ③⑤　 分层练习-基础 6. [2024·杭州月考]如图，若△ ABC 与△A'B'C'关于直线 MN 对称，BB'交 MN 于点 O ，则下列结论中不一定正确的是 (　 　) A. AC ＝ A ' C ' B. BO ＝ B ' O C. AA '⊥ MN D. AB ∥ B ' C ' D 分层练习-基础 知识点三：最短路径问题 7. 如图， OB 是一条河流， OC 是一片菜田，张大伯每天从 家( A 点处)去河边挑水，然后把水挑到菜田，最后回到家 中.请你帮张大伯设计一条路线，使他每天行走的路线最 短.下列四个方案中你认为符合要求的是(　 　) D A B C D 分层练习-基础 8. 如图，在锐角三角形 ABC 中，∠ ACB ＝50°，边 AB 上 有一定点 P ， M 和 N 分别是 AC 和 BC 边上的动点，当 △ PMN 的周长最小时，∠ MPN 的度数是 ⁠. 80°　 分层练习-基础 9. （易错）下列说法中，正确的个数是(　 　) ①角的对称轴是这个角的平分线；②圆的对称轴是直径； ③正方形的对角线是它的对称轴；④线段的垂直平分线是 它的对称轴. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 易忽视对称轴是直线而出错 分层练习-巩固 10. 如图，在2×4 的网格图中，△ ABC 的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在该网格图中与△ ABC 成轴对称的格点三角形一共有(　 　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C ∴在该网格图中与△ ABC 成轴对称的格点三角形一共有3个. 【解析】 分层练习-巩固 11. [2023·长春]如图，将正五边形纸片 ABCDE 折叠，使点 B 与点 E 重合，折痕为 AM ，展开后，再将纸片折叠，使 边 AB 落在线段 AM 上，点 B 的对应点为点B'，折痕为 AF ，∠ B ＝∠ BAE ＝108°，则∠AFB'＝ ⁠. 45°　 12. [情境题 生活应用]如图是一个经过改造的台球桌面的示 意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如 果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反 射)，那么该球最后将落入的球袋号码是 ⁠. 2　 (第12题) 13. [新视角 过程探究题]如图①， AB 与A'B'关于直线 l 对 称，连结AA'，BB'，分别交直线 l 于点 M ， N ，根据 “成轴对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴垂直 平分”可知， l ⊥AA'， l ⊥BB'， AM ＝A'M， BN ＝B'N，进而得到AA'∥BB'. (1)【探索思考】在图①中连结AB'，BA'， 交于点 O ，作出图形，并说说你的发现. 分层练习-拓展 【解】如图①.发现：点 O 在对称轴 l 上. 分层练习-拓展 (2)【简单运用】如图②，两个“心”形图形关于直线 m 成轴 对称.请运用你的发现，只用无刻度的直尺作出直线 m ， 并说明作图过程. 【解】如图②，连结 AD ， BC 交于点O'，过点 O ，O' 作直线 m ，则直线 m 即为所求. (3)【拓展应用】我们知道，三边相等的三角形叫做等边三角 形.如图③，三角形 ABC 是一张以 BC 为底边的等腰三角 形纸片， AC ＞ BC . 请应用你的方法，通过折叠得到等边 三角形 BCD ，并简述折叠的过程. 分层练习-拓展 【解】如图③，△ BCD 即为所求.步骤：将△ ABC 沿过点 A 的直线对折，得到折痕 AM ，展开，再将△ ABC 沿过点 B 的直线折叠，使得点 C 落在 AM 上，设此时点 C 的对应点为 D ，连结 BD ， DC ，则△ BCD 即为所求. 课堂反馈 1 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能 够 ，那么这个图形叫做  ，这条 直线叫做 . 2 对称轴  连结两个对称点的线段. 互相重合 轴对称图形 对称轴 垂直平分 3 由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直 线折叠后能够 ，这样的图形改变叫做图形 的 ，这条直线叫做 . 4 成轴对称的两个图形是 . 互相重合 轴对称 对称轴 全等图形 知识点：轴对称与轴对称图形的概念 C D 课堂反馈 课堂小结 轴对称 轴对称 轴对称图形 定义 性质 定义 性质 轴对称与 轴对称图形 联系 区别 线段的垂直平分线 作已知图形关于已知直线对称的图形 1．下列交通指示标识中，不是轴对称图形的是(　　) 2．下列图案中，有且只有三条对称轴的是(　　) 3．如图的图形中， 可以看成轴对称图形，其中只有1条对称轴的是 ，有3条对称轴的是 ，有2条对称轴的是 (只要求写图形序号)． 4．如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (1)一变：如图②、③所示的图案是否为轴对称图形？若是，分别有几条对称轴？ (2)二变：请你推断，按此规律进行下去，第n个图案是否为轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 解：是，6条；(1)是，2条，2条；　(2)是，2条． 5．小丽同学在学习了轴对称后，忽然想起了过去做过的一道题：有一组数排列成方阵，如图，试计算方阵中所有数的和．小丽想，方阵就像正方形，正方形是轴对称图形，能不能利用轴对称的思想解决方阵中的计算呢？小丽试了试，竟得到了非常巧妙的方法！你也来试一试吧． 解：把对角线所在直线为对称轴，将所有对称处的数相加，它们的和为10，故可得所有数的和为125. 1．下面几何图形中，一定是轴对称图形的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是(　　) $$