2.4.2线段的垂直平分线（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

2.4.2线段的垂直平分线 题型一 尺规作图“过一点作直线的垂线”的直接应用 1．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 2．如图，点A在直线l外，点B在直线l上，连接，用尺规在直线l上作点C，使，保留作图痕迹，并简单说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图−线段垂直平分线，以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D，再分别以点B、D为圆心，为半径作弧，两弧分别相交于点A、E，连接交直线l于点C，即可求解． 【详解】解：如图，点C即为所求，理由如下： 以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D，再分别以点B、D为圆心，为半径作弧，两弧分别相交于点A、E，连接交直线l于点C， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即． 3．如图，在中，请用尺规作图法，作边上的高．（保留痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据三角形的高的定义以及垂线的作图方法画图即可． 【详解】解：如图，即为所求．  题型二 尺规作图“过一点作直线的垂线”的综合应用 1．如图，在四边形中，，且与之间的距离为3，请用尺规作图法在上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】画图见解析 【分析】本题考查的是作已知直线的垂线，先过作于，则． 【详解】解：如图，即为所求； 过作于， ∵，且与之间的距离为3， ∴． 2．作图题：请尺规作图，不写做法，保留作图痕迹．已知，在边上求作一点P，使最短． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了基本作图−作垂线，过点A作的垂线段即可，熟练掌握五种基本作图是解决此题的关键． 【详解】如图，过点A作的垂线段，由垂线段最短知，此时最短， ∴点即为所求． 3．已知：射线，垂足为点O，点C是射线上一点． 求作：直线，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 结论： 【答案】见解析 【分析】过C点作的垂线即可．此时，则∵，即．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质． 【详解】解：如图，为所作． 3．如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点作于点即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 题型三 “将军饮马数学模型”的应用 1．作图题：（不写画法，保留作图痕迹） 如图，在小河的同旁有甲、乙两个村庄，现计划在河岸上建一个水泵站，向甲、乙两村供水，用以解决村民用水问题．    (1)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的距离相等，请你在图①中，确定水泵站M在河岸上建造的位置． (2)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的供水管道使用的建材最省，请你在图②中，确定水泵站M在河岸上建造的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． （1）连接甲、乙两点，作线段的垂直平分线，与的交点即为点M． （2）作甲关于的对称点，连接对称点和另一点，与的交点即为点M． 【详解】（1）如图①，点M即为所求；    （2）如图②，点M即为所求．    2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有__________个； (3)在直线l上找到一点Q，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】本题主要考查轴对称作图、轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出对应点，然后顺次连接即可； （2）利用网格，作线段AB的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置； （3）连接，交直线l于点Q，连接，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图：即为所求．    （2）解：如图：满足到点A，B的距离相等， ∴网格中满足条件的点P有4个． 故答案为：4． （3）解：如图，点Q即为所求． 3．如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，求周长的最小值. A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 【答案】9 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．设交于点，连接，，根据垂直平分线的性质得出，，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接，， 垂直平分， ，， 的周长为： ， 当点与点重合时，的周长最小， ，， 的周长最小值为：， 1．如图，在中，，按照下列要求画图并填空： (1)画出边上的高，垂足为H． (2)点C到直线的距离是线段______的长． (3)用尺规作图画出线段的垂直平分线，交于点D． (4)连接，已知，那么______（用含a的代数式表示）．（不需要写画法和结论） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，画三角形的高，三角形中线的性质，点到直线的距离等等： （1）根据三角形高的画法画图即可； （2）点到直线的距离为该点到该直线的垂线段的长度，据此可得答案； （3）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （4）根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵ ∴点C到直线的距离是线段的长， 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：∵点D是线段垂直平分线与的交点， ∴点D是的中点， ∴， 故答案为：． 2．作图并回答问题：已知，如图，点P在的边上． (1)过点P作边的垂线l； (2)过点P作边的垂线，垂足为D； (3)过点O作的平行线交l于点E，比较，，三条线段的大小，并用“<”连接得___________，得此结论的依据是_____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析，，垂线段最短． 【分析】本题考查尺规作图，直角三角形的性质．掌握基本的尺规作图和直角三角形斜边最长是解题关键． （1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据垂线的作法作图即可； （3）根据运用“同位角相等，两直线平行”，同作相等的角作平行线，再根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解：如图，垂线l即为所作； （2）解：如图，垂线即为所作； （3）解：如图，即为所作． 由作图可知和为直角三角形， ∴，， ∴，得此结论的依据是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 3．已知和线段l，线段h．使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形（写出作法，保留作图痕迹）． (1)求作，使得，周长等于线段l； (2)求作，使得，一边上的高等于线段h，周长等于线段l． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，过已知点作已知直线的垂线等基本作图． （1）作，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求； （2）作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求． 【详解】（1）解：作，在射线上取点，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图： 即为所求； 理由：由作图可知，，， 是的垂直平分线， ， ， ， 的周长等于线段， ， 满足条件； （2）解：作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，如图： 即为所求． 理由：由作图可知，， 到的距离等于， 同（1）可知的周长等于线段，， 满足条件． 1．如图，在中，∠B=90°，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点D作的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点D作的垂线，垂足为点H（只保留作图痕迹）． (2)证明：∵， ∴． ∵ ∴①． 平分， ∴② 在和中， ∴． ∴④ ∵， ， ∴． 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比等于________________． 【答案】(1)见解析 (2)；；；这个内角的两条邻边边长之比 【分析】（1）根据尺规基本作图-经过直线外一点作直线的垂线作法，作图即可； （2）根据，再找一条公共边，证明，得到，进而将面积之比转化为相应边的比．对于任意，是的内角平分线，则过点D作于E，于F，利用证明，得到，进而将面积之比转化为相应边的比，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线为所作垂段； （2）证明：， ． ∵∠B=90°， ∴， 平分， ． 在和中， ， ． ． ，， ． 所以：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 已知：在中，是的内角平分线， 求证：． 证明：过点D作于E，于F，如图， ∵是的角平分线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图-作垂线，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握三角形全等的判定和性质和角平分线的性质是解题的关键． 2．学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段：再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： 已知：线段h，a，b． 求作：，使得，，边上的高．（只保留作图痕迹） 结论： 通过作图，发现的形状和大小______唯一的；（填“是”或“不是”）因此，有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形______全等．（填“一定”或“不一定”） 【答案】作图见解析；是；一定 【分析】本题考查了尺规作图，以及三角形的全等．通过题意画出相对应的线段即可得到正确图形． 【详解】解：如图，△ABC即为所求， 在直线上取H、K两点， 分别以H、K为圆心，以为半径画圆交于O点，连接，则， 在上截取； 这能确定唯一一个点C， 在直线上找点A，作线段， 这能确定唯一一个点A， 再在直线上找点B，作线段 这能确定唯一一个点B， 发现的形状和大小是唯一的 有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形一定全等． 故答案为：是；一定． 1．下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—基本作图，掌握五种基本作图是解题的关键． 【详解】由基本作图可知，选项A、C、D中所作直线均满足题意，只有B选项不确定， 故选B． 2．综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作直角三角形的三种方案：①已知两条直角边长﹔②已知一条直角边和斜边长，③已知一个锐角和斜边长﹔图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（    ） A．①②③ B．②③① C．①③② D．③①② 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，根据相关作图方法进行判断求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，图1对应的是已知两条直角边长；图2对应的是已知一个锐角和斜边长；图3对应的是已知一条直角边和斜边长， 故选：C． 3．如图，在平面内，使用尺规过一点P作直线的垂线，根据作图痕迹判断 （       ） A．点P在点O处 B．点P在点A处 C．点P在点B处 D．无法确定点P的位置 【答案】A 【分析】本题考查了用尺规作直线的垂线，熟练掌握做法和原理是解题的关键．利用尺规作直线的垂线的方法解答即可． 【详解】解：由画图痕迹可得：于点O， 点P在点O处． 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4.2线段的垂直平分线 题型一 尺规作图“过一点作直线的垂线”的直接应用 1．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 2．如图，点A在直线l外，点B在直线l上，连接，用尺规在直线l上作点C，使，保留作图痕迹，并简单说明的理由． 3．如图，在中，请用尺规作图法，作边上的高．（保留痕迹，不写作法）  题型二 尺规作图“过一点作直线的垂线”的综合应用 1．如图，在四边形中，，且与之间的距离为3，请用尺规作图法在上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 2．作图题：请尺规作图，不写做法，保留作图痕迹．已知，在边上求作一点P，使最短． 3．已知：射线，垂足为点O，点C是射线上一点． 求作：直线，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 结论： 3．如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型三 “将军饮马数学模型”的应用 1．作图题：（不写画法，保留作图痕迹） 如图，在小河的同旁有甲、乙两个村庄，现计划在河岸上建一个水泵站，向甲、乙两村供水，用以解决村民用水问题．    (1)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的距离相等，请你在图①中，确定水泵站M在河岸上建造的位置． (2)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的供水管道使用的建材最省，请你在图②中，确定水泵站M在河岸上建造的位置． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有__________个； (3)在直线l上找到一点Q，使的值最小． 3．如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，求周长的最小值. A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 1．如图，在中，，按照下列要求画图并填空： (1)画出边上的高，垂足为H． (2)点C到直线的距离是线段______的长． (3)用尺规作图画出线段的垂直平分线，交于点D． (4)连接，已知，那么______（用含a的代数式表示）．（不需要写画法和结论） 2．作图并回答问题：已知，如图，点P在的边上． (1)过点P作边的垂线l； (2)过点P作边的垂线，垂足为D； (3)过点O作的平行线交l于点E，比较，，三条线段的大小，并用“<”连接得___________，得此结论的依据是_____________． 3．已知和线段l，线段h．使用直尺和圆规作出满足下列条件的三角形（写出作法，保留作图痕迹）． (1)求作，使得，周长等于线段l； (2)求作，使得，一边上的高等于线段h，周长等于线段l． 1．如图，在中，∠B=90°，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点D作的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点D作的垂线，垂足为点H（只保留作图痕迹）． (2)证明：∵， ∴． ∵ ∴①． 平分， ∴② 在和中， ∴． ∴④ ∵， ， ∴． 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比等于________________． 2．学习了三角形全等后，我们知道“两边及第三边上的中线分别相等的两个三角形全等”小李进行了拓展性研究：有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形是否全等呢？ 他的解决思路是：作直线，在直线上任取一点D，过点D作，在上截取；在直线上找点A，作线段：再在直线上找点B，作线段．请根据他的思路用尺规完成以下作图并填空： 已知：线段h，a，b． 求作：，使得，，边上的高．（只保留作图痕迹） 结论： 通过作图，发现的形状和大小______唯一的；（填“是”或“不是”）因此，有两边以及第三边上的高分别相等，这两个三角形______全等．（填“一定”或“不一定”） 1．下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作直角三角形的三种方案：①已知两条直角边长﹔②已知一条直角边和斜边长，③已知一个锐角和斜边长﹔图1、图2、图3分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（    ） A．①②③ B．②③① C．①③② D．③①② 3．如图，在平面内，使用尺规过一点P作直线的垂线，根据作图痕迹判断 （       ） A．点P在点O处 B．点P在点A处 C．点P在点B处 D．无法确定点P的位置 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$