专题3.7 直线与抛物线的位置关系【十大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.7 直线与抛物线的位置关系【十大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 1 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】 3 【题型3 抛物线的弦长问题】 5 【题型4 抛物线的焦点弦问题】 7 【题型5 抛物线中的切线问题】 10 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 12 【题型7 抛物线中的最值与范围问题】 19 【题型8 抛物线中的定点、定值问题】 23 【题型9 抛物线中的定直线问题】 30 【题型10 抛物线中的向量问题】 35 【知识点1 直线与抛物线的位置关系】 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【解题思路】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解答过程】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高二·全国·课后作业）直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【解题思路】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【解答过程】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 【变式1-2】（2024高三·全国·专题练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 【解题思路】分直线斜率存在与斜率不存在，设出方程，结合题意计算即可得. 【解答过程】当直线斜率存在时， 设直线的斜率等于，则当 时，直线的方程为， 满足直线与抛物线仅有一个公共点， 当时，设直线的方程为， 代入抛物线的方程可得：， 有，解得，故切线方程为， 当斜率不存在时，直线方程为，该直线也与抛物线相切， 故满足条件的直线方程有三条. 故选：C． 【变式1-3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】考虑直线斜率存在：，和不存在三种情况，讨论即可得解. 【解答过程】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条. 故选：D. 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】 【例2】（23-24高三·辽宁沈阳·阶段练习）设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．， C．， D．， 【解题思路】根据抛物线方程求得点坐标，设过点的直线方程与抛物线方程联立消去，根据判别式大于等于0求得的范围. 【解答过程】， ，为准线与轴的交点），设过点的直线方程为. 与抛物线有公共点， 方程组有解， 即有解. △，即. ， 故选：C. 【变式2-1】（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】求出“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断. 【解答过程】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. 【变式2-2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据题意，由直线与抛物线C有交点求解. 【解答过程】设直线的斜率为k,则直线的方程为， 由题意，得直线与抛物线C有交点， 联立方程，得， 当时，，即； 当时，， 解得且． 综上所述，． 故选：D． 【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【解答过程】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A. 【知识点2 抛物线的弦长与焦点弦问题】 1．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【题型3 抛物线的弦长问题】 【例3】（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【解题思路】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案. 【解答过程】将与抛物线联立得， 设， 显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点， 则. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高三下·广东深圳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于 两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】由焦点坐标写出直线的方程，设，，把直线方程代入抛物线方程整理由韦达定理可得，再由抛物线的定义表示出焦点弦长为，从而可求得. 【解答过程】由题意可知：抛物线的焦点为，直线的斜率为1，且直线与抛物线必相交， 则直线方程为，代入抛物线方程并整理得， 设，，则， 且，即，所以. 故选：A. 【变式3-2】（2024·山东聊城·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】根据题意确定抛物线，分直线平行于轴时和不平行于轴时，分别求，即可得解. 【解答过程】根据题意，抛物线的焦点到其准线的距离为2， 即，则抛物线，焦点， 当直线平行于轴时，，， 当直线不平行于轴时， 设直线，， 联立方程组，得，， 则， 又，所以的最小值为4. 故选：B. 【变式3-3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 【解题思路】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. 【解答过程】    如图作垂直于准线，垂足为，可知设， 直线的斜率为得， ， 则，由勾股定理得：， 即，化简得：，解得， 再设过焦点的直线为与抛物线联立消元得： ，设交点， 则， 而， 当时，解得，此时， 当时，解得，此时， 故选：D. 【题型4 抛物线的焦点弦问题】 【例4】（2024·天津·模拟预测）双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【解题思路】求出双曲线的焦点坐标，进而求出值，再结合中点坐标公式和抛物线的焦点弦公式计算可得. 【解答过程】由题意可得双曲线的交点为， 所以，即， 设的横坐标分别为， 中点的横坐标为6，即 由抛物线的焦点弦公式可得， 故选：A. 【变式4-1】（2024·山东济宁·三模）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】设，，，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义建立关于的方程，解之即可求解. 【解答过程】由题意知，，设， 联立直线与抛物线得，消去，得， 所以. 由抛物线的定义知. 而，故，解得. 故选：D. 【变式4-2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据抛物线焦点弦性质及直线的倾斜角、斜率关系计算即可. 【解答过程】由题意可知，不妨设，， 联立直线与抛物线方程得， 又，而， 则，即或， 所以直线的倾斜角为或. 故选：C. 【变式4-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解. 【解答过程】由得，， 由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为， 联立与可得， 设，则，故， 因此，当且仅当时取等号， 故选：C. 【知识点3 抛物线的切线】 1．抛物线的切线 过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【题型5 抛物线中的切线问题】 【例5】（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【解题思路】设切线方程为，联立方程组，，可解. 【解答过程】根据题意，抛物线在点处的切线的斜率存在， 设切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得. 故选：C. 【变式5-1】（2023·河南开封·模拟预测）已知点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件可得抛物线方程，然后求导可得过，两点的切线的斜率，写出切线方程，代入点，由两点确定一条直线，即得. 【解答过程】因为抛物线的准线为， 所以，， 故抛物线，， 设切点为，，又， 则切线PA的方程为：，即， 切线PB的方程为：，即， 由是PA、PB交点可知：，，由两点确定一条直线， 可得过A、B的直线方程为，即 故选：A. 【变式5-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线：，直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线交于点，若为正三角形，则的值为 （      ） A． B． C． D． 【解题思路】可得关于轴对称，且轴，则两条切线的交点在轴上，设，，可设，联立抛物线得，从而将代入直线与抛物线，即可得的值. 【解答过程】 由题意可得关于轴对称，且轴，则两条切线的交点在轴上， 设， 因为为正三角形，不妨取，则， 联立，可得， 则，可得， 所以，代入，可得， 又，联立解得. 故选：C. 【变式5-3】（2024·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【解题思路】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点. 【解答过程】设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为， 斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 故选：D. 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 【解题思路】（1）由题意设直线，联立抛物线方程，结合弦长公式即可列方程求得参数，进而得解； （2）由题意设直线，联立抛物线方程，结合韦达定理、数量积的坐标公式列方程即可求得参数，进一步即可求解的面积. 【解答过程】（1）抛物线焦点的坐标为， 当直线的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，，显然， 设，则， 则 ，解得， 所以抛物线的方程为； （2）设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，显然， 所以， 又，所以， 因为， 所以 ， 所以，则， 设的面积为， 则， 所以的面积为. 【变式6-1】（23-24高二下·广东·期末）已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上． (1)求抛物线的方程； (2)求面积的取值范围． 【解题思路】（1）求出焦点坐标，再利用两点间的距离公式列方程可求出，从而可求出抛物线的方程； （2）设直线的方程为：，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，将两点的坐标代入抛物线方程，两式相加化简结合前面的式子可得，再结合判别式可得，利用弦长公式表示出，再表示出点到直线的距离，从而可表示出面积，化简后结合可求出其范围. 【解答过程】（1）焦点，，由焦点到点的距离为， 得，解得 所以抛物线方程为． （2）如图所示，显然，直线的斜率不为0， 设直线的方程为：，，， 联立方程组，消去得, 所以，，且（*）, 所以线段的中点的纵坐标为, 因为点在直线上，所以，所以, 因为，，所以， 即, 将，代入上式，所以, 代入（*）得，化简得，所以, 点到的距离, , 所以, 将代入上式，得, 因为 所以. 【变式6-2】（2024高三下·江苏·专题练习）如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是，动点为抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交于点. (1)若，证明：直线经过点； (2)若分别记的面积为，求的值. 【解题思路】 （1）设出直线方程并与抛物线联立，写出切线的斜率并由利用韦达定理可得，可得直线经过点； （2）分别求得弦长的表达式，再由点到直线距离公式可得的面积为的表达式，即可得. 【解答过程】（1） 证明：依题意可设，直线的方程为， 联立，消去并整理得， 可得， 由抛物线可得， 则切线的斜率为，其方程为， 同理可得切线的方程为， 因为，可得，即, 解得， 所以直线即为， 可得直线恒过定点. （2）易知， 由（1）中切线的方程为整理可得， 同理切线的方程为， 设点，则切线的方程为， 而点，即有，即， 可得两点满足方程 因此直线的方程为，可得， 而点到直线的距离是， 则有， 联立和方程，解得点的横坐标， 同理点的横坐标， 可得， 点到直线的距离是， 则， 所以. 【变式6-3】（23-24高二上·福建宁德·期末）抛物线被直线截得的弦的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点，求四边形的面积的最小值． 【解题思路】（1）解法一：联立与抛物线方程，得到两根之和，根据中点的纵坐标得到方程，求出，得到准线方程； 解法二：点差法进行求解，结合直线斜率求出，得到准线方程； （2）解法一：设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式计算出，表达出，利用基本不等式求出最值； 解法二：设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式计算出，表达出，由基本不等式求出最小值. 【解答过程】（1）解法一：设抛物线与直线交于，． 整理得， 所以， 因为 所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线与直线交于，． 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则， 作差得， 所以， 因为，所以 则抛物线方程为，准线方程为 （2）解法一：依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组整理得， 故 所以 因为，直线的方程为， 同理可得 所以 当且仅当，即时，取等号． 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组整理得， 故． 所以 因为， 同理可得 所以 ， 当且仅当，即时，取等号． 所以四边形面积的最小值为32．   【题型7 抛物线中的最值与范围问题】 【例7】（2024·全国·模拟预测）设抛物线，直线与交于，两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为上一点，过点作抛物线的两条切线，，设切点分别为，，试求直线，斜率之积的最小值． 【解题思路】（1）联立直线与方程可得与横坐标有关韦达定理，结合弦长公式计算即可得解； （2）借助导数可得、，从而得到，结合韦达定理可表示出，结合圆的纵坐标的范围即可得解. 【解答过程】（1）设点， 由，可得， 则，， ，解得， 即抛物线； （2）设点，，，其中，， 由，即，， 则，， 则有， 即，都在直线上， 化简得， 将直线的方程代入得， 则，， 则 ， 又为的一点，则，故． 【变式7-1】（23-24高三下·云南·阶段练习）已知抛物线，过的直线交抛物线C于A，B两点，O是坐标原点，． (1)求抛物线C的方程； (2)若F点是抛物线C的焦点，求的最小值． 【解题思路】（1）设直线的方程为，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合可求出的值，从而可求出抛物线方程； （2）由（1）知，，而，化简后可求出其最小值. 【解答过程】（1）由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立抛物线的方程得：， 恒成立， 设，，所以，． 又， 即，所以，即， 所以抛物线C的方程为． （2）由（1）知：，，， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为10． 【变式7-2】（2024·四川泸州·二模）设F为抛物线 的焦点，点P在H上，点，若． (1)求的方程； (2)过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围． 【解题思路】（1）先由得点的横坐标，再利用抛物线的定义即可得解； （2）联立直线与抛物线的方程，得到，再根据题意依次求得点与点的坐标，从而将转化为关于的表达式，从而得解. 【解答过程】（1）依题意，点的坐标为， 又，，所以点的横坐标为， 由拋物线的定义得，所以， 所以拋物线的方程为. （2）由（1）知点的坐标为，设直线的方程为， 联立，消去，得，易知， 设，则，故， 因为的准线为，因为直线平行于轴， 所以点的坐标为，则直线的斜率为， 所以直线的斜率为，其方程为， 因为点的纵坐标为， 所以点的横坐标为， 所以 ， 因为，则，所以， 即的取值范围是. 【变式7-3】（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点. (1)求证：； (2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值. 【解题思路】 （1）利用导函数的几何意义求得直线的表达式，得出三点的坐标，联立直线与抛物线方程根据韦达定理得出； （2）利用点到直线距离公式可求得，可求出的最小值. 【解答过程】（1）因为抛物线的焦点为， 所以，即的方程为：，如下图所示： 设点， 由题意可知直线的斜率一定存在，设， 联立得， 所以. 由，得， 所以，即. 令，得，即， 同理，且， 所以. 由，得，即. 所以. 故. （2）设点，结合（1）知，即 因为， 所以. 同理可得， 所以. 又， 所以. 当且仅当时，等号成立； 即直线斜率为0时，取最小值. 【题型8 抛物线中的定点、定值问题】 【例8】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. 【解题思路】（1）由抛物线的准线方程求解，即可求解抛物线标准方程. （2）设出直线AB的方程，然后与抛物线方程联立，韦达定理，推出两切线方程，进而求得点，点，从而求出直线方程，联立抛物线方程，结合弦长公式求出，代入运算化简即可证明. 【解答过程】（1）因为抛物线的准线为：，设，则，所以， 故抛物线E的标准方程为. （2）易知抛物线E的焦点， 设直线AB的方程为，、， 联立可得， 由韦达定理可得，， 接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为， 联立可得，即，即， 所以，直线与抛物线E只有唯一的公共点， 所以，AC的方程为， 同理可知，直线BD的方程为， 在直线AC的方程中，令，可得，即点， 同理可得点，所以，直线的方程为，即， 设点、，联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以， 同理可得， 所以 ， 故为定值. 【变式8-1】（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程． (2)证明直线过定点，并且求出定点坐标． 【解题思路】（1）根据椭圆的顶点计算求参得出抛物线方程； （2）根据导数求出切线斜率再分别表示切线，求解即可. 【解答过程】（1）由题意椭圆的上顶点为， ，∴，∴． （2）设点，，． 由，∴直线的斜率为，∴ 即 同理可得 ∵点，代入得 ∵点，代入得 ∴点、都满足关系 ∴① 又点，∴，代入①得 故直线恒过定点． 【变式8-2】（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明： （ⅰ）为定值； （ⅱ）直线恒过定点. 【解题思路】（1）由抛物线得定义求解抛物线的方程即可. （2）（ⅰ）利用韦达定理求解出， （ⅱ）通过韦达定理将直线化简成，求出直线过定点. 【解答过程】（1）由焦半径公式知：，， 的方程为：. （2）由（1）知：， 可设直线方程为：，设 则 直线方程为： 联立 ，将代入得， ，同理： （ⅰ）， （ⅱ）直线的方程为： 由得：即， ， 直线的方程为：， 直线恒过定点. 【变式8-3】（2024·河北衡水·三模）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于，两点．直线，与相切，切点分别为，，，与轴的交点分别为，两点，且． (1)求的方程； (2)若点为上一动点（与，及坐标原点均不重合），直线与相切，切点为，与，的交点分别为，．记，的面积分别为，． ①请问：以，为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； ②证明：为定值． 【解题思路】（1）设，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可求出、坐标，从而求出，即可得解； （2）①不妨设，由（1）求出切点横坐标及切线方程，设，则，分别求出，的坐标，即可得到圆的方程，再求出圆过定点坐标；②表示出，，，，再说明、为直角三角形，由面积公式得到面积之比. 【解答过程】（1）设，，，联立， 消去得，显然，所以，． 由，，故的方程为， 令得，解得，即， 同理，则． 由，知， 由，得，解得或（舍去）， 故的方程为； （2）①由（1）不妨设，由， 解得，， 所以，． 设，则． 联立，解得，所以， 同理， 以、为直径的圆的方程为， 整理得， 令，解得或， 故该圆恒过两个点． ②由于，，，，， 所以， ， ，， 直线的斜率为，显然直线与垂直，故为直角三角形， 同理也是直角三角形， 故，， 故（或）． 【题型9 抛物线中的定直线问题】 【例9】（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦的长即可； （2）设直线方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及相似三角形求解即可. 【解答过程】（1）设. 若直线的倾斜角为，则直线的方程为. 联立得， 则， 且， 所以 . 因为，所以，故的方程为. （2）存在，定直线为. 由题意知直线的斜率存在， 设直线的方程为，. 联立得. 由，得且， . 不妨设，则， 过点向轴作垂线，垂足分别为点，如图所示， 则，. 因为，所以， 整理得，所以. 代入直线的方程得. 因为，所以点恒在直线上. 【变式9-1】（2024·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为． (1)求C的方程； (2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上． 【解题思路】（1）由抛物线的对称性知，由四边形的面积求出，又的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式求出，即可得解； （2）设直线的方程为 ，则直线的方程为 ，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、的方程，联立解得，即可得证. 【解答过程】（1）当直线的倾斜角等于时，直线的倾斜角等于， 直线的方程为，由抛物线的对称性知， 所以，得． 联立方程组，消去得． 设两点的横坐标分别为，则，． 又，所以，所以的方程为． （2）由（1）知，依题意，可设直线的方程为 ， 则直线的方程为 ． 联立方程组消去得，显然， 设，则 ． 设，同理可得， 所以，同理可得． 直线的方程为， 即． 同理，直线的方程为 ． 两直线方程联立得，解得， 即直线与的交点在定直线上． 【变式9-2】（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【解题思路】（1）求出焦点的坐标，再联立直线与抛物线方程求出值即可得解. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，再求出直线的方程，并联立求出交点的横坐标即可. 【解答过程】（1）抛物线：的焦点，则直线，由得， 依题意，，解得， 所以抛物线的方程为，焦点. （2）由抛物线对称性，不妨令点在上方，由（1）知，, 显然直线不垂直于坐标轴，设其方程为，，， 由消去得：，显然，， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 由消去得：， 整理得， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上. 【变式9-3】（2024·陕西西安·一模）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切． (1)求p的值： (2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． 【解题思路】 （1）设直线l1的方程为，再根据直线和圆相切求出的值得解； （2）依题意设，求出切线l2的方程和B点坐标，求出， ，即得证. 【解答过程】（1） 由题得抛物线的焦点坐标为， 设直线l1的方程为， 由已知得圆的圆心，半径， 因为直线l1与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，解得或（舍去）． 所以. （2） 依题意设，由（1）知抛物线方程为， 所以，所以，设A，），则以A为切点的切线l2的斜率为 所以切线l2的方程为． 令，即l2交y轴于B点坐标为， 所以， ∴， ∴． 设N点坐标为（x，y），则， 所以点N在定直线上．    【题型10 抛物线中的向量问题】 【例10】（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【解题思路】（1）结合题意得出几何关系，由抛物线定义即可得解； （2）一方面：设，，联立与抛物线的方程，由韦达定理得，设，，同理可得，，结合向量数量积的坐标运算、基本不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意， 如图， ∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 【变式10-1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 (1)设直线的方程为，求线段的长 (2)设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 (3)设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围 【解题思路】（1）直线方程与抛物线方程联立，结合抛物线焦点弦长公式可求得结果； （2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据可构造方程求得结果； （3）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据可建立等量关系，得到，由此可得的范围. 【解答过程】（1）由抛物线方程知：，则直线过焦点， 设， 由得：，， . （2）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则，解得：； ，， ，，， ， 解得：（满足）， 直线得方程为：或. （3） 由题意知：直线斜率不为零，可设，，，， ，； 由得：，则，即， ，，， 由得：， 即，，， ，，即的取值范围为. 【变式10-2】（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）先得到，由抛物线定义得到方程，求出，设，则，作出辅助线，得到，从而得到方程，求出答案； （2）设出直线方程，联立抛物线，得到两根之和，两根之积，由得，求出，转化为对有解，而，所以，求出解集，因为，所以. 【解答过程】（1）因为，，则在中，， 由抛物线的定义得，， 故，则，即， 设，则，解得， 过点作⊥于点， 因为，所以， 因为，所以， 故，， 所以，解得； （2）由（1）可知抛物线方程为：，设，， 设，联立，整理得：， 因为，所以， 由韦达定理得，， 因为，则，故， 故， 将代入（*）式得， 因为存在，使得， 所以有对有解， 而，所以， 解得，或， 因为，所以. 【变式10-3】（23-24高三上·全国·阶段练习）如图所示，已知抛物线是抛物线与轴的交点，过点作斜率不为零的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，直线与直线交于点． (1)求的取值范围； (2)问在平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式结合已知建立函数关系，求出函数值域即得. （2）求出直线和的方程，联立求出点的坐标，结合（1）中韦达定理，利用数量积的坐标表示计算即得. 【解答过程】（1）依题意，设直线的方程为，点， 由消去y并整理得，， 则，， ， 所以. （2）由（1）知，，且，设， ，直线的方程为，直线的方程为， 联立解得， 即点的坐标为， ， ，而， 于是，当为定值， 所以存在定点的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.7 直线与抛物线的位置关系【十大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 1 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】 2 【题型3 抛物线的弦长问题】 3 【题型4 抛物线的焦点弦问题】 3 【题型5 抛物线中的切线问题】 4 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 4 【题型7 抛物线中的最值与范围问题】 6 【题型8 抛物线中的定点、定值问题】 7 【题型9 抛物线中的定直线问题】 9 【题型10 抛物线中的向量问题】 10 【知识点1 直线与抛物线的位置关系】 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式1-1】（23-24高二·全国·课后作业）直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1-2】（2024高三·全国·专题练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 【变式1-3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】 【例2】（23-24高三·辽宁沈阳·阶段练习）设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．， C．， D．， 【变式2-1】（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【知识点2 抛物线的弦长与焦点弦问题】 1．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【题型3 抛物线的弦长问题】 【例3】（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【变式3-1】（23-24高三下·广东深圳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于 两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（2024·山东聊城·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-3】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 【题型4 抛物线的焦点弦问题】 【例4】（2024·天津·模拟预测）双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【变式4-1】（2024·山东济宁·三模）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式4-2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【知识点3 抛物线的切线】 1．抛物线的切线 过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【题型5 抛物线中的切线问题】 【例5】（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A．－1 B． C． D．1 【变式5-1】（2023·河南开封·模拟预测）已知点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线：，直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的两条切线交于点，若为正三角形，则的值为 （      ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 【变式6-1】（23-24高二下·广东·期末）已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上． (1)求抛物线的方程； (2)求面积的取值范围． 【变式6-2】（2024高三下·江苏·专题练习）如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是，动点为抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交于点. (1)若，证明：直线经过点； (2)若分别记的面积为，求的值. 【变式6-3】（23-24高二上·福建宁德·期末）抛物线被直线截得的弦的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点，求四边形的面积的最小值． 【题型7 抛物线中的最值与范围问题】 【例7】（2024·全国·模拟预测）设抛物线，直线与交于，两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为上一点，过点作抛物线的两条切线，，设切点分别为，，试求直线，斜率之积的最小值． 【变式7-1】（23-24高三下·云南·阶段练习）已知抛物线，过的直线交抛物线C于A，B两点，O是坐标原点，． (1)求抛物线C的方程； (2)若F点是抛物线C的焦点，求的最小值． 【变式7-2】（2024·四川泸州·二模）设F为抛物线 的焦点，点P在H上，点，若． (1)求的方程； (2)过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围． 【变式7-3】（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点. (1)求证：； (2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值. 【题型8 抛物线中的定点、定值问题】 【例8】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)证明：为定值. 【变式8-1】（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程． (2)证明直线过定点，并且求出定点坐标． 【变式8-2】（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明： （ⅰ）为定值； （ⅱ）直线恒过定点. 【变式8-3】（2024·河北衡水·三模）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于，两点．直线，与相切，切点分别为，，，与轴的交点分别为，两点，且． (1)求的方程； (2)若点为上一动点（与，及坐标原点均不重合），直线与相切，切点为，与，的交点分别为，．记，的面积分别为，． ①请问：以，为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； ②证明：为定值． 【题型9 抛物线中的定直线问题】 【例9】（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，. (1)求的方程； (2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由. 【变式9-1】（2024·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为． (1)求C的方程； (2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上． 【变式9-2】（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【变式9-3】（2024·陕西西安·一模）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切． (1)求p的值： (2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． 【题型10 抛物线中的向量问题】 【例10】（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【变式10-1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 (1)设直线的方程为，求线段的长 (2)设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 (3)设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围 【变式10-2】（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，. (1)求的值； (2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围. 【变式10-3】（23-24高三上·全国·阶段练习）如图所示，已知抛物线是抛物线与轴的交点，过点作斜率不为零的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，直线与直线交于点． (1)求的取值范围； (2)问在平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$